MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem1 27250
Description: When ๐‘Ž is coprime to the prime ๐‘, ๐‘Žโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / 2) is equivalent mod ๐‘ to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgslem1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1
StepHypRef Expression
1 eldifi 4127 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
213ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 prmnn 16652 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
5 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6 prmz 16653 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
85, 7gcdcomd 16496 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐ด))
9 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
10 coprm 16689 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
112, 5, 10syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
129, 11mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
138, 12eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1)
14 eulerth 16759 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
154, 5, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
16 phiprm 16753 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
172, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
18 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
194, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2017, 19eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
21 zexpcl 14081 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
225, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
23 1zzd 12631 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
24 moddvds 16249 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
254, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
2615, 25mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1))
2719nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12328 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
29 2ne0 12354 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โ‰  0)
3127, 28, 30divcan1d 12029 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3217, 31eqtr4d 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2))
3332oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)))
345zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
35 2nn0 12527 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
37 oddprm 16786 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
3938nnnn0d 12570 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4034, 36, 39expmuld 14153 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2))
4133, 40eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2))
4241oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ 1))
43 sq1 14198 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
4443oveq2i 7437 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ 1)
4542, 44eqtr4di 2786 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)))
46 zexpcl 14081 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
475, 39, 46syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4847zcnd 12705 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„‚)
49 ax-1cn 11204 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
50 subsq 14213 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5148, 49, 50sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5245, 51eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5326, 52breqtrd 5178 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5447peano2zd 12707 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค)
55 peano2zm 12643 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5647, 55syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
57 euclemma 16691 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))))
582, 54, 56, 57syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))))
5953, 58mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
60 dvdsval3 16242 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0))
614, 54, 60syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0))
62 2z 12632 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
6362a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
64 moddvds 16249 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2)))
654, 54, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2)))
66 2re 12324 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
684nnrpd 13054 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
69 0le2 12352 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค 2)
714nnred 12265 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 prmuz2 16674 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
732, 72syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
74 eluzle 12873 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
76 eldifsni 4798 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
77763ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
7867, 71, 75, 77leneltd 11406 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
79 modid 13901 . . . . . . 7 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < ๐‘ƒ)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
8067, 68, 70, 78, 79syl22anc 837 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
8180eqeq2d 2739 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
82 df-2 12313 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8382oveq2i 7437 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ (1 + 1))
8449a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8548, 84, 84pnpcan2d 11647 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ (1 + 1)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))
8683, 85eqtrid 2780 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))
8786breq2d 5164 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
8865, 81, 873bitr3rd 309 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
8961, 88orbi12d 916 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2)))
9059, 89mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
91 ovex 7459 . . 3 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ V
9291elpr 4656 . 2 ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2} โ†” ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
9390, 92sylibr 233 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3946  {csn 4632  {cpr 4634   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ„+crp 13014   mod cmo 13874  โ†‘cexp 14066   โˆฅ cdvds 16238   gcd cgcd 16476  โ„™cprime 16649  ฯ•cphi 16740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-phi 16742
This theorem is referenced by:  lgslem4  27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator