Theorem gausslemma2dlem0c 25942

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 25958. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifi 4054	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 25941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 11943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
7	3, 6	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8		prmnn 16008	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnre 11632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		peano2rem 10942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12		2re 11699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
14	13, 9	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
15	9	ltm1d 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16		nnnn0 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	16	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18		1le2 11834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 11567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 10789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22		2pos 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltdivmul 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
27	21, 26	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
28	2, 8, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
29	1, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
30	4, 29	eqbrtrid 5065	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑃)
31		prmndvdsfaclt 16057	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
32	7, 30, 31	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
33	6	faccld 13640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
34	33	nnzd 12074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
35		nnz 11992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
36	2, 8, 35	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
37	1, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
38		gcdcom 15852	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
39	34, 37, 38	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
40	39	eqeq1d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
41		coprm 16045	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
42	3, 34, 41	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
43	40, 42	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
44	32, 43	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  !cfa 13629   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  25957