Theorem expne0d 14061

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  ℤcz 12475  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  znsqcld  14071  absexpz  15214  0.999...  15790  bitsfzo  16348  bitsmod  16349  bitsinv1lem  16354  bitsuz  16387  pcexp  16773  dvdsprmpweqle  16800  pcaddlem  16802  pcadd  16803  qexpz  16815  dvrecg  25905  dvexp3  25910  plyeq0lem  26143  aareccl  26262  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  root1cj  26694  cxpeq  26695  dcubic1lem  26781  dcubic2  26782  cubic2  26786  cubic  26787  lgamgulmlem4  26970  basellem4  27022  basellem8  27026  lgseisenlem1  27314  lgseisenlem2  27315  lgsquadlem1  27319  nrt2irr  30455  constrresqrtcl  33811  cos9thpiminplylem2  33817  dya2icoseg  34311  dya2iocucvr  34318  omssubadd  34334  oddpwdc  34388  signsplypnf  34584  signsply0  34585  knoppndvlem7  36583  knoppndvlem17  36593  dvrelogpow2b  42182  aks4d1p1p6  42187  aks4d1p1p7  42188  aks4d1p1p5  42189  aks4d1p8d3  42200  aks4d1p8  42201  aks6d1c2p2  42233  exp11d  42445  dffltz  42753  fltdiv  42755  fltnlta  42782  3cubeslem4  42807  rmxyneg  43038  radcnvrat  44432  dvdivbd  46046  iblsplit  46089  wallispi2lem1  46194  wallispi2lem2  46195  wallispi2  46196  stirlinglem3  46199  stirlinglem4  46200  stirlinglem7  46203  stirlinglem8  46204  stirlinglem10  46206  stirlinglem13  46209  stirlinglem14  46210  stirlinglem15  46211  fourierdlem56  46285  fourierdlem57  46286  elaa2lem  46356  sge0ad2en  46554  ovnsubaddlem1  46693  fldivexpfllog2  48691  nn0digval  48726  dignnld  48729  dig2nn1st  48731  dig2bits  48740  dignn0flhalflem1  48741  dignn0flhalflem2  48742  dignn0ehalf  48743  itsclc0xyqsolr  48895