Theorem lgsqr 27469

Description: The Legendre symbol for odd primes is 1 iff the number is not a multiple of the prime (in which case it is 0, see lgsne0 27453) and the number is a quadratic residue mod 𝑃 (it is -1 for nonresidues by the process of elimination from lgsabs1 27454). Given our definition of the Legendre symbol, this theorem is equivalent to Euler's criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqr	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 16721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	gcdcomd 16560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
7	6	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
8		coprm 16758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
9	2, 5, 8	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
10		lgsne0 27453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	5, 4, 10	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12	7, 9, 11	3bitr4d 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 /L 𝑃) ≠ 0))
13	12	necon4bbid 3001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 /L 𝑃) = 0))
14		0ne1 12300	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
15		neeq1 3022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → (𝐴 /L 𝑃) ≠ 1)
17	13, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 /L 𝑃) ≠ 1))
18	17	necon2bd 2976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
19		lgsqrlem5 27468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
20	19	3expia 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
21	18, 20	jcad 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))
22		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	zred 12688	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
24		absresq 15341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
26	25	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
27		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
28	1	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℙ)
29	28, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℤ)
30		zsqcl 14153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
31	22, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
32		simplll 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
34		dvdssub2 16347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
35	29, 31, 32, 33, 34	syl31anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	27, 35	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
37		2nn 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 2 ∈ ℕ)
39		prmdvdsexp 16762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
40	28, 22, 38, 39	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
41	36, 40	mtbid 327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)
42		dvds0 16317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
43	29, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∥ 0)
44		breq2 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ 0))
45	43, 44	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑥 = 0 → 𝑃 ∥ 𝑥))
46	45	necon3bd 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → 𝑥 ≠ 0))
47	41, 46	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ≠ 0)
48		nnabscl 15365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (abs‘𝑥) ∈ ℕ)
49	22, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ∈ ℕ)
50	49	nnzd 12605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ∈ ℤ)
51	49	nnne0d 12274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ≠ 0)
52	50, 29	gcdcomd 16560	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (abs‘𝑥)))
53		dvdsabsb 16321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥)))
54	29, 22, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥)))
55	41, 54	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥))
56		coprm 16758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥) ↔ (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1))
57	28, 50, 56	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥) ↔ (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1))
58	55, 57	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1)
59	52, 58	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = 1)
60		lgssq 27455	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = 1) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = 1)
61	50, 51, 29, 59, 60	syl211anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = 1)
62		prmnn 16720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	28, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64		moddvds 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
65	63, 31, 32, 64	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
66	33, 65	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
67	66	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃))
68		eldifsni 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
69	68	ad3antlr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ≠ 2)
70	69	necomd 3015	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 2 ≠ 𝑃)
71		2z 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
72		uzid 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
74		dvdsprm 16750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
75	74	necon3bbid 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ≠ 𝑃))
76	73, 28, 75	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ≠ 𝑃))
77	70, 76	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
78		lgsmod 27441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
79	31, 63, 77, 78	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
80		lgsmod 27441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
81	32, 63, 77, 80	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
82	67, 79, 81	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝑥↑2) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
83	26, 61, 82	3eqtr3rd 2809	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
84	83	rexlimdvaa 3167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝐴 /L 𝑃) = 1))
85	84	expimpd 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝐴 /L 𝑃) = 1))
86	21, 85	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   − cmin 11429  ℕcn 12221  2c2 12283  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850   mod cmo 13890  ↑cexp 14085  abscabs 15273   ∥ cdvds 16298   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16717   /_L clgs 27412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-phi 16813  df-pc 16885  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-imas 17550  df-qus 17551  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-nsg 19178  df-eqg 19179  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-srg 20257  df-ring 20305  df-cring 20306  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-rhm 20542  df-nzr 20584  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-rlreg 20767  df-domn 20768  df-idom 20769  df-drng 20803  df-field 20804  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-lidl 21298  df-rsp 21299  df-2idl 21348  df-cnfld 21480  df-zring 21554  df-zrh 21610  df-zn 21613  df-assa 21960  df-asp 21961  df-ascl 21962  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-opsr 22020  df-evls 22182  df-evl 22183  df-psr1 22297  df-vr1 22298  df-ply1 22299  df-coe1 22300  df-evl1 22433  df-mdeg 26169  df-deg1 26170  df-mon1 26245  df-uc1p 26246  df-q1p 26247  df-r1p 26248  df-lgs 27413

This theorem is referenced by:  lgsqrmod  27470  2sqlem11  27547  2sqblem  27549