Theorem perfect1 27292

Description: Euclid's contribution to the Euclid-Euler theorem. A number of the form 2↑(𝑝 − 1) · (2↑𝑝 − 1) is a perfect number. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
perfect1	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Proof of Theorem perfect1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mersenne 27291	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16708	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		1sgm2ppw 27264	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ (2↑(𝑃 − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6		1sgmprm 27263	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
7	6	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
8		2nn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	3	nnnn0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 14087	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12226	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11131	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		npcan 11439	. . . . 5 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
15	12, 13, 14	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) + 1) = (2↑𝑃))
16	7, 15	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑𝑃) − 1)) = (2↑𝑃))
17	5, 16	oveq12d 7414	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
18	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
19		nnm1nn0 12522	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
21		nnexpcl 14087	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
22	8, 20, 21	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
23		prmnn 16708	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
24	23	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
25	22	nnzd 12594	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
26		prmz 16709	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
27	26	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ)
28	25, 27	gcdcomd 16548	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))))
29		iddvds 16303	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1))
31		prmuz2 16730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
33		eluz2gt1 12921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
35		ndvdsp1 16445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
36	27, 24, 34, 35	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑𝑃) − 1) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
37	30, 36	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1))
38		2z 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℤ)
40		dvdsmultr1 16330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
41	27, 25, 39, 40	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2)))
42		2cn 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expm1t 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
44	42, 3, 43	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) = ((2↑(𝑃 − 1)) · 2))
45	15, 44	eqtr2d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) = (((2↑𝑃) − 1) + 1))
46	45	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ ((2↑(𝑃 − 1)) · 2) ↔ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
47	41, 46	sylibd 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) → ((2↑𝑃) − 1) ∥ (((2↑𝑃) − 1) + 1)))
48	37, 47	mtod 200	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)))
49		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
50		coprm 16746	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ ∧ (2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℤ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
51	49, 25, 50	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (¬ ((2↑𝑃) − 1) ∥ (2↑(𝑃 − 1)) ↔ (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1))
52	48, 51	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (((2↑𝑃) − 1) gcd (2↑(𝑃 − 1))) = 1)
53	28, 52	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)
54		sgmmul 27265	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝑃 − 1)) gcd ((2↑𝑃) − 1)) = 1)) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
55	18, 22, 24, 53, 54	syl13anc 1391	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((1 σ (2↑(𝑃 − 1))) · (1 σ ((2↑𝑃) − 1))))
56		subcl 11429	. . . 4 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
57	12, 13, 56	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
58	12, 57	mulcomd 11203	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) · (2↑𝑃)))
59	17, 55, 58	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 σ ((2↑(𝑃 − 1)) · ((2↑𝑃) − 1))) = ((2↑𝑃) · ((2↑𝑃) − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   − cmin 11414  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ↑cexp 14074   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705   σ csgm 27160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16873  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-log 26621  df-cxp 26622  df-sgm 27166

This theorem is referenced by:  perfect  27295  perfectALTV  48345