Theorem aks4d1p8d3 42939

Description: The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d3	⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Proof of Theorem aks4d1p8d3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks4d1p8d3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pcdvds 16960	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
5		prmnn 16768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8	1, 2	pccld 16946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	7, 8	zexpcld 14153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
10	7	zcnd 12729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
11		0red 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13	7	zred 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
14		0lt1 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		prmgt1 16792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
18	11, 12, 13, 15, 17	lttrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
19	11, 18	ltned 11373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑃)
20	19	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
21	8	nn0zd 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
22	10, 20, 21	expne0d 14218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
23	2	nnzd 12644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		dvdsval2 16349	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
25	9, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
26	4, 25	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
27	26, 9	gcdcomd 16608	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
28		pcndvds2 16964	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
29	1, 2, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
30		coprm 16806	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
31	1, 26, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
32	29, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
33		aks4d1p8d3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
34		pcelnn 16966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	1, 2, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
36	33, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
37		rpexp 16817	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
38	7, 26, 36, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
39	32, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
40	27, 39	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ↑cexp 14127   ∥ cdvds 16346   gcd cgcd 16588  ℙcprime 16765   pCnt cpc 16932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-pc 16933

This theorem is used by:  aks4d1p8  42940