Theorem expne0d 14075

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  ℤcz 12488  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  znsqcld  14085  absexpz  15228  0.999...  15804  bitsfzo  16362  bitsmod  16363  bitsinv1lem  16368  bitsuz  16401  pcexp  16787  dvdsprmpweqle  16814  pcaddlem  16816  pcadd  16817  qexpz  16829  dvrecg  25933  dvexp3  25938  plyeq0lem  26171  aareccl  26290  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  root1cj  26722  cxpeq  26723  dcubic1lem  26809  dcubic2  26810  cubic2  26814  cubic  26815  lgamgulmlem4  26998  basellem4  27050  basellem8  27054  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgsquadlem1  27347  nrt2irr  30548  constrresqrtcl  33934  cos9thpiminplylem2  33940  dya2icoseg  34434  dya2iocucvr  34441  omssubadd  34457  oddpwdc  34511  signsplypnf  34707  signsply0  34708  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem17  36728  dvrelogpow2b  42318  aks4d1p1p6  42323  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p1p5  42325  aks4d1p8d3  42336  aks4d1p8  42337  aks6d1c2p2  42369  exp11d  42577  dffltz  42873  fltdiv  42875  fltnlta  42902  3cubeslem4  42927  rmxyneg  43158  radcnvrat  44551  dvdivbd  46163  iblsplit  46206  wallispi2lem1  46311  wallispi2lem2  46312  wallispi2  46313  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem7  46320  stirlinglem8  46321  stirlinglem10  46323  stirlinglem13  46326  stirlinglem14  46327  stirlinglem15  46328  fourierdlem56  46402  fourierdlem57  46403  elaa2lem  46473  sge0ad2en  46671  ovnsubaddlem1  46810  fldivexpfllog2  48807  nn0digval  48842  dignnld  48845  dig2nn1st  48847  dig2bits  48856  dignn0flhalflem1  48857  dignn0flhalflem2  48858  dignn0ehalf  48859  itsclc0xyqsolr  49011