Theorem expne0d 14298

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  ℤcz 12696  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  znsqcld  14308  absexpz  15477  0.999...  16055  bitsfzo  16610  bitsmod  16611  bitsinv1lem  16616  bitsuz  16649  pcexp  17042  dvdsprmpweqle  17069  pcaddlem  17071  pcadd  17072  qexpz  17084  dvrecg  26298  dvexp3  26303  plyeq0lem  26534  aareccl  26658  taylthlem2  26706  root1cj  27089  cxpeq  27090  dcubic1lem  27176  dcubic2  27177  cubic2  27181  cubic  27182  lgamgulmlem4  27364  basellem4  27416  basellem8  27420  lgseisenlem1  27707  lgseisenlem2  27708  lgsquadlem1  27712  fltdiv  27973  flt4lem5e  27991  nrt2irr  31079  constrresqrtcl  34455  cos9thpiminplylem2  34461  dya2icoseg  34955  dya2iocucvr  34962  omssubadd  34978  oddpwdc  35032  signsplypnf  35225  signsply0  35226  knoppndvlem7  37476  knoppndvlem17  37486  dvrelogpow2b  43211  aks4d1p1p6  43216  aks4d1p1p7  43217  aks4d1p1p5  43218  aks4d1p8d3  43229  aks4d1p8  43230  aks6d1c2p2  43262  exp11d  43476  dffltz  43763  fltnlta  43767  3cubeslem4  43792  rmxyneg  44020  radcnvrat  45391  dvdivbd  47026  iblsplit  47069  wallispi2lem1  47174  wallispi2lem2  47175  wallispi2  47176  stirlinglem3  47179  stirlinglem4  47180  stirlinglem7  47183  stirlinglem8  47184  stirlinglem10  47186  stirlinglem13  47189  stirlinglem14  47190  stirlinglem15  47191  fourierdlem56  47265  fourierdlem57  47266  elaa2lem  47336  sge0ad2en  47534  ovnsubaddlem1  47673  fldivexpfllog2  49770  nn0digval  49805  dignnld  49808  dig2nn1st  49810  dig2bits  49819  dignn0flhalflem1  49820  dignn0flhalflem2  49821  dignn0ehalf  49822  itsclc0xyqsolr  49974