Theorem fldivndvdslt 16376

Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldivndvdslt	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem fldivndvdslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12519	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 12519	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 11974	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
7	6	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
8		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ ℤ)
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		dvdsval2 16215	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
11	8, 5, 9, 10	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (𝐿 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
12	11	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (¬ 𝐿 ∥ 𝐾 ↔ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
13	12	biimp3a 1472	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ)
14		flltnz 13761	. 2 ⊢ (((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))
15	7, 13, 14	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   / cdiv 11798  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  16377