Theorem expne0d 14325

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  ℤcz 12723  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  znsqcld  14335  absexpz  15504  0.999...  16082  bitsfzo  16637  bitsmod  16638  bitsinv1lem  16643  bitsuz  16676  pcexp  17069  dvdsprmpweqle  17096  pcaddlem  17098  pcadd  17099  qexpz  17111  dvrecg  26326  dvexp3  26331  plyeq0lem  26562  aareccl  26686  taylthlem2  26734  root1cj  27117  cxpeq  27118  dcubic1lem  27204  dcubic2  27205  cubic2  27209  cubic  27210  lgamgulmlem4  27392  basellem4  27444  basellem8  27448  lgseisenlem1  27735  lgseisenlem2  27736  lgsquadlem1  27740  fltdiv  28001  flt4lem5e  28019  nrt2irr  31107  constrresqrtcl  34492  cos9thpiminplylem2  34498  dya2icoseg  34992  dya2iocucvr  34999  omssubadd  35015  oddpwdc  35069  signsplypnf  35262  signsply0  35263  knoppndvlem7  37575  knoppndvlem17  37585  dvrelogpow2b  43321  aks4d1p1p6  43326  aks4d1p1p7  43327  aks4d1p1p5  43328  aks4d1p8d3  43339  aks4d1p8  43340  aks6d1c2p2  43372  exp11d  43587  dffltz  43874  fltnlta  43878  3cubeslem4  43903  rmxyneg  44131  radcnvrat  45501  dvdivbd  47148  iblsplit  47191  wallispi2lem1  47296  wallispi2lem2  47297  wallispi2  47298  stirlinglem3  47301  stirlinglem4  47302  stirlinglem7  47305  stirlinglem8  47306  stirlinglem10  47308  stirlinglem13  47311  stirlinglem14  47312  stirlinglem15  47313  fourierdlem56  47387  fourierdlem57  47388  elaa2lem  47458  sge0ad2en  47656  ovnsubaddlem1  47795  fldivexpfllog2  49892  nn0digval  49927  dignnld  49930  dig2nn1st  49932  dig2bits  49941  dignn0flhalflem1  49942  dignn0flhalflem2  49943  dignn0ehalf  49944  itsclc0xyqsolr  50096