MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phiprmpw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem phiprmpw 16714
Description: Value of the Euler ฯ• function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16616 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12484 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 nnexpcl 14045 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3syl2an 595 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
5 phival 16705 . . 3 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
64, 5syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
7 nnm1nn0 12518 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8 nnexpcl 14045 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
91, 7, 8syl2an 595 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12233 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
111nncnd 12233 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 480 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
13 ax-1cn 11171 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
14 subdi 11652 . . . . 5 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1513, 14mp3an3 1449 . . . 4 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1610, 12, 15syl2anc 583 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1710mulridd 11236 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
1817oveq2d 7428 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
19 fzfi 13942 . . . . . . 7 (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin
20 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
21 ssfi 9176 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin)
2219, 20, 21mp2an 689 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin
23 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
24 ssfi 9176 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin)
2519, 23, 24mp2an 689 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin
26 inrab 4307 . . . . . . 7 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
27 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
28 prmz 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 rpexp 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3028, 29syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
31303expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3231an32s 649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
34 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3528, 2, 34syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3733, 36gcdcomd 16460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ))
3837eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1))
39 coprm 16653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4039adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4132, 38, 403bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
42 zcn 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 0) = ๐‘ฅ)
4544breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4645notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4741, 46bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4827, 47sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
50 imnan 399 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5251ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
53 rabeq0 4385 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5452, 53sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ…)
5526, 54eqtrid 2783 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…)
56 hashun 14347 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
5722, 25, 55, 56mp3an12i 1464 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
58 unrab 4306 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
5948biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1))
6059con1d 145 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6160orrd 860 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6261ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
63 rabid2 3463 . . . . . . . . 9 ((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6462, 63sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))})
6558, 64eqtr4id 2790 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)))
6665fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))))
674nnnn0d 12537 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0)
68 hashfz1 14311 . . . . . . 7 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
70 expm1t 14061 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7111, 70sylan 579 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7266, 69, 713eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
731adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
74 1zzd 12598 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
75 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
76 1m1e0 12289 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 1) = 0
7776fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
7875, 77eqtr4i 2762 . . . . . . . . . 10 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1))
7967, 78eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
80 0zd 12575 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
8173, 74, 79, 80hashdvds 16713 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))))
824nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
8382subid1d 11565 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
8483oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8573nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
86 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8812, 85, 87expm1d 14126 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8984, 88eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9089fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
919nnzd 12590 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
92 flid 13778 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9490, 93eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9576oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = (0 โˆ’ 0)
96 0m0e0 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
9795, 96eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = 0
9897oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (0 / ๐‘ƒ)
9912, 85div0d 11994 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 / ๐‘ƒ) = 0)
10098, 99eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = 0)
101100fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜0))
102 0z 12574 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
103 flid 13778 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜0) = 0)
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜0) = 0
105101, 104eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = 0)
10694, 105oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0))
10710subid1d 11565 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
10881, 106, 1073eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
109108oveq2d 7428 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
110 hashcl 14321 . . . . . . . . 9 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0)
11122, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0
112111nn0cni 12489 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚
113 addcom 11405 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
114112, 10, 113sylancr 586 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
115109, 114eqtrd 2771 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
11657, 72, 1153eqtr3rd 2780 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
11710, 12mulcld 11239 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
118112a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚)
119117, 10, 118subaddd 11594 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โ†” ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ)))
120116, 119mpbird 256 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
12116, 18, 1203eqtrrd 2776 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1226, 121eqtrd 2771 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  {crab 3431   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613  ฯ•cphi 16702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704
This theorem is referenced by:  phiprm  16715
  Copyright terms: Public domain W3C validator