MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0c 27336
Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 27352. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0c (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0a.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 eldifi 4123 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 gausslemma2dlem0b.h . . . . . 6 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
51, 4gausslemma2dlem0b 27335 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12565 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
73, 6jca 510 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8 prmnn 16648 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9 nnre 12252 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 peano2rem 11559 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12 2re 12319 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1413, 9remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
159ltm1d 12179 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16 nnnn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1716nn0ge0d 12568 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18 1le2 12454 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
209, 13, 17, 19lemulge12d 12185 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
2111, 9, 14, 15, 20ltletrd 11406 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22 2pos 12348 . . . . . . . . 9 0 < 2
2312, 22pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltdivmul 12122 . . . . . . 7 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2611, 9, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2721, 26mpbird 256 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
281, 2, 8, 274syl 19 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
294, 28eqbrtrid 5184 . . 3 (𝜑𝐻 < 𝑃)
30 prmndvdsfaclt 16700 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
317, 29, 30sylc 65 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
326faccld 14279 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
3332nnzd 12618 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
34 nnz 12612 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
351, 2, 8, 344syl 19 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3633, 35gcdcomd 16492 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
3736eqeq1d 2727 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
38 coprm 16685 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
393, 33, 38syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
4037, 39bitr4d 281 . 2 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
4131, 40mpbird 256 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3941  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  !cfa 14268  cdvds 16234   gcd cgcd 16472  cprime 16645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27351
  Copyright terms: Public domain W3C validator