Theorem expne0d 14124

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  ℤcz 12536  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  znsqcld  14134  absexpz  15278  0.999...  15854  bitsfzo  16412  bitsmod  16413  bitsinv1lem  16418  bitsuz  16451  pcexp  16837  dvdsprmpweqle  16864  pcaddlem  16866  pcadd  16867  qexpz  16879  dvrecg  25884  dvexp3  25889  plyeq0lem  26122  aareccl  26241  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  root1cj  26673  cxpeq  26674  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  cubic2  26765  cubic  26766  lgamgulmlem4  26949  basellem4  27001  basellem8  27005  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  lgsquadlem1  27298  nrt2irr  30409  constrresqrtcl  33774  cos9thpiminplylem2  33780  dya2icoseg  34275  dya2iocucvr  34282  omssubadd  34298  oddpwdc  34352  signsplypnf  34548  signsply0  34549  knoppndvlem7  36513  knoppndvlem17  36523  dvrelogpow2b  42063  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p8d3  42081  aks4d1p8  42082  aks6d1c2p2  42114  exp11d  42321  dffltz  42629  fltdiv  42631  fltnlta  42658  3cubeslem4  42684  rmxyneg  42916  radcnvrat  44310  dvdivbd  45928  iblsplit  45971  wallispi2lem1  46076  wallispi2lem2  46077  wallispi2  46078  stirlinglem3  46081  stirlinglem4  46082  stirlinglem7  46085  stirlinglem8  46086  stirlinglem10  46088  stirlinglem13  46091  stirlinglem14  46092  stirlinglem15  46093  fourierdlem56  46167  fourierdlem57  46168  elaa2lem  46238  sge0ad2en  46436  ovnsubaddlem1  46575  fldivexpfllog2  48558  nn0digval  48593  dignnld  48596  dig2nn1st  48598  dig2bits  48607  dignn0flhalflem1  48608  dignn0flhalflem2  48609  dignn0ehalf  48610  itsclc0xyqsolr  48762