Theorem aks4d1p8d3 42738

Description: The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d3	⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Proof of Theorem aks4d1p8d3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks4d1p8d3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pcdvds 16920	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
5		prmnn 16728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8	1, 2	pccld 16906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	7, 8	zexpcld 14119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
10	7	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
11		0red 11207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13	7	zred 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
14		0lt1 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		prmgt1 16752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
18	11, 12, 13, 15, 17	lttrd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
19	11, 18	ltned 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑃)
20	19	necomd 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
21	8	nn0zd 12612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
22	10, 20, 21	expne0d 14184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
23	2	nnzd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		dvdsval2 16309	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
25	9, 22, 23, 24	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
26	4, 25	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
27	26, 9	gcdcomd 16568	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
28		pcndvds2 16924	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
29	1, 2, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
30		coprm 16766	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
31	1, 26, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
32	29, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
33		aks4d1p8d3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
34		pcelnn 16926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	1, 2, 34	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
36	33, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
37		rpexp 16777	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
38	7, 26, 36, 37	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
39	32, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
40	27, 39	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   / cdiv 11867  ℕcn 12229  ℤcz 12587  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16306   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725   pCnt cpc 16892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-pc 16893

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42739