Theorem expne0d 14220

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  ℤcz 12619  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  znsqcld  14230  absexpz  15396  0.999...  15974  bitsfzo  16531  bitsmod  16532  bitsinv1lem  16537  bitsuz  16570  pcexp  16957  dvdsprmpweqle  16984  pcaddlem  16986  pcadd  16987  qexpz  16999  dvrecg  26207  dvexp3  26212  plyeq0lem  26443  aareccl  26569  taylthlem2  26617  root1cj  27001  cxpeq  27002  dcubic1lem  27088  dcubic2  27089  cubic2  27093  cubic  27094  lgamgulmlem4  27276  basellem4  27328  basellem8  27332  lgseisenlem1  27619  lgseisenlem2  27620  lgsquadlem1  27624  nrt2irr  30961  constrresqrtcl  34295  cos9thpiminplylem2  34301  dya2icoseg  34796  dya2iocucvr  34803  omssubadd  34819  oddpwdc  34873  signsplypnf  35066  signsply0  35067  knoppndvlem7  37223  knoppndvlem17  37233  dvrelogpow2b  42942  aks4d1p1p6  42947  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1p5  42949  aks4d1p8d3  42960  aks4d1p8  42961  aks6d1c2p2  42993  exp11d  43209  dffltz  43488  fltdiv  43490  fltnlta  43517  3cubeslem4  43542  rmxyneg  43769  radcnvrat  45146  dvdivbd  46759  iblsplit  46802  wallispi2lem1  46907  wallispi2lem2  46908  wallispi2  46909  stirlinglem3  46912  stirlinglem4  46913  stirlinglem7  46916  stirlinglem8  46917  stirlinglem10  46919  stirlinglem13  46922  stirlinglem14  46923  stirlinglem15  46924  fourierdlem56  46998  fourierdlem57  46999  elaa2lem  47069  sge0ad2en  47267  ovnsubaddlem1  47406  fldivexpfllog2  49503  nn0digval  49538  dignnld  49541  dig2nn1st  49543  dig2bits  49552  dignn0flhalflem1  49553  dignn0flhalflem2  49554  dignn0ehalf  49555  itsclc0xyqsolr  49707