Theorem frege126 39123

Description: If 𝑀 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence and if the procedure 𝑅 is single-valued, then every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑌 belongs to the 𝑅-sequence beginning with 𝑀 or precedes 𝑀 in the 𝑅-sequence. Proposition 126 of [Frege1879] p. 81. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege123.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege123.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
frege124.m	⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
frege124.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
frege126	⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → (¬ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑋))))

Proof of Theorem frege126

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege124.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ 𝑊
2		frege123.x	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3	1, 2	frege114 39111	. 2 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 → (¬ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑋))
4		frege123.y	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
5		frege124.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑆
6	2, 4, 1, 5	frege125 39122	. 2 ⊢ ((𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑀 → (¬ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑋)) → (Fun ◡◡𝑅 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → (¬ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑋)))))
7	3, 6	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun ◡◡𝑅 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑀 → (¬ 𝑋(t+‘𝑅)𝑀 → 𝑀((t+‘𝑅) ∪ I )𝑋))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2166   ∪ cun 3796   class class class wbr 4873   I cid 5249  ^◡ccnv 5341  Fun wfun 6117  ‘cfv 6123  t+ctcl 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-frege1 38924  ax-frege2 38925  ax-frege8 38943  ax-frege28 38964  ax-frege31 38968  ax-frege41 38979  ax-frege52a 38991  ax-frege52c 39022  ax-frege58b 39035

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-trcl 14105  df-relexp 14138  df-he 38907

This theorem is referenced by:  frege127  39124