MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0c 27278
Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 27294. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2dlem0b.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0c (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0a.p . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 eldifi 4122 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4 gausslemma2dlem0b.h . . . . . 6 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
51, 4gausslemma2dlem0b 27277 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12554 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
73, 6jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0))
8 prmnn 16636 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9 nnre 12241 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
10 peano2rem 11549 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
12 2re 12308 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
1413, 9remulcld 11266 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
159ltm1d 12168 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < ๐‘ƒ)
16 nnnn0 12501 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
1716nn0ge0d 12557 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ƒ)
18 1le2 12443 . . . . . . . . . 10 1 โ‰ค 2
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค 2)
209, 13, 17, 19lemulge12d 12174 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (2 ยท ๐‘ƒ))
2111, 9, 14, 15, 20ltletrd 11396 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ))
22 2pos 12337 . . . . . . . . . 10 0 < 2
2312, 22pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
25 ltdivmul 12111 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ)))
2611, 9, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ)))
2721, 26mpbird 257 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
282, 8, 273syl 18 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
291, 28syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) < ๐‘ƒ)
304, 29eqbrtrid 5177 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป < ๐‘ƒ)
31 prmndvdsfaclt 16688 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ป โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ป < ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป)))
327, 30, 31sylc 65 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป))
336faccld 14267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„•)
3433nnzd 12607 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค)
35 nnz 12601 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
362, 8, 353syl 18 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
371, 36syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
3834, 37gcdcomd 16480 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)))
3938eqeq1d 2729 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
40 coprm 16673 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜๐ป) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป) โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
413, 34, 40syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป) โ†” (๐‘ƒ gcd (!โ€˜๐ป)) = 1))
4239, 41bitr4d 282 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐ป)))
4332, 42mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐ป) gcd ๐‘ƒ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  !cfa 14256   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460  โ„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  27293
  Copyright terms: Public domain W3C validator