MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem1 27180
Description: When ๐‘Ž is coprime to the prime ๐‘, ๐‘Žโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / 2) is equivalent mod ๐‘ to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgslem1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1
StepHypRef Expression
1 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
213ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 prmnn 16615 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
5 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
6 prmz 16616 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
85, 7gcdcomd 16459 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐ด))
9 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
10 coprm 16652 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
112, 5, 10syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
129, 11mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
138, 12eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1)
14 eulerth 16722 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
154, 5, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
16 phiprm 16716 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
172, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
18 nnm1nn0 12514 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
194, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2017, 19eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
21 zexpcl 14044 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
225, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
23 1zzd 12594 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
24 moddvds 16212 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
254, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1)))
2615, 25mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1))
2719nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12291 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
29 2ne0 12317 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โ‰  0)
3127, 28, 30divcan1d 11992 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3217, 31eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2))
3332oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)))
345zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
35 2nn0 12490 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
37 oddprm 16749 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
3938nnnn0d 12533 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4034, 36, 39expmuld 14116 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) ยท 2)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2))
4133, 40eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2))
4241oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ 1))
43 sq1 14161 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
4443oveq2i 7415 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ 1)
4542, 44eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)))
46 zexpcl 14044 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
475, 39, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4847zcnd 12668 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„‚)
49 ax-1cn 11167 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
50 subsq 14176 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5148, 49, 50sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โ†‘2) โˆ’ (1โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5245, 51eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆ’ 1) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5326, 52breqtrd 5167 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
5447peano2zd 12670 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค)
55 peano2zm 12606 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5647, 55syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
57 euclemma 16654 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))))
582, 54, 56, 57syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))))
5953, 58mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
60 dvdsval3 16205 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0))
614, 54, 60syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0))
62 2z 12595 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
6362a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
64 moddvds 16212 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2)))
654, 54, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2)))
66 2re 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
6766a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
684nnrpd 13017 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
69 0le2 12315 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค 2)
714nnred 12228 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
72 prmuz2 16637 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
732, 72syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
74 eluzle 12836 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
76 eldifsni 4788 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
77763ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
7867, 71, 75, 77leneltd 11369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
79 modid 13864 . . . . . . 7 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < ๐‘ƒ)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
8067, 68, 70, 78, 79syl22anc 836 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
8180eqeq2d 2737 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = (2 mod ๐‘ƒ) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
82 df-2 12276 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8382oveq2i 7415 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) = (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ (1 + 1))
8449a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8548, 84, 84pnpcan2d 11610 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ (1 + 1)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))
8683, 85eqtrid 2778 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) = ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1))
8786breq2d 5153 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆ’ 2) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)))
8865, 81, 873bitr3rd 310 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1) โ†” (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
8961, 88orbi12d 915 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆ’ 1)) โ†” ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2)))
9059, 89mpbid 231 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
91 ovex 7437 . . 3 (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ V
9291elpr 4646 . 2 ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2} โ†” ((((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 0 โˆจ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) = 2))
9390, 92sylibr 233 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ {0, 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ– cdif 3940  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ„+crp 12977   mod cmo 13837  โ†‘cexp 14029   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612  ฯ•cphi 16703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16705
This theorem is referenced by:  lgslem4  27183
  Copyright terms: Public domain W3C validator