Theorem fzsplitnd 42435

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzsplitnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fzsplitnd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplitnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsplitnd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 13465	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1	elfzelzd 13470	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		1zzd 12549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11	4, 10	zsubcld 12629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12		elfzuz3 13466	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
14	7	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
15	14	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
16	13, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
17		peano2uzr 12844	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
18	11, 16, 17	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
19		fzsplit2 13494	. . 3 ⊢ ((((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
20	9, 18, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
21	7	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁) = (𝐾...𝑁))
22	21	uneq2d 4109	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
23	20, 22	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  fzsplitnr  42436