Theorem expne0d 14117

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14059	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  ℤcz 12529  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  znsqcld  14127  absexpz  15271  0.999...  15847  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  bitsinv1lem  16411  bitsuz  16444  pcexp  16830  dvdsprmpweqle  16857  pcaddlem  16859  pcadd  16860  qexpz  16872  dvrecg  25877  dvexp3  25882  plyeq0lem  26115  aareccl  26234  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  root1cj  26666  cxpeq  26667  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  cubic2  26758  cubic  26759  lgamgulmlem4  26942  basellem4  26994  basellem8  26998  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem2  27287  lgsquadlem1  27291  nrt2irr  30402  constrresqrtcl  33767  cos9thpiminplylem2  33773  dya2icoseg  34268  dya2iocucvr  34275  omssubadd  34291  oddpwdc  34345  signsplypnf  34541  signsply0  34542  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem17  36516  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p8d3  42074  aks4d1p8  42075  aks6d1c2p2  42107  exp11d  42314  dffltz  42622  fltdiv  42624  fltnlta  42651  3cubeslem4  42677  rmxyneg  42909  radcnvrat  44303  dvdivbd  45921  iblsplit  45964  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem7  46078  stirlinglem8  46079  stirlinglem10  46081  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  elaa2lem  46231  sge0ad2en  46429  ovnsubaddlem1  46568  fldivexpfllog2  48554  nn0digval  48589  dignnld  48592  dig2nn1st  48594  dig2bits  48603  dignn0flhalflem1  48604  dignn0flhalflem2  48605  dignn0ehalf  48606  itsclc0xyqsolr  48758