Theorem fltbccoprm 41383

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐵, 𝐶 coprime. Proven from fltaccoprm 41382 using commutativity of addition. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltbccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltbccoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltabcoprmex.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2		fltabcoprmex.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		fltabcoprmex.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 4	nnexpcld 14208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
7	2, 4	nnexpcld 14208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	addcomd 11416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
10		fltabcoprmex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
11	9, 10	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
12	1	nnzd 12585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
13	2	nnzd 12585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	gcdcomd 16455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝐵))
15		fltaccoprm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	14, 15	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
17	1, 2, 3, 4, 11, 16	fltaccoprm 41382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027   gcd cgcd 16435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436

This theorem is referenced by:  flt4lem3  41390