Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p8d3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p8d3 41551
Description: The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p8d3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d3.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d3.3 (𝜑𝑃𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p8d3 (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Proof of Theorem aks4d1p8d3
StepHypRef Expression
1 aks4d1p8d3.2 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 aks4d1p8d3.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 pcdvds 16826 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
41, 2, 3syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
5 prmnn 16638 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
61, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
76nnzd 12609 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
81, 2pccld 16812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
97, 8zexpcld 14078 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
107zcnd 12691 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
11 0red 11241 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 1red 11239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
137zred 12690 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
14 0lt1 11760 . . . . . . . . . 10 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 1)
16 prmgt1 16661 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑃)
1811, 12, 13, 15, 17lttrd 11399 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑃)
1911, 18ltned 11374 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≠ 𝑃)
2019necomd 2992 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
218nn0zd 12608 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
2210, 20, 21expne0d 14142 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
232nnzd 12609 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
24 dvdsval2 16227 . . . . 5 (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
259, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
264, 25mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
2726, 9gcdcomd 16482 . 2 (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
28 pcndvds2 16830 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
291, 2, 28syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
30 coprm 16675 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
311, 26, 30syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
3229, 31mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
33 aks4d1p8d3.3 . . . . 5 (𝜑𝑃𝑁)
34 pcelnn 16832 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
351, 2, 34syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃𝑁))
3633, 35mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
37 rpexp 16687 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
387, 26, 36, 37syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
3932, 38mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
4027, 39eqtrd 2768 1 (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   < clt 11272   / cdiv 11895  cn 12236  cz 12582  cexp 14052  cdvds 16224   gcd cgcd 16462  cprime 16635   pCnt cpc 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  41552
  Copyright terms: Public domain W3C validator