Theorem eulerthlem1 16753

Description: Lemma for eulerth 16755. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerth.1	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3	⊢ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆)
eulerth.5	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
eulerthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
2	1	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		eulerth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆)
5		f1of 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑇–1-1-onto→𝑆 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶𝑆)
7	6	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
8		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁))
9	8	eqeq1d 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
10		eulerth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
11	9, 10	elrab2 3682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
12	7, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1))
13	12	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁))
14		elfzoelz 13667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16	3, 15	zmulcld 12705	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ)
17	1	simp1d 1139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
19		zmodfzo 13895	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
20	16, 18, 19	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
21		modgcd 16511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁))
22	16, 18, 21	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁))
23	17	nnzd 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	16, 24	gcdcomd 16492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))))
26	23, 2	gcdcomd 16492	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
27	1	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
28	26, 27	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
29	28	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
30	24, 15	gcdcomd 16492	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁))
31	12	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑥) gcd 𝑁) = 1)
32	30, 31	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1)
33		rpmul 16633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1))
34	24, 3, 15, 33	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1))
35	29, 32, 34	mp2and 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹‘𝑥))) = 1)
36	22, 25, 35	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
37		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁))
38	37	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
39	38, 10	elrab2 3682	. . 3 ⊢ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
40	20, 36, 39	sylanbrc 581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆)
41		eulerth.5	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹‘𝑥)) mod 𝑁))
42	40, 41	fmptd 7123	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑇⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  ℕcn 12245  ℤcz 12591  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662   mod cmo 13870   gcd cgcd 16472  ϕcphi 16736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473

This theorem is referenced by:  eulerthlem2  16754