Theorem perfect1 27191

Description: Euclid's contribution to the Euclid-Euler theorem. A number of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1) is a perfect number. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect1	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Proof of Theorem perfect1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mersenne 27190	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16693	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		1sgm2ppw 27163	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6		1sgmprm 27162	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
8		2nn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	3	nnnn0d 12562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14092	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		npcan 11491	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (2↑𝑃))
17	5, 16	oveq12d 7423	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
18	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
19		nnm1nn0 12542	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
21		nnexpcl 14092	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
22	8, 20, 21	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
23		prmnn 16693	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
25	22	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
26		prmz 16694	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
28	25, 27	gcdcomd 16533	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))))
29		iddvds 16289	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
31		prmuz2 16715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
33		eluz2gt1 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
35		ndvdsp1 16430	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
36	27, 24, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
37	30, 36	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1))
38		2z 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
40		dvdsmultr1 16315	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
41	27, 25, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
42		2cn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expm1t 14108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
44	42, 3, 43	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
45	15, 44	eqtr2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
46	45	breq2d 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) ↔ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
47	41, 46	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
48	37, 47	mtod 198	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)))
49		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
50		coprm 16730	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
51	49, 25, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
52	48, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1)
53	28, 52	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)
54		sgmmul 27164	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
55	18, 22, 24, 53, 54	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
56		subcl 11481	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
57	12, 13, 56	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
58	12, 57	mulcomd 11256	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
59	17, 55, 58	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ↑cexp 14079   ∥ cdvds 16272   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690   σ csgm 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-sgm 27064

This theorem is referenced by:  perfect  27194  perfectALTV  47737