Theorem aks4d1p8d3 42547

Description: The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d3	⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Proof of Theorem aks4d1p8d3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks4d1p8d3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pcdvds 16832	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
5		prmnn 16640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8	1, 2	pccld 16818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	7, 8	zexpcld 14046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
10	7	zcnd 12631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
11		0red 11144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13	7	zred 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
14		0lt1 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		prmgt1 16664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
18	11, 12, 13, 15, 17	lttrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
19	11, 18	ltned 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑃)
20	19	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
21	8	nn0zd 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
22	10, 20, 21	expne0d 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
23	2	nnzd 12547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		dvdsval2 16221	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
25	9, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
26	4, 25	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
27	26, 9	gcdcomd 16480	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
28		pcndvds2 16836	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
29	1, 2, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
30		coprm 16678	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
31	1, 26, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
32	29, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
33		aks4d1p8d3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
34		pcelnn 16838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	1, 2, 34	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
36	33, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
37		rpexp 16689	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
38	7, 26, 36, 37	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
39	32, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
40	27, 39	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364  0cc0 11035  1c1 11036   < clt 11176   / cdiv 11804  ℕcn 12171  ℤcz 12521  ↑cexp 14020   ∥ cdvds 16218   gcd cgcd 16460  ℙcprime 16637   pCnt cpc 16804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-fz 13459  df-fl 13748  df-mod 13826  df-seq 13961  df-exp 14021  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-dvds 16219  df-gcd 16461  df-prm 16638  df-pc 16805

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42548