Theorem expne0d 14190

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  ℤcz 12592  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  znsqcld  14200  absexpz  15358  0.999...  15937  bitsfzo  16494  bitsmod  16495  bitsinv1lem  16500  bitsuz  16533  pcexp  16920  dvdsprmpweqle  16947  pcaddlem  16949  pcadd  16950  qexpz  16962  dvrecg  26113  dvexp3  26118  plyeq0lem  26348  aareccl  26468  taylthlem2  26515  root1cj  26899  cxpeq  26900  dcubic1lem  26986  dcubic2  26987  cubic2  26991  cubic  26992  lgamgulmlem4  27174  basellem4  27226  basellem8  27230  lgseisenlem1  27517  lgseisenlem2  27518  lgsquadlem1  27522  nrt2irr  30802  constrresqrtcl  34145  cos9thpiminplylem2  34151  dya2icoseg  34645  dya2iocucvr  34652  omssubadd  34668  oddpwdc  34722  signsplypnf  34915  signsply0  34916  knoppndvlem7  37085  knoppndvlem17  37095  dvrelogpow2b  42813  aks4d1p1p6  42818  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p1p5  42820  aks4d1p8d3  42831  aks4d1p8  42832  aks6d1c2p2  42864  exp11d  43065  dffltz  43346  fltdiv  43348  fltnlta  43375  3cubeslem4  43400  rmxyneg  43627  radcnvrat  45004  dvdivbd  46617  iblsplit  46660  wallispi2lem1  46765  wallispi2lem2  46766  wallispi2  46767  stirlinglem3  46770  stirlinglem4  46771  stirlinglem7  46774  stirlinglem8  46775  stirlinglem10  46777  stirlinglem13  46780  stirlinglem14  46781  stirlinglem15  46782  fourierdlem56  46856  fourierdlem57  46857  elaa2lem  46927  sge0ad2en  47125  ovnsubaddlem1  47264  fldivexpfllog2  49322  nn0digval  49357  dignnld  49360  dig2nn1st  49362  dig2bits  49371  dignn0flhalflem1  49372  dignn0flhalflem2  49373  dignn0ehalf  49374  itsclc0xyqsolr  49526