MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expne0d 14056
Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
expclzd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
expne0d (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrecd.1 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 expclzd.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 expne0i 13999 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  cz 12498  cexp 13966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-seq 13906  df-exp 13967
This theorem is referenced by:  znsqcld  14066  absexpz  15189  0.999...  15765  bitsfzo  16314  bitsmod  16315  bitsinv1lem  16320  bitsuz  16353  pcexp  16730  dvdsprmpweqle  16757  pcaddlem  16759  pcadd  16760  qexpz  16772  dvrecg  25335  dvexp3  25340  plyeq0lem  25569  aareccl  25684  taylthlem2  25731  root1cj  26107  cxpeq  26108  dcubic1lem  26191  dcubic2  26192  cubic2  26196  cubic  26197  lgamgulmlem4  26379  basellem4  26431  basellem8  26435  lgseisenlem1  26721  lgseisenlem2  26722  lgsquadlem1  26726  dya2icoseg  32817  dya2iocucvr  32824  omssubadd  32840  oddpwdc  32894  signsplypnf  33102  signsply0  33103  knoppndvlem7  34971  knoppndvlem17  34981  dvrelogpow2b  40515  aks4d1p1p6  40520  aks4d1p1p7  40521  aks4d1p1p5  40522  aks4d1p8d3  40533  aks4d1p8  40534  aks6d1c2p2  40539  exp11d  40788  dffltz  40949  fltdiv  40951  fltnlta  40978  3cubeslem4  40989  rmxyneg  41221  radcnvrat  42575  dvdivbd  44135  iblsplit  44178  wallispi2lem1  44283  wallispi2lem2  44284  wallispi2  44285  stirlinglem3  44288  stirlinglem4  44289  stirlinglem7  44292  stirlinglem8  44293  stirlinglem10  44295  stirlinglem13  44298  stirlinglem14  44299  stirlinglem15  44300  fourierdlem56  44374  fourierdlem57  44375  elaa2lem  44445  sge0ad2en  44643  ovnsubaddlem1  44782  fldivexpfllog2  46622  nn0digval  46657  dignnld  46660  dig2nn1st  46662  dig2bits  46671  dignn0flhalflem1  46672  dignn0flhalflem2  46673  dignn0ehalf  46674  itsclc0xyqsolr  46826
  Copyright terms: Public domain W3C validator