Theorem eulerthlem1 16580

Description: Lemma for eulerth 16582. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3	⊢ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆)
eulerth.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eulerthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
2	1	simp2d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆)
5		f1of 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
7	6	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
8		oveq1 7345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁))
9	8	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
10		eulerth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
11	9, 10	elrab2 3637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
12	7, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
13	12	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁))
14		elfzoelz 13489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16	3, 15	zmulcld 12534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ)
17	1	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
19		zmodfzo 13716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
21		modgcd 16340	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁))
22	16, 18, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁))
23	17	nnzd 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	16, 24	gcdcomd 16321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
26	23, 2	gcdcomd 16321	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
27	1	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
28	26, 27	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
30	24, 15	gcdcomd 16321	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁))
31	12	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1)
32	30, 31	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1)
33		rpmul 16462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1))
34	24, 3, 15, 33	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1))
35	29, 32, 34	mp2and 696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1)
36	22, 25, 35	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
37		oveq1 7345	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁))
38	37	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
39	38, 10	elrab2 3637	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
40	20, 36, 39	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆)
41		eulerth.5	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁))
42	40, 41	fmptd 7045	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6476  –1-1-onto→wf1o 6479  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973  1c1 10974   · cmul 10978  ℕcn 12075  ℤcz 12421  ...cfz 13341  ..^cfzo 13484   mod cmo 13691   gcd cgcd 16301  ϕcphi 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-mod 13692  df-seq 13824  df-exp 13885  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302

This theorem is referenced by:  eulerthlem2  16581