Theorem pythagtriplem3 16783

Description: Lemma for pythagtrip 16799. Show that 𝐶 and 𝐵 are relatively prime under some conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem pythagtriplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
3		nnz 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		zsqcl 14085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
7		nnz 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		zsqcl 14085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11		gcdadd 16489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
12	6, 10, 11	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
13	6, 10	gcdcomd 16477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
14	12, 13	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
16	2, 15	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
17		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐶 ∈ ℕ)
19		sqgcd 16525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
21		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
22		sqgcd 16525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
23	21, 17, 22	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
24	16, 20, 23	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
25	24	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
26		simp3l 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
27	26	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = (1↑2))
28	25, 27	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2))
29	3	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		nnz 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
31	30	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
32	29, 31	gcdcld 16471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ)
35	32	nn0ge0d 12495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶))
36	35	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶))
37		1re 11138	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		0le1 11667	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
39		sq11 14087	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
40	37, 38, 39	mpanr12 706	. . 3 ⊢ (((𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
41	34, 36, 40	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
42	28, 41	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  2c2 12230  ℤcz 12518  ↑cexp 14017   ∥ cdvds 16215   gcd cgcd 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458

This theorem is referenced by:  pythagtriplem4  16784