Theorem gausslemma2dlem0c 27285

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 27301. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 27284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
7	3, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8		prmnn 16603	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnre 12153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		peano2rem 11449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12		2re 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
14	13, 9	remulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
15	9	ltm1d 12075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16		nnnn0 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	16	nn0ge0d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18		1le2 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 12081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22		2pos 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltdivmul 12018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
27	21, 26	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
28	1, 2, 8, 27	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
29	4, 28	eqbrtrid 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑃)
30		prmndvdsfaclt 16654	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
31	7, 29, 30	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
32	6	faccld 14209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
33	32	nnzd 12516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
34		nnz 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
35	1, 2, 8, 34	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
36	33, 35	gcdcomd 16443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
37	36	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
38		coprm 16640	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
39	3, 33, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
40	37, 39	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
41	31, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  !cfa 14198   ∥ cdvds 16181   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27300