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Theorem lgslem1 25374
Description: When 𝑎 is coprime to the prime 𝑝, 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2) is equivalent mod 𝑝 to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgslem1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1
StepHypRef Expression
1 eldifi 3930 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
213ad2ant2 1165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 15722 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp1 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6 prmz 15723 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
8 gcdcom 15570 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
95, 7, 8syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
10 simp3 1169 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝐴)
11 coprm 15756 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
122, 5, 11syl2anc 580 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
1310, 12mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
149, 13eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
15 eulerth 15821 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
164, 5, 14, 15syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
17 phiprm 15815 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
182, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
19 nnm1nn0 11623 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
204, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2118, 20eqeltrd 2878 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
22 zexpcl 13129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
235, 21, 22syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
24 1zzd 11698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℤ)
25 moddvds 15330 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
264, 23, 24, 25syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
2716, 26mpbid 224 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
2820nn0cnd 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
29 2cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℂ)
30 2ne0 11424 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ≠ 0)
3228, 29, 31divcan1d 11094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3318, 32eqtr4d 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
3433oveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
355zcnd 11773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
36 2nn0 11599 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
38 oddprm 15848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
39383ad2ant2 1165 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4039nnnn0d 11640 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4135, 37, 40expmuld 13265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4234, 41eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4342oveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1))
44 sq1 13212 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4544oveq2i 6889 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1)
4643, 45syl6eqr 2851 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)))
47 zexpcl 13129 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
485, 40, 47syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4948zcnd 11773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
50 ax-1cn 10282 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
51 subsq 13226 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5249, 50, 51sylancl 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5346, 52eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5427, 53breqtrd 4869 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
5548peano2zd 11775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
56 peano2zm 11710 . . . . . 6 ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
5748, 56syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
58 euclemma 15758 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
592, 55, 57, 58syl3anc 1491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
6054, 59mpbid 224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
61 dvdsval3 15323 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
624, 55, 61syl2anc 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
63 2z 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
6463a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℤ)
65 moddvds 15330 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
664, 55, 64, 65syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
67 2re 11387 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ∈ ℝ)
694nnrpd 12115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
70 0le2 11422 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
7170a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 0 ≤ 2)
72 prmuz2 15742 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
732, 72syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
74 eluzle 11943 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 ≤ 𝑃)
76 eldifsni 4510 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
77763ad2ant2 1165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ≠ 2)
784nnred 11329 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
7968, 78ltlend 10472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃𝑃 ≠ 2)))
8075, 77, 79mpbir2and 705 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 2 < 𝑃)
81 modid 12950 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
8268, 69, 71, 80, 81syl22anc 868 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (2 mod 𝑃) = 2)
8382eqeq2d 2809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
84 df-2 11376 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8584oveq2i 6889 . . . . . . 7 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1))
8650a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8749, 86, 86pnpcan2d 10722 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
8885, 87syl5eq 2845 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
8988breq2d 4855 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
9066, 83, 893bitr3rd 302 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
9162, 90orbi12d 943 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
9260, 91mpbid 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
93 ovex 6910 . . 3 (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ V
9493elpr 4391 . 2 ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
9592, 94sylibr 226 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cdif 3766  {csn 4368  {cpr 4370   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  +crp 12074   mod cmo 12923  cexp 13114  cdvds 15319   gcd cgcd 15551  cprime 15719  ϕcphi 15802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-dvds 15320  df-gcd 15552  df-prm 15720  df-phi 15804
This theorem is referenced by:  lgslem4  25377
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