Theorem lgsquad2 26889

Description: Extend lgsquad 26886 to coprime odd integers (the domain of the Jacobi symbol). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lgsquad2.2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
lgsquad2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgsquad2.4	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
lgsquad2.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2	⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		lgsquad2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
3		lgsquad2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		lgsquad2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
5		lgsquad2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6	3	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
8		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9		eldifi 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ∈ ℙ)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℙ)
11		prmnn 16611	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℙ → 𝑚 ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
13		eldifsni 4794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑚 ≠ 2)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ≠ 2)
15	14	necomd 2997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 2 ≠ 𝑚)
16	15	neneqd 2946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 = 𝑚)
17		2z 12594	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		uzid 12837	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
20		dvdsprm 16640	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
21	19, 10, 20	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (2 ∥ 𝑚 ↔ 2 = 𝑚))
22	16, 21	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ¬ 2 ∥ 𝑚)
23	6	nnzd 12585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	12	nnzd 12585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	23, 24	gcdcomd 16455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = (𝑚 gcd 𝑁))
26		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
27	25, 26	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 gcd 𝑚) = 1)
28		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
29	8	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}))
30		eldifi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑛 ∈ ℙ)
31		prmrp 16649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℙ) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
32	30, 10, 31	syl2anr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 ↔ 𝑛 ≠ 𝑚))
33	32	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑛 gcd 𝑚) = 1 → 𝑛 ≠ 𝑚))
34	33	impr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → 𝑛 ≠ 𝑚)
35		lgsquad 26886	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑛 ≠ 𝑚) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) ∧ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑛 gcd 𝑚) = 1)) → ((𝑛 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑛)) = (-1↑(((𝑛 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
37		biid 261	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑚)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))))
38	6, 7, 12, 22, 27, 36, 37	lgsquad2lem2 26888	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
39		lgscl 26814	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40	24, 23, 39	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ)
41		lgscl 26814	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
42	23, 24, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ)
43		zcn 12563	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ → (𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ)
44		zcn 12563	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ → (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ)
45		mulcom 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℂ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
46	43, 44, 45	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝑚 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 /L 𝑚) ∈ ℤ) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
47	40, 42, 46	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = ((𝑁 /L 𝑚) · (𝑚 /L 𝑁)))
48	12	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑚 ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		subcl 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑚 − 1) ∈ ℂ)
52	51	halfcld 12457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 − 1) / 2) ∈ ℂ)
53	6	nncnd 12228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
54		subcl 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
55	53, 49, 54	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
56	55	halfcld 12457	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
57	52, 56	mulcomd 11235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)) = (((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2)))
58	57	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))) = (-1↑(((𝑁 − 1) / 2) · ((𝑚 − 1) / 2))))
59	38, 47, 58	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑚 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝑚 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑚)) = (-1↑(((𝑚 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))
60		biid 261	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑦)((𝑥 gcd (2 · 𝑁)) = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑥)) = (-1↑(((𝑥 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2)))))
61	1, 2, 3, 4, 5, 59, 60	lgsquad2lem2 26888	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 /L 𝑁) · (𝑁 /L 𝑀)) = (-1↑(((𝑀 − 1) / 2) · ((𝑁 − 1) / 2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ∖ cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   · cmul 11115   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ↑cexp 14027   ∥ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  ℙcprime 16608   /_L clgs 26797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-lgs 26798

This theorem is referenced by:  lgsquad3  26890