MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expne0d 13511
Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
expclzd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
expne0d (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrecd.1 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 expclzd.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 expne0i 13456 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  cz 11975  cexp 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13365  df-exp 13425
This theorem is referenced by:  znsqcld  13521  absexpz  14660  0.999...  15232  bitsfzo  15779  bitsmod  15780  bitsinv1lem  15785  bitsuz  15818  pcexp  16191  dvdsprmpweqle  16217  pcaddlem  16219  pcadd  16220  qexpz  16232  dvrecg  24504  dvexp3  24509  plyeq0lem  24734  aareccl  24849  taylthlem2  24896  root1cj  25269  cxpeq  25270  dcubic1lem  25353  dcubic2  25354  cubic2  25358  cubic  25359  lgamgulmlem4  25542  basellem4  25594  basellem8  25598  lgseisenlem1  25884  lgseisenlem2  25885  lgsquadlem1  25889  dya2icoseg  31440  dya2iocucvr  31447  omssubadd  31463  oddpwdc  31517  signsplypnf  31725  signsply0  31726  knoppndvlem7  33760  knoppndvlem17  33770  dffltz  39155  fltne  39156  fltnlta  39159  3cubeslem4  39170  rmxyneg  39401  radcnvrat  40530  dvdivbd  42092  iblsplit  42135  wallispi2lem1  42241  wallispi2lem2  42242  wallispi2  42243  stirlinglem3  42246  stirlinglem4  42247  stirlinglem7  42250  stirlinglem8  42251  stirlinglem10  42253  stirlinglem13  42256  stirlinglem14  42257  stirlinglem15  42258  fourierdlem56  42332  fourierdlem57  42333  elaa2lem  42403  sge0ad2en  42598  ovnsubaddlem1  42737  fldivexpfllog2  44527  nn0digval  44562  dignnld  44565  dig2nn1st  44567  dig2bits  44576  dignn0flhalflem1  44577  dignn0flhalflem2  44578  dignn0ehalf  44579  itsclc0xyqsolr  44658
  Copyright terms: Public domain W3C validator