Theorem expne0d 14077

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  ℤcz 12489  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  znsqcld  14087  absexpz  15230  0.999...  15806  bitsfzo  16364  bitsmod  16365  bitsinv1lem  16370  bitsuz  16403  pcexp  16789  dvdsprmpweqle  16816  pcaddlem  16818  pcadd  16819  qexpz  16831  dvrecg  25893  dvexp3  25898  plyeq0lem  26131  aareccl  26250  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  root1cj  26682  cxpeq  26683  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  cubic2  26774  cubic  26775  lgamgulmlem4  26958  basellem4  27010  basellem8  27014  lgseisenlem1  27302  lgseisenlem2  27303  lgsquadlem1  27307  nrt2irr  30435  constrresqrtcl  33746  cos9thpiminplylem2  33752  dya2icoseg  34247  dya2iocucvr  34254  omssubadd  34270  oddpwdc  34324  signsplypnf  34520  signsply0  34521  knoppndvlem7  36494  knoppndvlem17  36504  dvrelogpow2b  42044  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p7  42050  aks4d1p1p5  42051  aks4d1p8d3  42062  aks4d1p8  42063  aks6d1c2p2  42095  exp11d  42302  dffltz  42610  fltdiv  42612  fltnlta  42639  3cubeslem4  42665  rmxyneg  42896  radcnvrat  44290  dvdivbd  45908  iblsplit  45951  wallispi2lem1  46056  wallispi2lem2  46057  wallispi2  46058  stirlinglem3  46061  stirlinglem4  46062  stirlinglem7  46065  stirlinglem8  46066  stirlinglem10  46068  stirlinglem13  46071  stirlinglem14  46072  stirlinglem15  46073  fourierdlem56  46147  fourierdlem57  46148  elaa2lem  46218  sge0ad2en  46416  ovnsubaddlem1  46555  fldivexpfllog2  48554  nn0digval  48589  dignnld  48592  dig2nn1st  48594  dig2bits  48603  dignn0flhalflem1  48604  dignn0flhalflem2  48605  dignn0ehalf  48606  itsclc0xyqsolr  48758