Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTVlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTVlem1 45151
Description: Lemma for perfectALTV 45153. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.3 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
perfectALTVlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectALTVlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 12056 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectALTVlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12303 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 12283 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 13805 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 12057 . . . . 5 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
102peano2nnd 12000 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
11 1lt2 12154 . . . . 5 1 < 2
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
13 expgt1 13831 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
149, 10, 12, 13syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
15 1nn 11994 . . . 4 1 ∈ ℕ
16 nnsub 12027 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1715, 7, 16sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1814, 17mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
197nnzd 12435 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
20 peano2zm 12373 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
22 1nn0 12259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
23 perfectALTVlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
24 sgmnncl 26306 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2522, 23, 24sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2625nnzd 12435 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
27 dvdsmul1 15997 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
29 2cn 12058 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
30 expp1 13799 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3129, 3, 30sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
32 nnexpcl 13805 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
331, 3, 32sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3433nncnd 11999 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
35 mulcom 10967 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3634, 29, 35sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3731, 36eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3837oveq1d 7282 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3929a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4023nncnd 11999 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4139, 34, 40mulassd 11008 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
42 1cnd 10980 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43 perfectALTVlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
44 isodd7 45095 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1))
4544simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Odd → (2 gcd 𝐵) = 1)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
47 2z 12362 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4923nnzd 12435 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
50 rpexp1i 16438 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5148, 49, 3, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5246, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
53 sgmmul 26359 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5442, 33, 23, 52, 53syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
55 perfectALTVlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
562nncnd 11999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
57 pncan1 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5958oveq2d 7283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6059oveq2d 7283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
61 1sgm2ppw 26358 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6210, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6360, 62eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6463oveq1d 7282 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6554, 55, 643eqtr3d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6638, 41, 653eqtrd 2782 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6728, 66breqtrrd 5101 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
6821, 19gcdcomd 16231 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
69 nnpw2evenALTV 45132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
7010, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
71 evenm1odd 45069 . . . . . . . 8 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
73 isodd7 45095 . . . . . . . 8 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd ↔ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7473simprbi 497 . . . . . . 7 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
7572, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
76 rpexp1i 16438 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7748, 21, 5, 76syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7875, 77mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
7968, 78eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
80 coprmdvds 16368 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8121, 19, 49, 80syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8267, 79, 81mp2and 696 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
83 nndivdvds 15982 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8423, 18, 83syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8582, 84mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
867, 18, 853jca 1127 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5073  (class class class)co 7267  cc 10879  cr 10880  1c1 10882   + caddc 10884   · cmul 10886   < clt 11019  cmin 11215   / cdiv 11642  cn 11983  2c2 12038  0cn0 12243  cz 12329  cexp 13792  cdvds 15973   gcd cgcd 16211   σ csgm 26255   Even ceven 45054   Odd codd 45055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ioc 13094  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-sin 15789  df-cos 15790  df-pi 15792  df-dvds 15974  df-gcd 16212  df-prm 16387  df-pc 16548  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041  df-log 25722  df-cxp 25723  df-sgm 26261  df-even 45056  df-odd 45057
This theorem is referenced by:  perfectALTVlem2  45152
  Copyright terms: Public domain W3C validator