Theorem expne0d 14059

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  ℤcz 12468  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  znsqcld  14069  absexpz  15212  0.999...  15788  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitsinv1lem  16352  bitsuz  16385  pcexp  16771  dvdsprmpweqle  16798  pcaddlem  16800  pcadd  16801  qexpz  16813  dvrecg  25904  dvexp3  25909  plyeq0lem  26142  aareccl  26261  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  root1cj  26693  cxpeq  26694  dcubic1lem  26780  dcubic2  26781  cubic2  26785  cubic  26786  lgamgulmlem4  26969  basellem4  27021  basellem8  27025  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgsquadlem1  27318  nrt2irr  30453  constrresqrtcl  33790  cos9thpiminplylem2  33796  dya2icoseg  34290  dya2iocucvr  34297  omssubadd  34313  oddpwdc  34367  signsplypnf  34563  signsply0  34564  knoppndvlem7  36562  knoppndvlem17  36572  dvrelogpow2b  42171  aks4d1p1p6  42176  aks4d1p1p7  42177  aks4d1p1p5  42178  aks4d1p8d3  42189  aks4d1p8  42190  aks6d1c2p2  42222  exp11d  42429  dffltz  42737  fltdiv  42739  fltnlta  42766  3cubeslem4  42792  rmxyneg  43023  radcnvrat  44417  dvdivbd  46031  iblsplit  46074  wallispi2lem1  46179  wallispi2lem2  46180  wallispi2  46181  stirlinglem3  46184  stirlinglem4  46185  stirlinglem7  46188  stirlinglem8  46189  stirlinglem10  46191  stirlinglem13  46194  stirlinglem14  46195  stirlinglem15  46196  fourierdlem56  46270  fourierdlem57  46271  elaa2lem  46341  sge0ad2en  46539  ovnsubaddlem1  46678  fldivexpfllog2  48676  nn0digval  48711  dignnld  48714  dig2nn1st  48716  dig2bits  48725  dignn0flhalflem1  48726  dignn0flhalflem2  48727  dignn0ehalf  48728  itsclc0xyqsolr  48880