MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem1 16660
Description: Lemma for eulerth 16662. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
eulerth.2 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
eulerth.3 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
eulerth.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
eulerth.5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
21simp2d 1144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 eulerth.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
5 f1of 6789 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
76ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
8 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
98eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
10 eulerth.2 . . . . . . . . 9 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
119, 10elrab2 3653 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
1312simpld 496 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
14 elfzoelz 13579 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
163, 15zmulcld 12620 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
171simp1d 1143 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1817adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
19 zmodfzo 13806 . . . 4 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
2016, 18, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
21 modgcd 16420 . . . . 5 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2216, 18, 21syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2317nnzd 12533 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2516, 24gcdcomd 16401 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘) = (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
2623, 2gcdcomd 16401 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘))
271simp3d 1145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
2826, 27eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
2928adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
3024, 15gcdcomd 16401 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
3112simprd 497 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1)
3230, 31eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1)
33 rpmul 16542 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3424, 3, 15, 33syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3529, 32, 34mp2and 698 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1)
3622, 25, 353eqtrd 2781 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1)
37 oveq1 7369 . . . . 5 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘))
3837eqeq1d 2739 . . . 4 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
3938, 10elrab2 3653 . . 3 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
4020, 36, 39sylanbrc 584 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
41 eulerth.5 . 2 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
4240, 41fmptd 7067 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   โ†ฆ cmpt 5193  โŸถwf 6497  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781   gcd cgcd 16381  ฯ•cphi 16643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  eulerthlem2  16661
  Copyright terms: Public domain W3C validator