Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | flt4lem5a.a |
. 2
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2 | 1 | nnsqcld 14153 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
3 | | flt4lem5a.b |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
4 | 3 | nnsqcld 14153 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
5 | | flt4lem5a.c |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
6 | | flt4lem5a.1 |
. . . . 5
โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) |
7 | | 2prm 16573 |
. . . . . 6
โข 2 โ
โ |
8 | 1 | nnzd 12531 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
9 | | prmdvdssq 16599 |
. . . . . 6
โข ((2
โ โ โง ๐ด
โ โค) โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
10 | 7, 8, 9 | sylancr 588 |
. . . . 5
โข (๐ โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
11 | 6, 10 | mtbid 324 |
. . . 4
โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)) |
12 | | flt4lem5a.2 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) |
13 | | 2nn 12231 |
. . . . . . 7
โข 2 โ
โ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐ โ 2 โ
โ) |
15 | | rplpwr 16443 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง 2 โ
โ) โ ((๐ด gcd
๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
16 | 1, 5, 14, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
17 | 12, 16 | mpd 15 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1) |
18 | 1 | nncnd 12174 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18 | flt4lem 41026 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ดโ4) = ((๐ดโ2)โ2)) |
20 | 3 | nncnd 12174 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
21 | 20 | flt4lem 41026 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ตโ4) = ((๐ตโ2)โ2)) |
22 | 19, 21 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2))) |
23 | | flt4lem5a.3 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) |
24 | 22, 23 | eqtr3d 2775 |
. . . 4
โข (๐ โ (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2)) |
25 | 2, 4, 5, 11, 17, 24 | flt4lem1 41027 |
. . 3
โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง
๐ถ โ โ) โง
(((๐ดโ2)โ2) +
((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)))) |
26 | | flt4lem5a.n |
. . . 4
โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
27 | 26 | pythagtriplem13 16704 |
. . 3
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ ๐ โ
โ) |
28 | 25, 27 | syl 17 |
. 2
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
29 | | flt4lem5a.m |
. . . 4
โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
30 | 29 | pythagtriplem11 16702 |
. . 3
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ ๐ โ
โ) |
31 | 25, 30 | syl 17 |
. 2
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
32 | | flt4lem5a.r |
. . 3
โข ๐
= (((โโ(๐ + ๐)) + (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
33 | | flt4lem5a.s |
. . 3
โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) โ (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
34 | 29, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12,
23 | flt4lem5a 41033 |
. 2
โข (๐ โ ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2)) |
35 | 28 | nnzd 12531 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
36 | 8, 35 | gcdcomd 16399 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐) = (๐ gcd ๐ด)) |
37 | 31 | nnzd 12531 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
38 | 35, 37 | gcdcomd 16399 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = (๐ gcd ๐)) |
39 | 29, 26 | flt4lem5 41031 |
. . . . . 6
โข ((((๐ดโ2) โ โ โง
(๐ตโ2) โ โ
โง ๐ถ โ โ)
โง (((๐ดโ2)โ2)
+ ((๐ตโ2)โ2)) =
(๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ (๐ gcd ๐) = 1) |
40 | 25, 39 | syl 17 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) |
41 | 38, 40 | eqtrd 2773 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ gcd ๐) = 1) |
42 | 28 | nnsqcld 14153 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
43 | 42 | nncnd 12174 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐โ2) โ โ) |
44 | 2 | nncnd 12174 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
45 | 43, 44 | addcomd 11362 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐โ2) + (๐ดโ2)) = ((๐ดโ2) + (๐โ2))) |
46 | 45, 34 | eqtrd 2773 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐โ2) + (๐ดโ2)) = (๐โ2)) |
47 | 28, 1, 31, 41, 46 | fltabcoprm 41023 |
. . 3
โข (๐ โ (๐ gcd ๐ด) = 1) |
48 | 36, 47 | eqtrd 2773 |
. 2
โข (๐ โ (๐ด gcd ๐) = 1) |
49 | 32, 33 | pythagtriplem16 16707 |
. 2
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ((๐ดโ2) + (๐โ2)) = (๐โ2) โง ((๐ด gcd ๐) = 1 โง ยฌ 2 โฅ ๐ด)) โ ๐ = (2 ยท (๐
ยท ๐))) |
50 | 1, 28, 31, 34, 48, 6, 49 | syl312anc 1392 |
1
โข (๐ โ ๐ = (2 ยท (๐
ยท ๐))) |