Theorem expne0d 14114

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14056	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  ℤcz 12524  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  znsqcld  14124  absexpz  15267  0.999...  15846  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  bitsinv1lem  16410  bitsuz  16443  pcexp  16830  dvdsprmpweqle  16857  pcaddlem  16859  pcadd  16860  qexpz  16872  dvrecg  25940  dvexp3  25945  plyeq0lem  26175  aareccl  26292  taylthlem2  26339  root1cj  26720  cxpeq  26721  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  cubic2  26812  cubic  26813  lgamgulmlem4  26995  basellem4  27047  basellem8  27051  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  nrt2irr  30543  constrresqrtcl  33921  cos9thpiminplylem2  33927  dya2icoseg  34421  dya2iocucvr  34428  omssubadd  34444  oddpwdc  34498  signsplypnf  34694  signsply0  34695  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem17  36788  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p8d3  42525  aks4d1p8  42526  aks6d1c2p2  42558  exp11d  42758  dffltz  43067  fltdiv  43069  fltnlta  43096  3cubeslem4  43121  rmxyneg  43348  radcnvrat  44741  dvdivbd  46351  iblsplit  46394  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem7  46508  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  fourierdlem56  46590  fourierdlem57  46591  elaa2lem  46661  sge0ad2en  46859  ovnsubaddlem1  46998  fldivexpfllog2  49041  nn0digval  49076  dignnld  49079  dig2nn1st  49081  dig2bits  49090  dignn0flhalflem1  49091  dignn0flhalflem2  49092  dignn0ehalf  49093  itsclc0xyqsolr  49245