Theorem fltbccoprm 43085

Description: A counterexample to FLT with 𝐴, 𝐵 coprime also has 𝐵, 𝐶 coprime. Proven from fltaccoprm 43084 using commutativity of addition. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltabcoprmex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltabcoprmex.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltabcoprmex.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
fltaccoprm.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
fltbccoprm	⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem fltbccoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltabcoprmex.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
2		fltabcoprmex.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		fltabcoprmex.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4		fltabcoprmex.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 4	nnexpcld 14196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
7	2, 4	nnexpcld 14196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	addcomd 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
10		fltabcoprmex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
11	9, 10	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
12	1	nnzd 12539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
13	2	nnzd 12539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
14	12, 13	gcdcomd 16472	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝐵))
15		fltaccoprm.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	14, 15	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
17	1, 2, 3, 4, 11, 16	fltaccoprm 43084	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ↑cexp 14012   gcd cgcd 16452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453

This theorem is referenced by:  flt4lem3  43092