Theorem expne0d 14179

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  ℤcz 12582  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  znsqcld  14189  absexpz  15346  0.999...  15925  bitsfzo  16483  bitsmod  16484  bitsinv1lem  16489  bitsuz  16522  pcexp  16909  dvdsprmpweqle  16936  pcaddlem  16938  pcadd  16939  qexpz  16951  dvrecg  26093  dvexp3  26098  plyeq0lem  26328  aareccl  26448  taylthlem2  26495  root1cj  26879  cxpeq  26880  dcubic1lem  26966  dcubic2  26967  cubic2  26971  cubic  26972  lgamgulmlem4  27154  basellem4  27206  basellem8  27210  lgseisenlem1  27497  lgseisenlem2  27498  lgsquadlem1  27502  nrt2irr  30733  constrresqrtcl  34084  cos9thpiminplylem2  34090  dya2icoseg  34584  dya2iocucvr  34591  omssubadd  34607  oddpwdc  34661  signsplypnf  34854  signsply0  34855  knoppndvlem7  36969  knoppndvlem17  36979  dvrelogpow2b  42697  aks4d1p1p6  42702  aks4d1p1p7  42703  aks4d1p1p5  42704  aks4d1p8d3  42715  aks4d1p8  42716  aks6d1c2p2  42748  exp11d  42947  dffltz  43228  fltdiv  43230  fltnlta  43257  3cubeslem4  43282  rmxyneg  43509  radcnvrat  44888  dvdivbd  46495  iblsplit  46538  wallispi2lem1  46643  wallispi2lem2  46644  wallispi2  46645  stirlinglem3  46648  stirlinglem4  46649  stirlinglem7  46652  stirlinglem8  46653  stirlinglem10  46655  stirlinglem13  46658  stirlinglem14  46659  stirlinglem15  46660  fourierdlem56  46734  fourierdlem57  46735  elaa2lem  46805  sge0ad2en  47003  ovnsubaddlem1  47142  fldivexpfllog2  49196  nn0digval  49231  dignnld  49234  dig2nn1st  49236  dig2bits  49245  dignn0flhalflem1  49246  dignn0flhalflem2  49247  dignn0ehalf  49248  itsclc0xyqsolr  49400