Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5d 41036
Description: Part 3 of Equation 2 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5d (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))

Proof of Theorem flt4lem5d
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 14153 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3 flt4lem5a.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnsqcld 14153 . . . 4 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5 flt4lem5a.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6 flt4lem5a.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7 2prm 16573 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
81nnzd 12531 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
9 prmdvdssq 16599 . . . . . 6 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
107, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
116, 10mtbid 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12 flt4lem5a.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13 2nn 12231 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 rplpwr 16443 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
181nncnd 12174 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1918flt4lem 41026 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
203nncnd 12174 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120flt4lem 41026 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
2219, 21oveq12d 7376 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
2422, 23eqtr3d 2775 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 41027 . . 3 (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26 flt4lem5a.n . . . 4 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
2726pythagtriplem13 16704 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2825, 27syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
29 flt4lem5a.m . . . 4 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
3029pythagtriplem11 16702 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3125, 30syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32 flt4lem5a.r . . 3 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
33 flt4lem5a.s . . 3 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀𝑁))) / 2)
3429, 26, 32, 33, 1, 3, 5, 6, 12, 23flt4lem5a 41033 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
3528nnzd 12531 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
368, 35gcdcomd 16399 . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝐴))
3731nnzd 12531 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3835, 37gcdcomd 16399 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
3929, 26flt4lem5 41031 . . . . . 6 ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4025, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4138, 40eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
4228nnsqcld 14153 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
4342nncnd 12174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
442nncnd 12174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4543, 44addcomd 11362 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)))
4645, 34eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝐴↑2)) = (𝑀↑2))
4728, 1, 31, 41, 46fltabcoprm 41023 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
4836, 47eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
4932, 33pythagtriplem17 16708 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
501, 28, 31, 34, 48, 6, 49syl312anc 1392 1 (𝜑𝑀 = ((𝑅↑2) + (𝑆↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390   / cdiv 11817  cn 12158  2c2 12213  4c4 12215  cz 12504  cexp 13973  csqrt 15124  cdvds 16141   gcd cgcd 16379  cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  41037  flt4lem5f  41038
  Copyright terms: Public domain W3C validator