Theorem pythagtriplem3 16716

Description: Lemma for pythagtrip 16732. Show that 𝐶 and 𝐵 are relatively prime under some conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Proof of Theorem pythagtriplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
3		nnz 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
4		zsqcl 14059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
7		nnz 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		zsqcl 14059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
11		gcdadd 16432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
13	6, 10	gcdcomd 16420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
14	12, 13	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
16	2, 15	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
17		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐶 ∈ ℕ)
19		sqgcd 16467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) gcd (𝐶↑2)))
21		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
22		sqgcd 16467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
23	21, 17, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
24	16, 20, 23	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
25	24	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = ((𝐴 gcd 𝐵)↑2))
26		simp3l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
27	26	oveq1d 7392	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = (1↑2))
28	25, 27	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2))
29	3	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		nnz 12544	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
31	30	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
32	29, 31	gcdcld 16414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 12498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ)
35	32	nn0ge0d 12500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶))
36	35	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶))
37		1re 11179	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		0le1 11702	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
39		sq11 14061	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
40	37, 38, 39	mpanr12 703	. . 3 ⊢ (((𝐵 gcd 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 gcd 𝐶)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
41	34, 36, 40	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐵 gcd 𝐶)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐵 gcd 𝐶) = 1))
42	28, 41	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11214  ℕcn 12177  2c2 12232  ℤcz 12523  ↑cexp 13992   ∥ cdvds 16162   gcd cgcd 16400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-dvds 16163  df-gcd 16401

This theorem is referenced by:  pythagtriplem4  16717