Theorem expne0d 14208

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  ℤcz 12609  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  znsqcld  14218  absexpz  15382  0.999...  15961  bitsfzo  16518  bitsmod  16519  bitsinv1lem  16524  bitsuz  16557  pcexp  16944  dvdsprmpweqle  16971  pcaddlem  16973  pcadd  16974  qexpz  16986  dvrecg  26169  dvexp3  26174  plyeq0lem  26404  aareccl  26526  taylthlem2  26574  root1cj  26958  cxpeq  26959  dcubic1lem  27045  dcubic2  27046  cubic2  27050  cubic  27051  lgamgulmlem4  27233  basellem4  27285  basellem8  27289  lgseisenlem1  27576  lgseisenlem2  27577  lgsquadlem1  27581  nrt2irr  30861  constrresqrtcl  34198  cos9thpiminplylem2  34204  dya2icoseg  34699  dya2iocucvr  34706  omssubadd  34722  oddpwdc  34776  signsplypnf  34969  signsply0  34970  knoppndvlem7  37148  knoppndvlem17  37158  dvrelogpow2b  42876  aks4d1p1p6  42881  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p1p5  42883  aks4d1p8d3  42894  aks4d1p8  42895  aks6d1c2p2  42927  exp11d  43128  dffltz  43407  fltdiv  43409  fltnlta  43436  3cubeslem4  43461  rmxyneg  43688  radcnvrat  45065  dvdivbd  46678  iblsplit  46721  wallispi2lem1  46826  wallispi2lem2  46827  wallispi2  46828  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  stirlinglem7  46835  stirlinglem8  46836  stirlinglem10  46838  stirlinglem13  46841  stirlinglem14  46842  stirlinglem15  46843  fourierdlem56  46917  fourierdlem57  46918  elaa2lem  46988  sge0ad2en  47186  ovnsubaddlem1  47325  fldivexpfllog2  49386  nn0digval  49421  dignnld  49424  dig2nn1st  49426  dig2bits  49435  dignn0flhalflem1  49436  dignn0flhalflem2  49437  dignn0ehalf  49438  itsclc0xyqsolr  49590