MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfectlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectlem1 26732
Description: Lemma for perfect 26734. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
perfectlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
perfectlem.3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
perfectlem.4 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
perfectlem1 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem perfectlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . . 3 2 โˆˆ โ„•
2 perfectlem.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 12532 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
4 peano2nn0 12512 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
6 nnexpcl 14040 . . 3 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
71, 5, 6sylancr 588 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
8 2re 12286 . . . 4 2 โˆˆ โ„
92peano2nnd 12229 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
10 1lt2 12383 . . . . 5 1 < 2
1110a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
12 expgt1 14066 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
138, 9, 11, 12mp3an2i 1467 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 < (2โ†‘(๐ด + 1)))
14 1nn 12223 . . . 4 1 โˆˆ โ„•
15 nnsub 12256 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„•) โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
1614, 7, 15sylancr 588 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 < (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•))
1713, 16mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
187nnzd 12585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค)
19 peano2zm 12605 . . . . . . 7 ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
21 1nn0 12488 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
22 perfectlem.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
23 sgmnncl 26651 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
2421, 22, 23sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
26 dvdsmul1 16221 . . . . . 6 ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (1 ฯƒ ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
2720, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
28 2cn 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
29 expp1 14034 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
3028, 3, 29sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = ((2โ†‘๐ด) ยท 2))
31 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
321, 3, 31sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„•)
3332nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
34 mulcom 11196 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3533, 28, 34sylancl 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3630, 35eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘(๐ด + 1)) = (2 ยท (2โ†‘๐ด)))
3736oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต))
3828a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3922nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4038, 33, 39mulassd 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (2โ†‘๐ด)) ยท ๐ต) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
41 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
4241a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
43 perfectlem.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
44 2prm 16629 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„™
4522nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
46 coprm 16648 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ต โ†” (2 gcd ๐ต) = 1))
4744, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐ต โ†” (2 gcd ๐ต) = 1))
4843, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 gcd ๐ต) = 1)
49 2z 12594 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
50 rpexp1i 16660 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
5149, 45, 3, 50mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)
53 sgmmul 26704 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐ด) gcd ๐ต) = 1)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
5442, 32, 22, 52, 53syl13anc 1373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
55 perfectlem.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)))
562nncnd 12228 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
57 pncan 11466 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
5856, 41, 57sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) โˆ’ 1) = ๐ด)
5958oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1)) = (2โ†‘๐ด))
6059oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)))
61 1sgm2ppw 26703 . . . . . . . . . 10 ((๐ด + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
629, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘((๐ด + 1) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
6360, 62eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
6463oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 ฯƒ (2โ†‘๐ด)) ยท (1 ฯƒ ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6554, 55, 643eqtr3d 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((2โ†‘๐ด) ยท ๐ต)) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6637, 40, 653eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) = (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) ยท (1 ฯƒ ๐ต)))
6727, 66breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต))
6820, 18gcdcomd 16455 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)))
69 iddvdsexp 16223 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
7049, 9, 69sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
71 n2dvds1 16311 . . . . . . . . . 10 ยฌ 2 โˆฅ 1
7249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
73 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
7472, 18, 733jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค))
75 dvdssub2 16244 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 2 โˆฅ 1))
7674, 75sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)) โ†” 2 โˆฅ 1))
7771, 76mtbiri 327 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1)))
7877ex 414 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (2โ†‘(๐ด + 1))))
7970, 78mt2d 136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1))
80 coprm 16648 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†” (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8144, 20, 80sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โ†” (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8279, 81mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1)
83 rpexp1i 16660 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1 โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8449, 20, 5, 83mp3an2i 1467 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1 โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1))
8582, 84mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) gcd ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) = 1)
8668, 85eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1)
87 coprmdvds 16590 . . . . 5 ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆง (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต))
8820, 18, 45, 87syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐ด + 1)) ยท ๐ต) โˆง (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐ด + 1))) = 1) โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต))
8967, 86, 88mp2and 698 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต)
90 nndivdvds 16206 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
9122, 17, 90syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
9289, 91mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
937, 17, 923jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / ((2โ†‘(๐ด + 1)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  โ„™cprime 16608   ฯƒ csgm 26600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-sgm 26606
This theorem is referenced by:  perfectlem2  26733
  Copyright terms: Public domain W3C validator