MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplpwr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplpwr 16533
Description: If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rplpwr ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))

Proof of Theorem rplpwr
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘1))
21oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต))
32eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1))
43imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)))
5 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘›))
65oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
76eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
87imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1)))
9 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)))
109oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต))
1110eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
1211imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
13 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413oveq1d 7435 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต))
1514eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
1615imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
17 nncn 12251 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817exp1d 14138 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1918oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2120eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
2221biimpar 477 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)
23 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•))
24 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2524nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2825, 27expp1d 14144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
29 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
30 nnnn0 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31303ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3229, 31nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
3635, 25mulcomd 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3728, 36eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3837oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))))
39 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4032adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
41 nnz 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
42413ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43 nnz 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4542, 44gcdcomd 16489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4645eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ต gcd ๐ด) = 1))
4746biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
48 rpmulgcd 16532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
4939, 24, 40, 47, 48syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5038, 49eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
51 peano2nn 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
52513ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
5524, 54nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
5655nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
5744adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5856, 57gcdcomd 16489 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
5934, 57gcdcomd 16489 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6050, 58, 593eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
6160eqeq1d 2730 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
6261biimprd 247 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6323, 62sylanbr 581 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6463an32s 651 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6564expcom 413 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
6665a2d 29 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
674, 8, 12, 16, 22, 66nnind 12261 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
6867expd 415 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
6968com12 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
70693impia 1115 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ†‘cexp 14059   gcd cgcd 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470
This theorem is referenced by:  rprpwr  16534  rppwr  16535  logbgcd1irr  26739  lgsne0  27281  2sqlem8  27372  flt4lem5a  42076  flt4lem5b  42077  flt4lem5c  42078  flt4lem5d  42079  flt4lem5e  42080
  Copyright terms: Public domain W3C validator