Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5c 41035
Description: Part 2 of Equation 2 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.n ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.r ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.s ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
flt4lem5a.2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
flt4lem5a.3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))

Proof of Theorem flt4lem5c
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14153 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3 flt4lem5a.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnsqcld 14153 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
5 flt4lem5a.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
6 flt4lem5a.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
7 2prm 16573 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„™
81nnzd 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
9 prmdvdssq 16599 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
107, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
116, 10mtbid 324 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
12 flt4lem5a.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
13 2nn 12231 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
1413a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
15 rplpwr 16443 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1)
181nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918flt4lem 41026 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘2))
203nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120flt4lem 41026 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘4) = ((๐ตโ†‘2)โ†‘2))
2219, 21oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
2422, 23eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 41027 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))))
26 flt4lem5a.n . . . 4 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16704 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2825, 27syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
29 flt4lem5a.m . . . 4 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16702 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3125, 30syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32 flt4lem5a.r . . 3 ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . 3 ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 41033 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
3528nnzd 12531 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
368, 35gcdcomd 16399 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐ด))
3731nnzd 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3835, 37gcdcomd 16399 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
3929, 26flt4lem5 41031 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
4138, 40eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
4228nnsqcld 14153 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
4342nncnd 12174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
442nncnd 12174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44addcomd 11362 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
4645, 34eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 41023 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
4836, 47eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
4932, 33pythagtriplem16 16707 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐‘) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1392 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  4c4 12215  โ„คcz 12504  โ†‘cexp 13973  โˆšcsqrt 15124   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  41037
  Copyright terms: Public domain W3C validator