Theorem expne0d 14059

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  ℤcz 12468  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  znsqcld  14069  absexpz  15212  0.999...  15788  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitsinv1lem  16352  bitsuz  16385  pcexp  16771  dvdsprmpweqle  16798  pcaddlem  16800  pcadd  16801  qexpz  16813  dvrecg  25905  dvexp3  25910  plyeq0lem  26143  aareccl  26262  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  root1cj  26694  cxpeq  26695  dcubic1lem  26781  dcubic2  26782  cubic2  26786  cubic  26787  lgamgulmlem4  26970  basellem4  27022  basellem8  27026  lgseisenlem1  27314  lgseisenlem2  27315  lgsquadlem1  27319  nrt2irr  30451  constrresqrtcl  33788  cos9thpiminplylem2  33794  dya2icoseg  34288  dya2iocucvr  34295  omssubadd  34311  oddpwdc  34365  signsplypnf  34561  signsply0  34562  knoppndvlem7  36558  knoppndvlem17  36568  dvrelogpow2b  42107  aks4d1p1p6  42112  aks4d1p1p7  42113  aks4d1p1p5  42114  aks4d1p8d3  42125  aks4d1p8  42126  aks6d1c2p2  42158  exp11d  42365  dffltz  42673  fltdiv  42675  fltnlta  42702  3cubeslem4  42728  rmxyneg  42959  radcnvrat  44353  dvdivbd  45967  iblsplit  46010  wallispi2lem1  46115  wallispi2lem2  46116  wallispi2  46117  stirlinglem3  46120  stirlinglem4  46121  stirlinglem7  46124  stirlinglem8  46125  stirlinglem10  46127  stirlinglem13  46130  stirlinglem14  46131  stirlinglem15  46132  fourierdlem56  46206  fourierdlem57  46207  elaa2lem  46277  sge0ad2en  46475  ovnsubaddlem1  46614  fldivexpfllog2  48603  nn0digval  48638  dignnld  48641  dig2nn1st  48643  dig2bits  48652  dignn0flhalflem1  48653  dignn0flhalflem2  48654  dignn0ehalf  48655  itsclc0xyqsolr  48807