Theorem fzsplitnd 42421

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzsplitnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fzsplitnd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplitnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsplitnd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 13474	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1	elfzelzd 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
8	7	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		1zzd 12558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11	4, 10	zsubcld 12638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12		elfzuz3 13475	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
14	7	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
15	14	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
16	13, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
17		peano2uzr 12853	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
18	11, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
19		fzsplit2 13503	. . 3 ⊢ ((((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
20	9, 18, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
21	7	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁) = (𝐾...𝑁))
22	21	uneq2d 4108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
23	20, 22	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzsplitnr  42422