Theorem expne0d 14162

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  ℤcz 12565  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  znsqcld  14172  absexpz  15315  0.999...  15894  bitsfzo  16452  bitsmod  16453  bitsinv1lem  16458  bitsuz  16491  pcexp  16878  dvdsprmpweqle  16905  pcaddlem  16907  pcadd  16908  qexpz  16920  dvrecg  26015  dvexp3  26020  plyeq0lem  26250  aareccl  26367  taylthlem2  26414  root1cj  26798  cxpeq  26799  dcubic1lem  26885  dcubic2  26886  cubic2  26890  cubic  26891  lgamgulmlem4  27073  basellem4  27125  basellem8  27129  lgseisenlem1  27416  lgseisenlem2  27417  lgsquadlem1  27421  nrt2irr  30621  constrresqrtcl  34035  cos9thpiminplylem2  34041  dya2icoseg  34535  dya2iocucvr  34542  omssubadd  34558  oddpwdc  34612  signsplypnf  34808  signsply0  34809  knoppndvlem7  36920  knoppndvlem17  36930  dvrelogpow2b  42649  aks4d1p1p6  42654  aks4d1p1p7  42655  aks4d1p1p5  42656  aks4d1p8d3  42667  aks4d1p8  42668  aks6d1c2p2  42700  exp11d  42899  dffltz  43180  fltdiv  43182  fltnlta  43209  3cubeslem4  43234  rmxyneg  43461  radcnvrat  44854  dvdivbd  46461  iblsplit  46504  wallispi2lem1  46609  wallispi2lem2  46610  wallispi2  46611  stirlinglem3  46614  stirlinglem4  46615  stirlinglem7  46618  stirlinglem8  46619  stirlinglem10  46621  stirlinglem13  46624  stirlinglem14  46625  stirlinglem15  46626  fourierdlem56  46700  fourierdlem57  46701  elaa2lem  46771  sge0ad2en  46969  ovnsubaddlem1  47108  fldivexpfllog2  49151  nn0digval  49186  dignnld  49189  dig2nn1st  49191  dig2bits  49200  dignn0flhalflem1  49201  dignn0flhalflem2  49202  dignn0ehalf  49203  itsclc0xyqsolr  49355