Theorem phiprmpw 16679

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprmpw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16577	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12380	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13973	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		phival 16670	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
7		nnm1nn0 12414	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 13973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
9	1, 7, 8	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12133	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
11	1	nncnd 12133	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11056	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subdi 11542	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
15	13, 14	mp3an3 1452	. . . 4 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
16	10, 12, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
17	10	mulridd 11121	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
18	17	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19		fzfi 13871	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin
20		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃↑𝐾))
21		ssfi 9077	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃↑𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin
23		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃↑𝐾))
24		ssfi 9077	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃↑𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
25	19, 23, 24	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin
26		inrab 4264	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
27		elfzelz 13416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28		prmz 16578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		rpexp 16625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
30	28, 29	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
31	30	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
32	31	an32s 652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
34		zexpcl 13975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
35	28, 2, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
37	33, 36	gcdcomd 16417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
38	37	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1))
39		coprm 16614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40	39	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
41	32, 38, 40	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
42		zcn 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
45	44	breq2d 5101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
46	45	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
47	41, 46	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
48	27, 47	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
49	48	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
50		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
52	51	ralrimiva 3122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
53		rabeq0 4336	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
55	26, 54	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
56		hashun 14281	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
57	22, 25, 55, 56	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
58		unrab 4263	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
59	48	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1))
60	59	con1d 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
61	60	orrd 863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
62	61	ralrimiva 3122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
63		rabid2 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
65	58, 64	eqtr4id 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃↑𝐾)))
66	65	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))))
67	4	nnnn0d 12434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0)
68		hashfz1 14245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
70		expm1t 13989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
71	11, 70	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
72	66, 69, 71	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
73	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
74		1zzd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
75		nn0uz 12766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
76		1m1e0 12189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
77	76	fveq2i 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
78	75, 77	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
79	67, 78	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
80		0zd 12472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
81	73, 74, 79, 80	hashdvds 16678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
82	4	nncnd 12133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℂ)
83	82	subid1d 11453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝐾) − 0) = (𝑃↑𝐾))
84	83	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
85	73	nnne0d 12167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
86		nnz 12481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
88	12, 85, 87	expm1d 14055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
89	84, 88	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
90	89	fveq2d 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
91	9	nnzd 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
92		flid 13704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
94	90, 93	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
95	76	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
96		0m0e0 12232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
97	95, 96	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) − 0) = 0
98	97	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
99	12, 85	div0d 11888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
100	98, 99	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
101	100	fveq2d 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
102		0z 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
103		flid 13704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
104	102, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘0) = 0
105	101, 104	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
106	94, 105	oveq12d 7359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
107	10	subid1d 11453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
108	81, 106, 107	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
109	108	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
110		hashcl 14255	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
111	22, 110	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0
112	111	nn0cni 12385	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ
113		addcom 11291	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ ∧ (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
114	112, 10, 113	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
115	109, 114	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
116	57, 72, 115	3eqtr3rd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
117	10, 12	mulcld 11124	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
118	112	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
119	117, 10, 118	subaddd 11482	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
120	116, 119	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
121	16, 18, 120	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
122	6, 121	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  {crab 3393   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10996  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003   − cmin 11336   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ...cfz 13399  ⌊cfl 13686  ↑cexp 13960  ♯chash 14229   ∥ cdvds 16155   gcd cgcd 16397  ℙcprime 16574  ϕcphi 16667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575  df-phi 16669

This theorem is referenced by:  phiprm  16680