Theorem lgsqr 27319

Description: The Legendre symbol for odd primes is 1 iff the number is not a multiple of the prime (in which case it is 0, see lgsne0 27303) and the number is a quadratic residue mod 𝑃 (it is -1 for nonresidues by the process of elimination from lgsabs1 27304). Given our definition of the Legendre symbol, this theorem is equivalent to Euler's criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsqr	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 16699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	gcdcomd 16538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
7	6	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
8		coprm 16735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
9	2, 5, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
10		lgsne0 27303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	5, 4, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12	7, 9, 11	3bitr4d 311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 /L 𝑃) ≠ 0))
13	12	necon4bbid 2974	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 /L 𝑃) = 0))
14		0ne1 12316	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
15		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
16	14, 15	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → (𝐴 /L 𝑃) ≠ 1)
17	13, 16	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝐴 /L 𝑃) ≠ 1))
18	17	necon2bd 2949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
19		lgsqrlem5 27318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
20	19	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
21	18, 20	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))
22		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	zred 12702	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
24		absresq 15326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
26	25	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
27		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
28	1	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℙ)
29	28, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℤ)
30		zsqcl 14152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
31	22, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
32		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℤ)
33		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
34		dvdssub2 16325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
35	29, 31, 32, 33, 34	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	27, 35	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
37		2nn 12318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 2 ∈ ℕ)
39		prmdvdsexp 16739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
40	28, 22, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
41	36, 40	mtbid 324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑥)
42		dvds0 16296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∥ 0)
44		breq2 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ 0))
45	43, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑥 = 0 → 𝑃 ∥ 𝑥))
46	45	necon3bd 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 → 𝑥 ≠ 0))
47	41, 46	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑥 ≠ 0)
48		nnabscl 15349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (abs‘𝑥) ∈ ℕ)
49	22, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ∈ ℕ)
50	49	nnzd 12620	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ∈ ℤ)
51	49	nnne0d 12295	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (abs‘𝑥) ≠ 0)
52	50, 29	gcdcomd 16538	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = (𝑃 gcd (abs‘𝑥)))
53		dvdsabsb 16300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥)))
54	29, 22, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥)))
55	41, 54	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥))
56		coprm 16735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥) ↔ (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1))
57	28, 50, 56	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑥) ↔ (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1))
58	55, 57	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝑃 gcd (abs‘𝑥)) = 1)
59	52, 58	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = 1)
60		lgssq 27305	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑥) gcd 𝑃) = 1) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = 1)
61	50, 51, 29, 59, 60	syl211anc 1378	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((abs‘𝑥)↑2) /L 𝑃) = 1)
62		prmnn 16698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	28, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ∈ ℕ)
64		moddvds 16288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
65	63, 31, 32, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
66	33, 65	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
67	66	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃))
68		eldifsni 4771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
69	68	ad3antlr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 𝑃 ≠ 2)
70	69	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → 2 ≠ 𝑃)
71		2z 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
72		uzid 12872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
74		dvdsprm 16727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
75	74	necon3bbid 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ≠ 𝑃))
76	73, 28, 75	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ≠ 𝑃))
77	70, 76	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
78		lgsmod 27291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
79	31, 63, 77, 78	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) /L 𝑃) = ((𝑥↑2) /L 𝑃))
80		lgsmod 27291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
81	32, 63, 77, 80	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝐴 mod 𝑃) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
82	67, 79, 81	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → ((𝑥↑2) /L 𝑃) = (𝐴 /L 𝑃))
83	26, 61, 82	3eqtr3rd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))) → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
84	83	rexlimdvaa 3143	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝐴 /L 𝑃) = 1))
85	84	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝐴 /L 𝑃) = 1))
86	21, 85	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857   mod cmo 13891  ↑cexp 14084  abscabs 15258   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16518  ℙcprime 16695   /_L clgs 27262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-phi 16790  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-nzr 20478  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-domn 20660  df-idom 20661  df-drng 20696  df-field 20697  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-2idl 21216  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-zn 21472  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-evls 22037  df-evl 22038  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22259  df-mdeg 26017  df-deg1 26018  df-mon1 26093  df-uc1p 26094  df-q1p 26095  df-r1p 26096  df-lgs 27263

This theorem is referenced by:  lgsqrmod  27320  2sqlem11  27397  2sqblem  27399