MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0c 26709
Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2dlem0b.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0c (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0a.p . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 eldifi 4087 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4 gausslemma2dlem0b.h . . . . . 6 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
51, 4gausslemma2dlem0b 26708 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12474 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
73, 6jca 513 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0))
8 prmnn 16551 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9 nnre 12161 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
10 peano2rem 11469 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
12 2re 12228 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
1413, 9remulcld 11186 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
159ltm1d 12088 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
16 nnnn0 12421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1716nn0ge0d 12477 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
18 1le2 12363 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 2
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
209, 13, 17, 19lemulge12d 12094 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘ƒ))
2111, 9, 14, 15, 20ltletrd 11316 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ))
22 2pos 12257 . . . . . . . . . 10 0 < 2
2312, 22pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
25 ltdivmul 12031 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ)))
2611, 9, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ)))
2721, 26mpbird 257 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
282, 8, 273syl 18 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
291, 28syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
304, 29eqbrtrid 5141 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป < ๐‘ƒ)
31 prmndvdsfaclt 16602 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ป < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป)))
327, 30, 31sylc 65 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป))
336faccld 14185 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
3433nnzd 12527 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค)
35 nnz 12521 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
362, 8, 353syl 18 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
371, 36syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
3834, 37gcdcomd 16395 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)))
3938eqeq1d 2739 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
40 coprm 16588 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป) โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
413, 34, 40syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป) โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
4239, 41bitr4d 282 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป)))
4332, 42mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  !cfa 14174   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  26724
  Copyright terms: Public domain W3C validator