Theorem perfect1 27555

Description: Euclid's contribution to the Euclid-Euler theorem. A number of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1) is a perfect number. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect1	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Proof of Theorem perfect1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mersenne 27554	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16849	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		1sgm2ppw 27527	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6		1sgmprm 27526	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
8		2nn 12416	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	3	nnnn0d 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14217	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12351	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		npcan 11566	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
15	12, 13, 14	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (2↑𝑃))
17	5, 16	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
18	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
19		nnm1nn0 12647	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	3, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
21		nnexpcl 14217	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
22	8, 20, 21	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
23		prmnn 16849	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
25	22	nnzd 12719	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
26		prmz 16850	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
28	25, 27	gcdcomd 16686	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))))
29		iddvds 16439	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
30	27, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
31		prmuz2 16871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
33		eluz2gt1 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
35		ndvdsp1 16581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
36	27, 24, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
37	30, 36	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1))
38		2z 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
40		dvdsmultr1 16466	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
41	27, 25, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
42		2cn 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expm1t 14233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
44	42, 3, 43	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
45	15, 44	eqtr2d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
46	45	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) ↔ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
47	41, 46	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
48	37, 47	mtod 201	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)))
49		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
50		coprm 16887	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
51	49, 25, 50	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
52	48, 51	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1)
53	28, 52	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)
54		sgmmul 27528	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
55	18, 22, 24, 53, 54	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
56		subcl 11556	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
57	12, 13, 56	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
58	12, 57	mulcomd 11330	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
59	17, 55, 58	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ↑cexp 14204   ∥ cdvds 16422   gcd cgcd 16664  ℙcprime 16846   σ csgm 27423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-sgm 27429

This theorem is used by:  perfect  27558  perfectALTV  48820