Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5d 42144
Description: Part 3 of Equation 2 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5d (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))

Proof of Theorem flt4lem5d
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 14238 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 14238 . . . 4 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16662 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
81nnzd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16688 . . . . . 6 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 323 . . . 4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 12315 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16532 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 12258 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 42134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 12258 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 42134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7434 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2767 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 42135 . . 3 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.n . . . 4 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16795 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 flt4lem5a.m . . . 4 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16793 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3125, 30syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 flt4lem5a.r . . 3 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . 3 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 42141 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
3528nnzd 12615 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
368, 35gcdcomd 16488 . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
3731nnzd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3835, 37gcdcomd 16488 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
3929, 26flt4lem5 42139 . . . . . 6 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4138, 40eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
4228nnsqcld 14238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
4342nncnd 12258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
442nncnd 12258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 11446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
4645, 34eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 42131 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
4836, 47eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
4932, 33pythagtriplem17 16799 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1388 1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141  cmin 11474   / cdiv 11901  cn 12242  2c2 12297  4c4 12299  cz 12588  cexp 14058  csqrt 15212  cdvds 16230   gcd cgcd 16468  cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42145  flt4lem5f  42146
  Copyright terms: Public domain W3C validator