Theorem flltnz 12995

Description: If A is not an integer, then the floor of A is less than A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
flltnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Proof of Theorem flltnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reflcl 12980	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpl 475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fllelt 12981	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
5	4	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
6	5	simpld 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
7		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ 𝐴 ∈ ℤ)
8		flidz 12994	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
9	8	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
10	7, 9	mtbird 317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
11	10	neqned 2969	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≠ 𝐴)
12	11	necomd 3017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
13	2, 3, 6, 12	leneltd 10593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474  ℤcz 11792  ⌊cfl 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fl 12976

This theorem is referenced by:  fldivndvdslt  15624  dirkercncflem4  41852