Theorem expne0d 14170

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  ℤcz 12588  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  znsqcld  14180  absexpz  15324  0.999...  15897  bitsfzo  16454  bitsmod  16455  bitsinv1lem  16460  bitsuz  16493  pcexp  16879  dvdsprmpweqle  16906  pcaddlem  16908  pcadd  16909  qexpz  16921  dvrecg  25929  dvexp3  25934  plyeq0lem  26167  aareccl  26286  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  root1cj  26718  cxpeq  26719  dcubic1lem  26805  dcubic2  26806  cubic2  26810  cubic  26811  lgamgulmlem4  26994  basellem4  27046  basellem8  27050  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  nrt2irr  30454  constrresqrtcl  33811  cos9thpiminplylem2  33817  dya2icoseg  34309  dya2iocucvr  34316  omssubadd  34332  oddpwdc  34386  signsplypnf  34582  signsply0  34583  knoppndvlem7  36536  knoppndvlem17  36546  dvrelogpow2b  42081  aks4d1p1p6  42086  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p1p5  42088  aks4d1p8d3  42099  aks4d1p8  42100  aks6d1c2p2  42132  exp11d  42375  dffltz  42657  fltdiv  42659  fltnlta  42686  3cubeslem4  42712  rmxyneg  42944  radcnvrat  44338  dvdivbd  45952  iblsplit  45995  wallispi2lem1  46100  wallispi2lem2  46101  wallispi2  46102  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem7  46109  stirlinglem8  46110  stirlinglem10  46112  stirlinglem13  46115  stirlinglem14  46116  stirlinglem15  46117  fourierdlem56  46191  fourierdlem57  46192  elaa2lem  46262  sge0ad2en  46460  ovnsubaddlem1  46599  fldivexpfllog2  48545  nn0digval  48580  dignnld  48583  dig2nn1st  48585  dig2bits  48594  dignn0flhalflem1  48595  dignn0flhalflem2  48596  dignn0ehalf  48597  itsclc0xyqsolr  48749