MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phiprmpw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem phiprmpw 16713
Description: Value of the Euler ฯ• function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16615 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12483 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 nnexpcl 14044 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3syl2an 594 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
5 phival 16704 . . 3 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
64, 5syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
7 nnm1nn0 12517 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8 nnexpcl 14044 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
91, 7, 8syl2an 594 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12232 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
111nncnd 12232 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 479 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
13 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
14 subdi 11651 . . . . 5 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1513, 14mp3an3 1448 . . . 4 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1610, 12, 15syl2anc 582 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1710mulridd 11235 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
1817oveq2d 7427 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
19 fzfi 13941 . . . . . . 7 (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin
20 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
21 ssfi 9175 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin)
2219, 20, 21mp2an 688 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin
23 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
24 ssfi 9175 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin)
2519, 23, 24mp2an 688 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin
26 inrab 4305 . . . . . . 7 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
27 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
28 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 rpexp 16663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3028, 29syl3an1 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
31303expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3231an32s 648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
34 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3528, 2, 34syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3733, 36gcdcomd 16459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ))
3837eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1))
39 coprm 16652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4039adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4132, 38, 403bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
42 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 0) = ๐‘ฅ)
4544breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4645notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4741, 46bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4827, 47sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
50 imnan 398 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5251ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
53 rabeq0 4383 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5452, 53sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ…)
5526, 54eqtrid 2782 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…)
56 hashun 14346 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
5722, 25, 55, 56mp3an12i 1463 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
58 unrab 4304 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
5948biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1))
6059con1d 145 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6160orrd 859 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6261ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
63 rabid2 3462 . . . . . . . . 9 ((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6462, 63sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))})
6558, 64eqtr4id 2789 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)))
6665fveq2d 6894 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))))
674nnnn0d 12536 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0)
68 hashfz1 14310 . . . . . . 7 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
70 expm1t 14060 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7111, 70sylan 578 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7266, 69, 713eqtrd 2774 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
731adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
74 1zzd 12597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
75 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
76 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 1) = 0
7776fveq2i 6893 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
7875, 77eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1))
7967, 78eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
80 0zd 12574 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
8173, 74, 79, 80hashdvds 16712 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))))
824nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
8382subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
8483oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8573nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
86 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8812, 85, 87expm1d 14125 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8984, 88eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9089fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
919nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
92 flid 13777 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9490, 93eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9576oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = (0 โˆ’ 0)
96 0m0e0 12336 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
9795, 96eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = 0
9897oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (0 / ๐‘ƒ)
9912, 85div0d 11993 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 / ๐‘ƒ) = 0)
10098, 99eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = 0)
101100fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜0))
102 0z 12573 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
103 flid 13777 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜0) = 0)
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜0) = 0
105101, 104eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = 0)
10694, 105oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0))
10710subid1d 11564 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
10881, 106, 1073eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
109108oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
110 hashcl 14320 . . . . . . . . 9 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0)
11122, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0
112111nn0cni 12488 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚
113 addcom 11404 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
114112, 10, 113sylancr 585 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
115109, 114eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
11657, 72, 1153eqtr3rd 2779 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
11710, 12mulcld 11238 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
118112a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚)
119117, 10, 118subaddd 11593 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โ†” ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ)))
120116, 119mpbird 256 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
12116, 18, 1203eqtrrd 2775 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1226, 121eqtrd 2770 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  {crab 3430   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612  ฯ•cphi 16701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703
This theorem is referenced by:  phiprm  16714
  Copyright terms: Public domain W3C validator