MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplpwr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplpwr 16499
Description: If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rplpwr ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))

Proof of Theorem rplpwr
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘1))
21oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต))
32eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1))
43imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)))
5 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘›))
65oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
76eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
87imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1)))
9 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)))
109oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต))
1110eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
1211imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
13 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต))
1514eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
1615imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) gcd ๐ต) = 1) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
17 nncn 12220 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817exp1d 14106 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
1918oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = (๐ด gcd ๐ต))
2120eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
2221biimpar 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘1) gcd ๐ต) = 1)
23 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•))
24 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2524nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
2825, 27expp1d 14112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด))
29 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
30 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
31303ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3229, 31nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3534zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
3635, 25mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3728, 36eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) = (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
3837oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))))
39 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
4032adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•)
41 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
42413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
44433ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4542, 44gcdcomd 16455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
4645eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†” (๐ต gcd ๐ด) = 1))
4746biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
48 rpmulgcd 16498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„•) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
4939, 24, 40, 47, 48syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ด ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
5038, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
51 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
52513ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
5453nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
5524, 54nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
5655nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
5744adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5856, 57gcdcomd 16455 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘(๐‘› + 1))))
5934, 57gcdcomd 16455 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = (๐ต gcd (๐ดโ†‘๐‘›)))
6050, 58, 593eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต))
6160eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1))
6261biimprd 247 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6323, 62sylanbr 583 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6463an32s 651 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1))
6564expcom 415 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
6665a2d 29 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘›) gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘› + 1)) gcd ๐ต) = 1)))
674, 8, 12, 16, 22, 66nnind 12230 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
6867expd 417 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
6968com12 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1)))
70693impia 1118 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027   gcd cgcd 16435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436
This theorem is referenced by:  rprpwr  16500  rppwr  16501  logbgcd1irr  26299  lgsne0  26838  2sqlem8  26929  flt4lem5a  41394  flt4lem5b  41395  flt4lem5c  41396  flt4lem5d  41397  flt4lem5e  41398
  Copyright terms: Public domain W3C validator