MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem1 26457
Description: Lemma for perfect 26459. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 12125 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12372 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 12352 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 13874 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 12126 . . . 4 2 ∈ ℝ
92peano2nnd 12069 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
10 1lt2 12223 . . . . 5 1 < 2
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
12 expgt1 13900 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
138, 9, 11, 12mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
14 1nn 12063 . . . 4 1 ∈ ℕ
15 nnsub 12096 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1614, 7, 15sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1713, 16mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
187nnzd 12504 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
19 peano2zm 12442 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
21 1nn0 12328 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
22 perfectlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
23 sgmnncl 26376 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2421, 22, 23sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2524nnzd 12504 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
26 dvdsmul1 16063 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2720, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
28 2cn 12127 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
29 expp1 13868 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3028, 3, 29sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
31 nnexpcl 13874 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
321, 3, 31sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3332nncnd 12068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
34 mulcom 11036 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3533, 28, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3630, 35eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3736oveq1d 7331 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3828a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
3922nncnd 12068 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4038, 33, 39mulassd 11077 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
41 ax-1cn 11008 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43 perfectlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
44 2prm 16471 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℙ
4522nnzd 12504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
46 coprm 16490 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4744, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4843, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
49 2z 12431 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
50 rpexp1i 16502 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5149, 45, 3, 50mp3an2i 1465 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
53 sgmmul 26429 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5442, 32, 22, 52, 53syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
55 perfectlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
562nncnd 12068 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
57 pncan 11306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5856, 41, 57sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5958oveq2d 7332 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6059oveq2d 7332 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
61 1sgm2ppw 26428 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
629, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6360, 62eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6463oveq1d 7331 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6554, 55, 643eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6637, 40, 653eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6727, 66breqtrrd 5114 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
6820, 18gcdcomd 16297 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
69 iddvdsexp 16065 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
7049, 9, 69sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
71 n2dvds1 16153 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 ∥ 1
7249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
73 1zzd 12430 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7472, 18, 733jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
75 dvdssub2 16086 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7674, 75sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7771, 76mtbiri 326 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
7877ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1))))
7970, 78mt2d 136 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
80 coprm 16490 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8144, 20, 80sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8279, 81mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
83 rpexp1i 16502 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8449, 20, 5, 83mp3an2i 1465 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8582, 84mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
8668, 85eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
87 coprmdvds 16432 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8820, 18, 45, 87syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8967, 86, 88mp2and 696 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
90 nndivdvds 16048 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9122, 17, 90syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9289, 91mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
937, 17, 923jca 1127 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5086  (class class class)co 7316  cc 10948  cr 10949  1c1 10951   + caddc 10953   · cmul 10955   < clt 11088  cmin 11284   / cdiv 11711  cn 12052  2c2 12107  0cn0 12312  cz 12398  cexp 13861  cdvds 16039   gcd cgcd 16277  cprime 16450   σ csgm 26325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ioc 13163  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856  df-pi 15858  df-dvds 16040  df-gcd 16278  df-prm 16451  df-pc 16612  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lp 22367  df-perf 22368  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-haus 22546  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cncf 24121  df-limc 25110  df-dv 25111  df-log 25792  df-cxp 25793  df-sgm 26331
This theorem is referenced by:  perfectlem2  26458
  Copyright terms: Public domain W3C validator