Theorem expne0d 14192

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  znsqcld  14202  absexpz  15344  0.999...  15917  bitsfzo  16472  bitsmod  16473  bitsinv1lem  16478  bitsuz  16511  pcexp  16897  dvdsprmpweqle  16924  pcaddlem  16926  pcadd  16927  qexpz  16939  dvrecg  26011  dvexp3  26016  plyeq0lem  26249  aareccl  26368  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  root1cj  26799  cxpeq  26800  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  cubic2  26891  cubic  26892  lgamgulmlem4  27075  basellem4  27127  basellem8  27131  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem2  27420  lgsquadlem1  27424  nrt2irr  30492  dya2icoseg  34279  dya2iocucvr  34286  omssubadd  34302  oddpwdc  34356  signsplypnf  34565  signsply0  34566  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem17  36529  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p8d3  42087  aks4d1p8  42088  aks6d1c2p2  42120  exp11d  42361  dffltz  42644  fltdiv  42646  fltnlta  42673  3cubeslem4  42700  rmxyneg  42932  radcnvrat  44333  dvdivbd  45938  iblsplit  45981  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  wallispi2  46088  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem7  46095  stirlinglem8  46096  stirlinglem10  46098  stirlinglem13  46101  stirlinglem14  46102  stirlinglem15  46103  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178  elaa2lem  46248  sge0ad2en  46446  ovnsubaddlem1  46585  fldivexpfllog2  48486  nn0digval  48521  dignnld  48524  dig2nn1st  48526  dig2bits  48535  dignn0flhalflem1  48536  dignn0flhalflem2  48537  dignn0ehalf  48538  itsclc0xyqsolr  48690