Theorem aks4d1p8d3 43050

Description: The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d3.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d3	⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

Proof of Theorem aks4d1p8d3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		aks4d1p8d3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		pcdvds 16989	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁)
5		prmnn 16797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
8	1, 2	pccld 16975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
9	7, 8	zexpcld 14184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
10	7	zcnd 12759	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
11		0red 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13	7	zred 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
14		0lt1 11793	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		prmgt1 16821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
18	11, 12, 13, 15, 17	lttrd 11428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
19	11, 18	ltned 11403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑃)
20	19	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
21	8	nn0zd 12673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
22	10, 20, 21	expne0d 14249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0)
23	2	nnzd 12674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24		dvdsval2 16378	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
25	9, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ))
26	4, 25	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ)
27	26, 9	gcdcomd 16637	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))))
28		pcndvds2 16993	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
29	1, 2, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))
30		coprm 16835	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
31	1, 26, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
32	29, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
33		aks4d1p8d3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
34		pcelnn 16995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
35	1, 2, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
36	33, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
37		rpexp 16846	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
38	7, 26, 36, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1 ↔ (𝑃 gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1))
39	32, 38	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))) = 1)
40	27, 39	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) gcd (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   < clt 11300   / cdiv 11928  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ↑cexp 14158   ∥ cdvds 16375   gcd cgcd 16617  ℙcprime 16794   pCnt cpc 16961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-prm 16795  df-pc 16962

This theorem is used by:  aks4d1p8  43051