Theorem expne0d 14105

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  ℤcz 12515  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  znsqcld  14115  absexpz  15258  0.999...  15837  bitsfzo  16395  bitsmod  16396  bitsinv1lem  16401  bitsuz  16434  pcexp  16821  dvdsprmpweqle  16848  pcaddlem  16850  pcadd  16851  qexpz  16863  dvrecg  25950  dvexp3  25955  plyeq0lem  26185  aareccl  26303  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  root1cj  26733  cxpeq  26734  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  cubic2  26825  cubic  26826  lgamgulmlem4  27009  basellem4  27061  basellem8  27065  lgseisenlem1  27352  lgseisenlem2  27353  lgsquadlem1  27357  nrt2irr  30558  constrresqrtcl  33937  cos9thpiminplylem2  33943  dya2icoseg  34437  dya2iocucvr  34444  omssubadd  34460  oddpwdc  34514  signsplypnf  34710  signsply0  34711  knoppndvlem7  36794  knoppndvlem17  36804  dvrelogpow2b  42521  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p7  42527  aks4d1p1p5  42528  aks4d1p8d3  42539  aks4d1p8  42540  aks6d1c2p2  42572  exp11d  42772  dffltz  43081  fltdiv  43083  fltnlta  43110  3cubeslem4  43135  rmxyneg  43366  radcnvrat  44759  dvdivbd  46369  iblsplit  46412  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  wallispi2  46519  stirlinglem3  46522  stirlinglem4  46523  stirlinglem7  46526  stirlinglem8  46527  stirlinglem10  46529  stirlinglem13  46532  stirlinglem14  46533  stirlinglem15  46534  fourierdlem56  46608  fourierdlem57  46609  elaa2lem  46679  sge0ad2en  46877  ovnsubaddlem1  47016  fldivexpfllog2  49053  nn0digval  49088  dignnld  49091  dig2nn1st  49093  dig2bits  49102  dignn0flhalflem1  49103  dignn0flhalflem2  49104  dignn0ehalf  49105  itsclc0xyqsolr  49257