MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem1 16580
Description: Lemma for eulerth 16582. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
eulerth.5 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
21simp2d 1142 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 eulerth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
5 f1of 6768 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
76ffvelcdmda 7018 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8 oveq1 7345 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
98eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
10 eulerth.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
119, 10elrab2 3637 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
1312simpld 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁))
14 elfzoelz 13489 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
163, 15zmulcld 12534 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ)
171simp1d 1141 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
19 zmodfzo 13716 . . . 4 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
2016, 18, 19syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
21 modgcd 16340 . . . . 5 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2216, 18, 21syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2317nnzd 12527 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℤ)
2516, 24gcdcomd 16321 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))))
2623, 2gcdcomd 16321 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
271simp3d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
2826, 27eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
3024, 15gcdcomd 16321 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
3112simprd 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1)
3230, 31eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1)
33 rpmul 16462 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3424, 3, 15, 33syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3529, 32, 34mp2and 696 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1)
3622, 25, 353eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
37 oveq1 7345 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁))
3837eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
3938, 10elrab2 3637 . . 3 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
4020, 36, 39sylanbrc 583 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆)
41 eulerth.5 . 2 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
4240, 41fmptd 7045 1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3403  cmpt 5176  wf 6476  1-1-ontowf1o 6479  cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973  1c1 10974   · cmul 10978  cn 12075  cz 12421  ...cfz 13341  ..^cfzo 13484   mod cmo 13691   gcd cgcd 16301  ϕcphi 16563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-mod 13692  df-seq 13824  df-exp 13885  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-gcd 16302
This theorem is referenced by:  eulerthlem2  16581
  Copyright terms: Public domain W3C validator