Theorem expne0d 13870

Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 13815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  znsqcld  13880  absexpz  15017  0.999...  15593  bitsfzo  16142  bitsmod  16143  bitsinv1lem  16148  bitsuz  16181  pcexp  16560  dvdsprmpweqle  16587  pcaddlem  16589  pcadd  16590  qexpz  16602  dvrecg  25137  dvexp3  25142  plyeq0lem  25371  aareccl  25486  taylthlem2  25533  root1cj  25909  cxpeq  25910  dcubic1lem  25993  dcubic2  25994  cubic2  25998  cubic  25999  lgamgulmlem4  26181  basellem4  26233  basellem8  26237  lgseisenlem1  26523  lgseisenlem2  26524  lgsquadlem1  26528  dya2icoseg  32244  dya2iocucvr  32251  omssubadd  32267  oddpwdc  32321  signsplypnf  32529  signsply0  32530  knoppndvlem7  34698  knoppndvlem17  34708  dvrelogpow2b  40076  aks4d1p1p6  40081  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1p5  40083  aks4d1p8d3  40094  aks4d1p8  40095  exp11d  40325  dffltz  40471  fltdiv  40473  fltnlta  40500  3cubeslem4  40511  rmxyneg  40742  radcnvrat  41932  dvdivbd  43464  iblsplit  43507  wallispi2lem1  43612  wallispi2lem2  43613  wallispi2  43614  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem7  43621  stirlinglem8  43622  stirlinglem10  43624  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlinglem15  43629  fourierdlem56  43703  fourierdlem57  43704  elaa2lem  43774  sge0ad2en  43969  ovnsubaddlem1  44108  fldivexpfllog2  45911  nn0digval  45946  dignnld  45949  dig2nn1st  45951  dig2bits  45960  dignn0flhalflem1  45961  dignn0flhalflem2  45962  dignn0ehalf  45963  itsclc0xyqsolr  46115