MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerthlem1 16714
Description: Lemma for eulerth 16716. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
eulerth.2 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
eulerth.3 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
eulerth.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
eulerth.5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
21simp2d 1144 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 eulerth.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
5 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
76ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
8 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
98eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
10 eulerth.2 . . . . . . . . 9 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
119, 10elrab2 3687 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
1312simpld 496 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
14 elfzoelz 13632 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
163, 15zmulcld 12672 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
171simp1d 1143 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1817adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
19 zmodfzo 13859 . . . 4 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
2016, 18, 19syl2anc 585 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
21 modgcd 16474 . . . . 5 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2216, 18, 21syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2317nnzd 12585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2516, 24gcdcomd 16455 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘) = (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
2623, 2gcdcomd 16455 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘))
271simp3d 1145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
2826, 27eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
2928adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
3024, 15gcdcomd 16455 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
3112simprd 497 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1)
3230, 31eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1)
33 rpmul 16596 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3424, 3, 15, 33syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3529, 32, 34mp2and 698 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1)
3622, 25, 353eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1)
37 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘))
3837eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
3938, 10elrab2 3687 . . 3 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
4020, 36, 39sylanbrc 584 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
41 eulerth.5 . 2 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
4240, 41fmptd 7114 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834   gcd cgcd 16435  ฯ•cphi 16697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436
This theorem is referenced by:  eulerthlem2  16715
  Copyright terms: Public domain W3C validator