Theorem fltabcoprmex 42127

Description: A counterexample to FLT implies a counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 (assigned to 𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵) and 𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) coprime (by divgcdcoprm0 16633). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltabcoprmex	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = ((𝐶 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁))

Proof of Theorem fltabcoprmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltabcoprmex.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltabcoprmex.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		gcdnncl 16479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
6	4	nnne0d 12290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
7	1	nncnd 12256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	nncnd 12256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		fltabcoprmex.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11		fltabcoprmex.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		fltabcoprmex.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
13	5, 6, 7, 8, 10, 11, 12	fltdiv 42124	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁) + ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁)) = ((𝐶 / (𝐴 gcd 𝐵))↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7415   + caddc 11139   / cdiv 11899  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12500  ↑cexp 14056   gcd cgcd 16466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467

This theorem is referenced by: (None)