Theorem fzsplitnd 41955

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzsplitnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fzsplitnd	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplitnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsplitnd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 13441	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1	elfzelzd 13446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6		1cnd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
8	7	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		1zzd 12524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11	4, 10	zsubcld 12603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
12		elfzuz3 13442	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
14	7	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝐾))
15	14	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
16	13, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1)))
17		peano2uzr 12822	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
18	11, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1)))
19		fzsplit2 13470	. . 3 ⊢ ((((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
20	9, 18, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)))
21	7	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁) = (𝐾...𝑁))
22	21	uneq2d 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (((𝐾 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))
23	20, 22	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429

This theorem is referenced by:  fzsplitnr  41956