Theorem lgsquad2 27125

Description: Extend lgsquad 27122 to coprime odd integers (the domain of the Jacobi symbol). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		lgsquad2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
3		lgsquad2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
5		lgsquad2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6	3	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9		eldifi 4125	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ∈ ℙ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
11		prmnn 16615	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
13		eldifsni 4792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ≠ 2)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
15	14	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 2 ≠ 𝑚)
16	15	neneqd 2943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 = 𝑚)
17		2z 12598	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		uzid 12841	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
20		dvdsprm 16644	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
21	19, 10, 20	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
22	16, 21	mtbird 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑚)
23	6	nnzd 12589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	12	nnzd 12589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	23, 24	gcdcomd 16459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = (𝑚 gcd 𝑁))
26		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
27	25, 26	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = 1)
28		simprl 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
29	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
30		eldifi 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑛 ∈ ℙ)
31		prmrp 16653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
32	30, 10, 31	syl2anr 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
33	32	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 → 𝑛 ≠ 𝑚))
34	33	impr 453	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ≠ 𝑚)
35		lgsquad 27122	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑛 ≠ 𝑚) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
37		biid 260	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))))
38	6, 7, 12, 22, 27, 36, 37	lgsquad2lem2 27124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
39		lgscl 27050	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40	24, 23, 39	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
41		lgscl 27050	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
42	23, 24, 41	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
43		zcn 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ)
44		zcn 12567	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ)
45		mulcom 11198	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
46	43, 44, 45	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
47	40, 42, 46	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
48	12	nncnd 12232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11170	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		subcl 11463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
52	51	halfcld 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 − 1) / 2) ∈ ℂ)
53	6	nncnd 12232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		subcl 11463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
56	55	halfcld 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
57	52, 56	mulcomd 11239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))
58	57	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
59	38, 47, 58	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
60		biid 260	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
61	1, 2, 3, 4, 5, 59, 60	lgsquad2lem2 27124	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  ↑cexp 14031   ∥ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  ℙcprime 16612   /_L clgs 27033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-lgs 27034

This theorem is referenced by:  lgsquad3  27126