Theorem expne0d 14202

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  ℤcz 12639  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  znsqcld  14212  absexpz  15354  0.999...  15929  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  bitsinv1lem  16487  bitsuz  16520  pcexp  16906  dvdsprmpweqle  16933  pcaddlem  16935  pcadd  16936  qexpz  16948  dvrecg  26031  dvexp3  26036  plyeq0lem  26269  aareccl  26386  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  root1cj  26817  cxpeq  26818  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  cubic2  26909  cubic  26910  lgamgulmlem4  27093  basellem4  27145  basellem8  27149  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgsquadlem1  27442  nrt2irr  30505  dya2icoseg  34242  dya2iocucvr  34249  omssubadd  34265  oddpwdc  34319  signsplypnf  34527  signsply0  34528  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem17  36494  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p8d3  42043  aks4d1p8  42044  aks6d1c2p2  42076  exp11d  42313  dffltz  42589  fltdiv  42591  fltnlta  42618  3cubeslem4  42645  rmxyneg  42877  radcnvrat  44283  dvdivbd  45844  iblsplit  45887  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem7  46001  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  elaa2lem  46154  sge0ad2en  46352  ovnsubaddlem1  46491  fldivexpfllog2  48299  nn0digval  48334  dignnld  48337  dig2nn1st  48339  dig2bits  48348  dignn0flhalflem1  48349  dignn0flhalflem2  48350  dignn0ehalf  48351  itsclc0xyqsolr  48503