MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem1 27288
Description: Lemma for perfect 27290. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectlem.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
perfectlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12585 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 12564 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 14112 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 12338 . . . 4 2 ∈ ℝ
92peano2nnd 12281 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
10 1lt2 12435 . . . . 5 1 < 2
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
12 expgt1 14138 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
138, 9, 11, 12mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
14 1nn 12275 . . . 4 1 ∈ ℕ
15 nnsub 12308 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1614, 7, 15sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1713, 16mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
187nnzd 12638 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
19 peano2zm 12658 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
21 1nn0 12540 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
22 perfectlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
23 sgmnncl 27205 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2421, 22, 23sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2524nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
26 dvdsmul1 16312 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2720, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
28 2cn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
29 expp1 14106 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3028, 3, 29sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
31 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
321, 3, 31sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3332nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
34 mulcom 11239 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3533, 28, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3630, 35eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3736oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3828a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
3922nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4038, 33, 39mulassd 11282 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
41 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43 perfectlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
44 2prm 16726 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℙ
4522nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
46 coprm 16745 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4744, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ (2 gcd 𝐵) = 1))
4843, 47mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
49 2z 12647 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
50 rpexp1i 16757 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5149, 45, 3, 50mp3an2i 1465 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
53 sgmmul 27260 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5442, 32, 22, 52, 53syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
55 perfectlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
562nncnd 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
57 pncan 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5856, 41, 57sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5958oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6059oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
61 1sgm2ppw 27259 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
629, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6360, 62eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6463oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6554, 55, 643eqtr3d 2783 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6637, 40, 653eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6727, 66breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
6820, 18gcdcomd 16548 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
69 iddvdsexp 16314 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
7049, 9, 69sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
71 n2dvds1 16402 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 ∥ 1
7249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
73 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7472, 18, 733jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
75 dvdssub2 16335 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7674, 75sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → (2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)) ↔ 2 ∥ 1))
7771, 76mtbiri 327 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1)))
7877ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) → ¬ 2 ∥ (2↑(𝐴 + 1))))
7970, 78mt2d 136 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
80 coprm 16745 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℙ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ) → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8144, 20, 80sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ↔ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8279, 81mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
83 rpexp1i 16757 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8449, 20, 5, 83mp3an2i 1465 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
8582, 84mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
8668, 85eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
87 coprmdvds 16687 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8820, 18, 45, 87syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8967, 86, 88mp2and 699 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
90 nndivdvds 16296 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9122, 17, 90syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
9289, 91mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
937, 17, 923jca 1127 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705   σ csgm 27154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-sgm 27160
This theorem is referenced by:  perfectlem2  27289
  Copyright terms: Public domain W3C validator