MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phiprmpw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem phiprmpw 16706
Description: Value of the Euler ฯ• function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16608 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12476 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
3 nnexpcl 14037 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•)
5 phival 16697 . . 3 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
64, 5syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
7 nnm1nn0 12510 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
8 nnexpcl 14037 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
91, 7, 8syl2an 597 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
109nncnd 12225 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
111nncnd 12225 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
13 ax-1cn 11165 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
14 subdi 11644 . . . . 5 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1513, 14mp3an3 1451 . . . 4 (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1610, 12, 15syl2anc 585 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)))
1710mulridd 11228 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
1817oveq2d 7422 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท 1)) = (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
19 fzfi 13934 . . . . . . 7 (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin
20 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
21 ssfi 9170 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin)
2219, 20, 21mp2an 691 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin
23 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))
24 ssfi 9170 . . . . . . 7 (((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โŠ† (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin)
2519, 23, 24mp2an 691 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin
26 inrab 4306 . . . . . . 7 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
27 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
28 prmz 16609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 rpexp 16656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3028, 29syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
31303expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
3231an32s 651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
34 zexpcl 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3528, 2, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„ค)
3733, 36gcdcomd 16452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ))
3837eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐พ) gcd ๐‘ฅ) = 1))
39 coprm 16645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ƒ gcd ๐‘ฅ) = 1))
4132, 38, 403bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
42 zcn 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 0) = ๐‘ฅ)
4544breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4645notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ))
4741, 46bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4827, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
4948biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
50 imnan 401 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)) โ†” ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5149, 50sylib 217 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5251ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
53 rabeq0 4384 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) ยฌ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
5452, 53sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} = โˆ…)
5526, 54eqtrid 2785 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…)
56 hashun 14339 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)} โˆˆ Fin โˆง ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
5722, 25, 55, 56mp3an12i 1466 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})))
58 unrab 4305 . . . . . . . 8 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))}
5948biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0) โ†’ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1))
6059con1d 145 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ (ยฌ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6160orrd 862 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) โ†’ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6261ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
63 rabid2 3465 . . . . . . . . 9 ((1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))} โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)))
6462, 63sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ((๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1 โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0))})
6558, 64eqtr4id 2792 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)))
6665fveq2d 6893 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))))
674nnnn0d 12529 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0)
68 hashfz1 14303 . . . . . . 7 ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒโ†‘๐พ))) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
70 expm1t 14053 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7111, 70sylan 581 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
7266, 69, 713eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆช {๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
731adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
74 1zzd 12590 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
75 nn0uz 12861 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
76 1m1e0 12281 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 1) = 0
7776fveq2i 6892 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
7875, 77eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1))
7967, 78eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
80 0zd 12567 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
8173, 74, 79, 80hashdvds 16705 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))))
824nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
8382subid1d 11557 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
8483oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8573nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
86 nnz 12576 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
8812, 85, 87expm1d 14118 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ƒโ†‘๐พ) / ๐‘ƒ))
8984, 88eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9089fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
919nnzd 12582 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
92 flid 13770 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9490, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
9576oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = (0 โˆ’ 0)
96 0m0e0 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
9795, 96eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = 0
9897oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . 12 (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = (0 / ๐‘ƒ)
9912, 85div0d 11986 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 / ๐‘ƒ) = 0)
10098, 99eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ) = 0)
101100fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = (โŒŠโ€˜0))
102 0z 12566 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
103 flid 13770 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜0) = 0)
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โŒŠโ€˜0) = 0
105101, 104eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) = 0)
10694, 105oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / ๐‘ƒ))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0))
10710subid1d 11557 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆ’ 0) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
10881, 106, 1073eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)}) = (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)))
109108oveq2d 7422 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))))
110 hashcl 14313 . . . . . . . . 9 ({๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0)
11122, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„•0
112111nn0cni 12481 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚
113 addcom 11397 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
114112, 10, 113sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
115109, 114eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ 0)})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})))
11657, 72, 1153eqtr3rd 2782 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
11710, 12mulcld 11231 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
118112a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โˆˆ โ„‚)
119117, 10, 118subaddd 11586 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) โ†” ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) + (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1})) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ)))
120116, 119mpbird 257 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆ’ (๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}))
12116, 18, 1203eqtrrd 2778 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘ƒโ†‘๐พ)) โˆฃ (๐‘ฅ gcd (๐‘ƒโ†‘๐พ)) = 1}) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
1226, 121eqtrd 2773 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘ƒโ†‘๐พ)) = ((๐‘ƒโ†‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  ...cfz 13481  โŒŠcfl 13752  โ†‘cexp 14024  โ™ฏchash 14287   โˆฅ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  โ„™cprime 16605  ฯ•cphi 16694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696
This theorem is referenced by:  phiprm  16707
  Copyright terms: Public domain W3C validator