Theorem rpexp12i 16663

Description: Relative primality passes to symmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexp12i	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))

Proof of Theorem rpexp12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpexp1i 16662	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
2	1	3adant3r 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
3		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		zexpcl 14011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
8		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		rpexp1i 16662	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1 → ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1 → ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
11	7, 3	gcdcomd 16453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = (𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)))
12	11	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
13		zexpcl 14011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
14	3, 8, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15	7, 14	gcdcomd 16453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)))
16	15	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑁) gcd (𝐴↑𝑀)) = 1))
17	10, 12, 16	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))
18	2, 17	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd (𝐵↑𝑁)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ↑cexp 13996   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  ablfac1b  20013  jm2.20nn  43348