MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem1 27078
Description: Lemma for perfect 27080. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
perfectlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
perfectlem.3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
perfectlem.4 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem1 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem perfectlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 12282 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 perfectlem.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 12529 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
4 peano2nn0 12509 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
6 nnexpcl 14037 . . 3 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
71, 5, 6sylancr 586 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
8 2re 12283 . . . 4 2 โˆˆ โ„
92peano2nnd 12226 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
10 1lt2 12380 . . . . 5 1 < 2
1110a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
12 expgt1 14063 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
138, 9, 11, 12mp3an2i 1462 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
14 1nn 12220 . . . 4 1 โˆˆ โ„•
15 nnsub 12253 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
1614, 7, 15sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
1713, 16mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
187nnzd 12582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
19 peano2zm 12602 . . . . . . 7 ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
21 1nn0 12485 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
22 perfectlem.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
23 sgmnncl 26995 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
2421, 22, 23sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
26 dvdsmul1 16218 . . . . . 6 ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
2720, 25, 26syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
28 2cn 12284 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
29 expp1 14031 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
3028, 3, 29sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
31 nnexpcl 14037 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
321, 3, 31sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
3332nncnd 12225 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
34 mulcom 11192 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3533, 28, 34sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3630, 35eqtrd 2764 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3736oveq1d 7416 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต))
3828a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3922nncnd 12225 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4038, 33, 39mulassd 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
41 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
43 perfectlem.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
44 2prm 16626 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„™
4522nnzd 12582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
46 coprm 16645 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ต โ†” (2 gcd ๐ต) = 1))
4744, 45, 46sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ต โ†” (2 gcd ๐ต) = 1))
4843, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 gcd ๐ต) = 1)
49 2z 12591 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
50 rpexp1i 16658 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
5149, 45, 3, 50mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)
53 sgmmul 27050 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
5442, 32, 22, 52, 53syl13anc 1369 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
55 perfectlem.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
562nncnd 12225 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
57 pncan 11463 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
5856, 41, 57sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
5958oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1)) = (2โ†‘๐ด))
6059oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)))
61 1sgm2ppw 27049 . . . . . . . . . 10 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
629, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
6360, 62eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
6463oveq1d 7416 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6554, 55, 643eqtr3d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6637, 40, 653eqtrd 2768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6727, 66breqtrrd 5166 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต))
6820, 18gcdcomd 16452 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
69 iddvdsexp 16220 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
7049, 9, 69sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
71 n2dvds1 16308 . . . . . . . . . 10 ยฌ 2 โˆฅ 1
7249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
73 1zzd 12590 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
7472, 18, 733jca 1125 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค))
75 dvdssub2 16241 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 2 โˆฅ 1))
7674, 75sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 2 โˆฅ 1))
7771, 76mtbiri 327 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
7877ex 412 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1))))
7970, 78mt2d 136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
80 coprm 16645 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†” (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8144, 20, 80sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†” (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8279, 81mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1)
83 rpexp1i 16658 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1 โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8449, 20, 5, 83mp3an2i 1462 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1 โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8582, 84mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1)
8668, 85eqtrd 2764 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1)
87 coprmdvds 16587 . . . . 5 ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆง (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต))
8820, 18, 45, 87syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆง (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต))
8967, 86, 88mp2and 696 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต)
90 nndivdvds 16203 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
9122, 17, 90syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
9289, 91mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
937, 17, 923jca 1125 1 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ†‘cexp 14024   โˆฅ cdvds 16194   gcd cgcd 16432  โ„™cprime 16605   ฯƒ csgm 26944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-cxp 26408  df-sgm 26950
This theorem is referenced by:  perfectlem2  27079
  Copyright terms: Public domain W3C validator