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Theorem phiprmpw 16106
Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16011 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11896 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 13435 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 595 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 phival 16097 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
64, 5syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
7 nnm1nn0 11930 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 13435 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
91, 7, 8syl2an 595 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
109nncnd 11646 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
111nncnd 11646 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13 ax-1cn 10587 . . . . 5 1 ∈ ℂ
14 subdi 11065 . . . . 5 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1513, 14mp3an3 1443 . . . 4 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1610, 12, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1710mulid1d 10650 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
1817oveq2d 7167 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19 fzfi 13333 . . . . . . 7 (1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin
20 ssrab2 4059 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃𝐾))
21 ssfi 8730 . . . . . . 7 (((1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
2219, 20, 21mp2an 688 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin
23 ssrab2 4059 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃𝐾))
24 ssfi 8730 . . . . . . 7 (((1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
2519, 23, 24mp2an 688 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin
26 inrab 4278 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
27 elfzelz 12901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28 prmz 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29 rpexp 16057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3028, 29syl3an1 1157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
31303expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3231an32s 648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
34 zexpcl 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
3528, 2, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
37 gcdcom 15855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
3833, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
3938eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1))
40 coprm 16048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4140adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4232, 39, 413bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃𝑥))
43 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4544subid1d 10978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
4645breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃𝑥))
4746notbid 319 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃𝑥))
4842, 47bitr4d 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4927, 48sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5049biimpd 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
51 imnan 400 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5250, 51sylib 219 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5352ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
54 rabeq0 4341 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5553, 54sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
5626, 55syl5eq 2872 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
57 hashun 13736 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
5822, 25, 56, 57mp3an12i 1458 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
5949biimprd 249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1))
6059con1d 147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6160orrd 859 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6261ralrimiva 3186 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
63 rabid2 3386 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6462, 63sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
65 unrab 4277 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
6664, 65syl6reqr 2879 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃𝐾)))
6766fveq2d 6670 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃𝐾))))
684nnnn0d 11947 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ0)
69 hashfz1 13699 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
7068, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
71 expm1t 13450 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
7211, 71sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
7367, 70, 723eqtrd 2864 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
741adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
75 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
76 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
77 1m1e0 11701 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
7877fveq2i 6669 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
7976, 78eqtr4i 2851 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘(1 − 1))
8068, 79syl6eleq 2927 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
81 0zd 11985 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
8274, 75, 80, 81hashdvds 16105 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
834nncnd 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℂ)
8483subid1d 10978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃𝐾) − 0) = (𝑃𝐾))
8584oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
8674nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
87 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
8912, 86, 88expm1d 13513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
9085, 89eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9190fveq2d 6670 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
929nnzd 12078 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
93 flid 13171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9591, 94eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9677oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
97 0m0e0 11749 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
9896, 97eqtri 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1) − 0) = 0
9998oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
10012, 86div0d 11407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
10199, 100syl5eq 2872 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
102101fveq2d 6670 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
103 0z 11984 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
104 flid 13171 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⌊‘0) = 0
106102, 105syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
10795, 106oveq12d 7169 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
10810subid1d 10978 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
10982, 107, 1083eqtrd 2864 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110109oveq2d 7167 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
111 hashcl 13710 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
11222, 111ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0
113112nn0cni 11901 . . . . . . 7 (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ
114 addcom 10818 . . . . . . 7 (((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ ∧ (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
115113, 10, 114sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
116110, 115eqtrd 2860 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
11758, 73, 1163eqtr3rd 2869 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
11810, 12mulcld 10653 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
119113a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
120118, 10, 119subaddd 11007 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
121117, 120mpbird 258 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
12216, 18, 1213eqtrrd 2865 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
1236, 122eqtrd 2860 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  {crab 3146  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885  cfl 13153  cexp 13422  chash 13683  cdvds 15600   gcd cgcd 15836  cprime 16008  ϕcphi 16094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15601  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-phi 16096
This theorem is referenced by:  phiprm  16107
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