Theorem gausslemma2dlem0c 27325

Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 27341. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0c	⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0a.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		eldifi 4083	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		gausslemma2dlem0b.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
5	1, 4	gausslemma2dlem0b 27324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
7	3, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8		prmnn 16601	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnre 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10		peano2rem 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12		2re 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
14	13, 9	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
15	9	ltm1d 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
17	16	nn0ge0d 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18		1le2 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
20	9, 13, 17, 19	lemulge12d 12080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
21	11, 9, 14, 15, 20	ltletrd 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22		2pos 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
23	12, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		ltdivmul 12017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
26	11, 9, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
27	21, 26	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
28	1, 2, 8, 27	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
29	4, 28	eqbrtrid 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 < 𝑃)
30		prmndvdsfaclt 16652	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
31	7, 29, 30	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
32	6	faccld 14207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
33	32	nnzd 12514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
34		nnz 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
35	1, 2, 8, 34	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
36	33, 35	gcdcomd 16441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
37	36	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
38		coprm 16638	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
39	3, 33, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
40	37, 39	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
41	31, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  !cfa 14196   ∥ cdvds 16179   gcd cgcd 16421  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27340