Theorem expne0d 14112

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14054	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  ℤcz 12522  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  znsqcld  14122  absexpz  15265  0.999...  15844  bitsfzo  16402  bitsmod  16403  bitsinv1lem  16408  bitsuz  16441  pcexp  16828  dvdsprmpweqle  16855  pcaddlem  16857  pcadd  16858  qexpz  16870  dvrecg  25965  dvexp3  25970  plyeq0lem  26200  aareccl  26317  taylthlem2  26364  root1cj  26745  cxpeq  26746  dcubic1lem  26832  dcubic2  26833  cubic2  26837  cubic  26838  lgamgulmlem4  27020  basellem4  27072  basellem8  27076  lgseisenlem1  27363  lgseisenlem2  27364  lgsquadlem1  27368  nrt2irr  30568  constrresqrtcl  33968  cos9thpiminplylem2  33974  dya2icoseg  34468  dya2iocucvr  34475  omssubadd  34491  oddpwdc  34545  signsplypnf  34741  signsply0  34742  knoppndvlem7  36831  knoppndvlem17  36841  dvrelogpow2b  42560  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p1p5  42567  aks4d1p8d3  42578  aks4d1p8  42579  aks6d1c2p2  42611  exp11d  42810  dffltz  43091  fltdiv  43093  fltnlta  43120  3cubeslem4  43145  rmxyneg  43372  radcnvrat  44765  dvdivbd  46373  iblsplit  46416  wallispi2lem1  46521  wallispi2lem2  46522  wallispi2  46523  stirlinglem3  46526  stirlinglem4  46527  stirlinglem7  46530  stirlinglem8  46531  stirlinglem10  46533  stirlinglem13  46536  stirlinglem14  46537  stirlinglem15  46538  fourierdlem56  46612  fourierdlem57  46613  elaa2lem  46683  sge0ad2en  46881  ovnsubaddlem1  47020  fldivexpfllog2  49063  nn0digval  49098  dignnld  49101  dig2nn1st  49103  dig2bits  49112  dignn0flhalflem1  49113  dignn0flhalflem2  49114  dignn0ehalf  49115  itsclc0xyqsolr  49267