Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTVlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTVlem1 43763
Description: Lemma for perfectALTV 43765. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.3 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
perfectALTVlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectALTVlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectALTVlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11943 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 11925 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 13430 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
102peano2nnd 11643 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
11 1lt2 11796 . . . . 5 1 < 2
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
13 expgt1 13455 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
149, 10, 12, 13syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
15 1nn 11637 . . . 4 1 ∈ ℕ
16 nnsub 11669 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1715, 7, 16sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1814, 17mpbid 233 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
197nnzd 12074 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
20 peano2zm 12013 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
22 1nn0 11901 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
23 perfectALTVlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
24 sgmnncl 25651 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2625nnzd 12074 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
27 dvdsmul1 15619 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
29 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
30 expp1 13424 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3129, 3, 30sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
32 nnexpcl 13430 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
331, 3, 32sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3433nncnd 11642 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
35 mulcom 10611 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3634, 29, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3731, 36eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3837oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3929a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4023nncnd 11642 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4139, 34, 40mulassd 10652 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
42 1cnd 10624 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43 perfectALTVlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
44 isodd7 43707 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1))
4544simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Odd → (2 gcd 𝐵) = 1)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
47 2z 12002 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4923nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
50 rpexp1i 16053 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5148, 49, 3, 50syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5246, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
53 sgmmul 25704 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5442, 33, 23, 52, 53syl13anc 1364 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
55 perfectALTVlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
562nncnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
57 pncan1 11052 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5958oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6059oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
61 1sgm2ppw 25703 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6210, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6360, 62eqtr3d 2855 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6463oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6554, 55, 643eqtr3d 2861 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6638, 41, 653eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6728, 66breqtrrd 5085 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
68 gcdcom 15850 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
6921, 19, 68syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
70 nnpw2evenALTV 43744 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
7110, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
72 evenm1odd 43681 . . . . . . . 8 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
74 isodd7 43707 . . . . . . . 8 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd ↔ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7574simprbi 497 . . . . . . 7 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
77 rpexp1i 16053 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7848, 21, 5, 77syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7976, 78mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
8069, 79eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
81 coprmdvds 15985 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8221, 19, 49, 81syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8367, 80, 82mp2and 695 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
84 nndivdvds 15604 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8523, 18, 84syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8683, 85mpbid 233 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
877, 18, 863jca 1120 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  cdvds 15595   gcd cgcd 15831   σ csgm 25600   Even ceven 43666   Odd codd 43667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-sgm 25606  df-even 43668  df-odd 43669
This theorem is referenced by:  perfectALTVlem2  43764
  Copyright terms: Public domain W3C validator