Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem0c 25940
 Description: Auxiliary lemma 3 for gausslemma2d 25956. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2dlem0a.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0b.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem0c (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)

Proof of Theorem gausslemma2dlem0c
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem0a.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 eldifi 4089 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 gausslemma2dlem0b.h . . . . . 6 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
51, 4gausslemma2dlem0b 25939 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11950 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
73, 6jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0))
8 prmnn 16014 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9 nnre 11639 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 peano2rem 10947 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12 2re 11706 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1413, 9remulcld 10665 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
159ltm1d 11566 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < 𝑃)
16 nnnn0 11899 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1716nn0ge0d 11953 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑃)
18 1le2 11841 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
209, 13, 17, 19lemulge12d 11572 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≤ (2 · 𝑃))
2111, 9, 14, 15, 20ltletrd 10794 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃))
22 2pos 11735 . . . . . . . . . 10 0 < 2
2312, 22pm3.2i 474 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 ltdivmul 11509 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2611, 9, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃 ↔ (𝑃 − 1) < (2 · 𝑃)))
2721, 26mpbird 260 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
282, 8, 273syl 18 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
291, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) < 𝑃)
304, 29eqbrtrid 5088 . . 3 (𝜑𝐻 < 𝑃)
31 prmndvdsfaclt 16063 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐻 ∈ ℕ0) → (𝐻 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
327, 30, 31sylc 65 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻))
336faccld 13647 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℕ)
3433nnzd 12081 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐻) ∈ ℤ)
35 nnz 11999 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
362, 8, 353syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
371, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
38 gcdcom 15858 . . . . 5 (((!‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
3934, 37, 38syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (!‘𝐻)))
4039eqeq1d 2826 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
41 coprm 16051 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝐻) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
423, 34, 41syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻) ↔ (𝑃 gcd (!‘𝐻)) = 1))
4340, 42bitr4d 285 . 2 (𝜑 → (((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝐻)))
4432, 43mpbird 260 1 (𝜑 → ((!‘𝐻) gcd 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11687  ℕ0cn0 11892  ℤcz 11976  !cfa 13636   ∥ cdvds 15605   gcd cgcd 15839  ℙcprime 16011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-dvds 15606  df-gcd 15840  df-prm 16012 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem7  25955
 Copyright terms: Public domain W3C validator