Theorem expne0d 14275

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  ℤcz 12674  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  znsqcld  14285  absexpz  15452  0.999...  16030  bitsfzo  16585  bitsmod  16586  bitsinv1lem  16591  bitsuz  16624  pcexp  17017  dvdsprmpweqle  17044  pcaddlem  17046  pcadd  17047  qexpz  17059  dvrecg  26273  dvexp3  26278  plyeq0lem  26509  aareccl  26635  taylthlem2  26683  root1cj  27066  cxpeq  27067  dcubic1lem  27153  dcubic2  27154  cubic2  27158  cubic  27159  lgamgulmlem4  27341  basellem4  27393  basellem8  27397  lgseisenlem1  27684  lgseisenlem2  27685  lgsquadlem1  27689  fltdiv  27950  nrt2irr  31056  constrresqrtcl  34391  cos9thpiminplylem2  34397  dya2icoseg  34892  dya2iocucvr  34899  omssubadd  34915  oddpwdc  34969  signsplypnf  35162  signsply0  35163  knoppndvlem7  37354  knoppndvlem17  37364  dvrelogpow2b  43086  aks4d1p1p6  43091  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p1p5  43093  aks4d1p8d3  43104  aks4d1p8  43105  aks6d1c2p2  43137  exp11d  43351  dffltz  43624  fltnlta  43628  3cubeslem4  43653  rmxyneg  43880  radcnvrat  45257  dvdivbd  46877  iblsplit  46920  wallispi2lem1  47025  wallispi2lem2  47026  wallispi2  47027  stirlinglem3  47030  stirlinglem4  47031  stirlinglem7  47034  stirlinglem8  47035  stirlinglem10  47037  stirlinglem13  47040  stirlinglem14  47041  stirlinglem15  47042  fourierdlem56  47116  fourierdlem57  47117  elaa2lem  47187  sge0ad2en  47385  ovnsubaddlem1  47524  fldivexpfllog2  49621  nn0digval  49656  dignnld  49659  dig2nn1st  49661  dig2bits  49670  dignn0flhalflem1  49671  dignn0flhalflem2  49672  dignn0ehalf  49673  itsclc0xyqsolr  49825