MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfect1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem perfect1 26955
Description: Euclid's contribution to the Euclid-Euler theorem. A number of the form 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ โˆ’ 1) is a perfect number. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
perfect1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
Proof of Theorem perfect1
StepHypRef Expression
1 mersenne 26954 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16615 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4 1sgm2ppw 26927 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
53, 4syl 17 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
6 1sgmprm 26926 . . . . 5 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1))
76adantl 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1))
8 2nn 12289 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
93nnnn0d 12536 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
10 nnexpcl 14044 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
1211nncnd 12232 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
13 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
14 npcan 11473 . . . . 5 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1) = (2โ†‘๐‘ƒ))
1512, 13, 14sylancl 586 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1) = (2โ†‘๐‘ƒ))
167, 15eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = (2โ†‘๐‘ƒ))
175, 16oveq12d 7429 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 ฯƒ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) ยท (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ƒ)))
1813a1i 11 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
19 nnm1nn0 12517 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
203, 19syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
21 nnexpcl 14044 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
228, 20, 21sylancr 587 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
23 prmnn 16615 . . . 4 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2423adantl 482 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
2522nnzd 12589 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
26 prmz 16616 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2726adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2825, 27gcdcomd 16459 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) gcd ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
29 iddvds 16217 . . . . . . . 8 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
31 prmuz2 16637 . . . . . . . . . 10 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
33 eluz2gt1 12908 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
35 ndvdsp1 16358 . . . . . . . 8 ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1)))
3627, 24, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1)))
3730, 36mpd 15 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1))
38 2z 12598 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
40 dvdsmultr1 16243 . . . . . . . 8 ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2)))
4127, 25, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2)))
42 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
43 expm1t 14060 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) = ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2))
4442, 3, 43sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) = ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2))
4515, 44eqtr2d 2773 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1))
4645breq2d 5160 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท 2) โ†” ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1)))
4741, 46sylibd 238 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) + 1)))
4837, 47mtod 197 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
49 simpr 485 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™)
50 coprm 16652 . . . . . 6 ((((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™ โˆง (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) = 1))
5149, 25, 50syl2anc 584 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (ยฌ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆฅ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) = 1))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) gcd (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) = 1)
5328, 52eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) gcd ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = 1)
54 sgmmul 26928 . . 3 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) gcd ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = 1)) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))) = ((1 ฯƒ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) ยท (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
5518, 22, 24, 53, 54syl13anc 1372 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))) = ((1 ฯƒ (2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1))) ยท (1 ฯƒ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
56 subcl 11463 . . . 4 (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5712, 13, 56sylancl 586 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5812, 57mulcomd 11239 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)) = (((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) ยท (2โ†‘๐‘ƒ)))
5917, 55, 583eqtr4d 2782 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ฯƒ ((2โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))) = ((2โ†‘๐‘ƒ) ยท ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612   ฯƒ csgm 26824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-cxp 26290  df-sgm 26830
This theorem is referenced by:  perfect  26958  perfectALTV  46690
  Copyright terms: Public domain W3C validator