Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzsplitnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplitnd 40469
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fzsplitnd.1 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fzsplitnd (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplitnd
StepHypRef Expression
1 fzsplitnd.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz 13444 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
41elfzelzd 13449 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
54zcnd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
6 1cnd 11157 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 11523 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
87eleq1d 2823 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)))
93, 8mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
10 1zzd 12541 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
114, 10zsubcld 12619 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12 elfzuz3 13445 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
147fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
1514eleq2d 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1613, 15mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
17 peano2uzr 12835 . . . 4 (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
1811, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1)))
19 fzsplit2 13473 . . 3 ((((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐾 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
209, 18, 19syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
217oveq1d 7377 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁) = (𝐾...𝑁))
2221uneq2d 4128 . 2 (𝜑 → ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
2320, 22eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432
This theorem is referenced by:  fzsplitnr  40470  metakunt24  40629
  Copyright terms: Public domain W3C validator