MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquad2 26737
Description: Extend lgsquad 26734 to coprime odd integers (the domain of the Jacobi symbol). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lgsquad2.2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
lgsquad2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lgsquad2.4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
lgsquad2.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsquad2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsquad2.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2 lgsquad2.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
3 lgsquad2.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4 lgsquad2.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
5 lgsquad2.5 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
63adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
74adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
8 simprl 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
9 eldifi 4087 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„™)
108, 9syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„™)
11 prmnn 16551 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
1210, 11syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
13 eldifsni 4751 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘š โ‰  2)
148, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โ‰  2)
1514necomd 3000 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ 2 โ‰  ๐‘š)
1615neneqd 2949 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ยฌ 2 = ๐‘š)
17 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
18 uzid 12779 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
20 dvdsprm 16580 . . . . . 6 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘š โ†” 2 = ๐‘š))
2119, 10, 20sylancr 588 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘š โ†” 2 = ๐‘š))
2216, 21mtbird 325 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘š)
236nnzd 12527 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2412nnzd 12527 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2523, 24gcdcomd 16395 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘š) = (๐‘š gcd ๐‘))
26 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘š gcd ๐‘) = 1)
2725, 26eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘š) = 1)
28 simprl 770 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘› gcd ๐‘š) = 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
298adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘› gcd ๐‘š) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
30 eldifi 4087 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
31 prmrp 16589 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘› gcd ๐‘š) = 1 โ†” ๐‘› โ‰  ๐‘š))
3230, 10, 31syl2anr 598 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((๐‘› gcd ๐‘š) = 1 โ†” ๐‘› โ‰  ๐‘š))
3332biimpd 228 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((๐‘› gcd ๐‘š) = 1 โ†’ ๐‘› โ‰  ๐‘š))
3433impr 456 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘› gcd ๐‘š) = 1)) โ†’ ๐‘› โ‰  ๐‘š)
35 lgsquad 26734 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘› โ‰  ๐‘š) โ†’ ((๐‘› /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘›)) = (-1โ†‘(((๐‘› โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2))))
3628, 29, 34, 35syl3anc 1372 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โˆง (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘› gcd ๐‘š) = 1)) โ†’ ((๐‘› /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘›)) = (-1โ†‘(((๐‘› โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2))))
37 biid 261 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฆ)((๐‘ฅ gcd (2 ยท ๐‘š)) = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘ฅ)) = (-1โ†‘(((๐‘ฅ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฆ)((๐‘ฅ gcd (2 ยท ๐‘š)) = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘ฅ)) = (-1โ†‘(((๐‘ฅ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2)))))
386, 7, 12, 22, 27, 36, 37lgsquad2lem2 26736 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐‘ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘)) = (-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2))))
39 lgscl 26662 . . . . 5 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4024, 23, 39syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
41 lgscl 26662 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„ค)
4223, 24, 41syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„ค)
43 zcn 12505 . . . . 5 ((๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
44 zcn 12505 . . . . 5 ((๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
45 mulcom 11138 . . . . 5 (((๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘š)) = ((๐‘ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘)))
4643, 44, 45syl2an 597 . . . 4 (((๐‘š /L ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ /L ๐‘š) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘š)) = ((๐‘ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘)))
4740, 42, 46syl2anc 585 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐‘š /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘š)) = ((๐‘ /L ๐‘š) ยท (๐‘š /L ๐‘)))
4812nncnd 12170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
49 ax-1cn 11110 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
50 subcl 11401 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5148, 49, 50sylancl 587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘š โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5251halfcld 12399 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐‘š โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
536nncnd 12170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54 subcl 11401 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5553, 49, 54sylancl 587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5655halfcld 12399 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
5752, 56mulcomd 11177 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐‘š โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)) = (((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2)))
5857oveq2d 7374 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (-1โ†‘(((๐‘š โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))) = (-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘š โˆ’ 1) / 2))))
5938, 47, 583eqtr4d 2787 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘š gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐‘š /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘š)) = (-1โ†‘(((๐‘š โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
60 biid 261 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฆ)((๐‘ฅ gcd (2 ยท ๐‘)) = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘ฅ)) = (-1โ†‘(((๐‘ฅ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฆ)((๐‘ฅ gcd (2 ยท ๐‘)) = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘ฅ)) = (-1โ†‘(((๐‘ฅ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
611, 2, 3, 4, 5, 59, 60lgsquad2lem2 26736 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ /L ๐‘) ยท (๐‘ /L ๐‘€)) = (-1โ†‘(((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) ยท ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065   โˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  1c1 11053   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137   gcd cgcd 16375  โ„™cprime 16548   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsquad3  26738
  Copyright terms: Public domain W3C validator