Theorem lgsquad2 27297

Description: Extend lgsquad 27294 to coprime odd integers (the domain of the Jacobi symbol). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		lgsquad2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
3		lgsquad2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
5		lgsquad2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9		eldifi 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ∈ ℙ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
11		prmnn 16644	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
13		eldifsni 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ≠ 2)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
15	14	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 2 ≠ 𝑚)
16	15	neneqd 2930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 = 𝑚)
17		2z 12565	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		uzid 12808	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
20		dvdsprm 16673	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
21	19, 10, 20	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
22	16, 21	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑚)
23	6	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	12	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	23, 24	gcdcomd 16484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = (𝑚 gcd 𝑁))
26		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
27	25, 26	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = 1)
28		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
29	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
30		eldifi 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑛 ∈ ℙ)
31		prmrp 16682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
32	30, 10, 31	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
33	32	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 → 𝑛 ≠ 𝑚))
34	33	impr 454	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ≠ 𝑚)
35		lgsquad 27294	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑛 ≠ 𝑚) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
37		biid 261	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))))
38	6, 7, 12, 22, 27, 36, 37	lgsquad2lem2 27296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
39		lgscl 27222	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40	24, 23, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
41		lgscl 27222	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
42	23, 24, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
43		zcn 12534	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ)
44		zcn 12534	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ)
45		mulcom 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
46	43, 44, 45	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
47	40, 42, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
48	12	nncnd 12202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		subcl 11420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
52	51	halfcld 12427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 − 1) / 2) ∈ ℂ)
53	6	nncnd 12202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		subcl 11420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
56	55	halfcld 12427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
57	52, 56	mulcomd 11195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))
58	57	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
59	38, 47, 58	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
60		biid 261	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
61	1, 2, 3, 4, 5, 59, 60	lgsquad2lem2 27296	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641   /_L clgs 27205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-rhm 20381  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-domn 20604  df-idom 20605  df-drng 20640  df-field 20641  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21160  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-zn 21416  df-lgs 27206

This theorem is referenced by:  lgsquad3  27298