Theorem expne0d 14122

Description: A nonnegative integer power is nonzero if its base is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
expclzd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
expne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Proof of Theorem expne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		expclzd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		expne0i 14065	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113  ℤcz 12563  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  znsqcld  14132  absexpz  15257  0.999...  15832  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  bitsinv1lem  16387  bitsuz  16420  pcexp  16797  dvdsprmpweqle  16824  pcaddlem  16826  pcadd  16827  qexpz  16839  dvrecg  25726  dvexp3  25731  plyeq0lem  25960  aareccl  26076  taylthlem2  26123  root1cj  26501  cxpeq  26502  dcubic1lem  26585  dcubic2  26586  cubic2  26590  cubic  26591  lgamgulmlem4  26773  basellem4  26825  basellem8  26829  lgseisenlem1  27115  lgseisenlem2  27116  lgsquadlem1  27120  nrt2irr  29994  dya2icoseg  33575  dya2iocucvr  33582  omssubadd  33598  oddpwdc  33652  signsplypnf  33860  signsply0  33861  knoppndvlem7  35698  knoppndvlem17  35708  dvrelogpow2b  41240  aks4d1p1p6  41245  aks4d1p1p7  41246  aks4d1p1p5  41247  aks4d1p8d3  41258  aks4d1p8  41259  aks6d1c2p2  41264  exp11d  41519  dffltz  41679  fltdiv  41681  fltnlta  41708  3cubeslem4  41730  rmxyneg  41962  radcnvrat  43376  dvdivbd  44938  iblsplit  44981  wallispi2lem1  45086  wallispi2lem2  45087  wallispi2  45088  stirlinglem3  45091  stirlinglem4  45092  stirlinglem7  45095  stirlinglem8  45096  stirlinglem10  45098  stirlinglem13  45101  stirlinglem14  45102  stirlinglem15  45103  fourierdlem56  45177  fourierdlem57  45178  elaa2lem  45248  sge0ad2en  45446  ovnsubaddlem1  45585  fldivexpfllog2  47339  nn0digval  47374  dignnld  47377  dig2nn1st  47379  dig2bits  47388  dignn0flhalflem1  47389  dignn0flhalflem2  47390  dignn0ehalf  47391  itsclc0xyqsolr  47543