Theorem flt4lem3 28008

Description: Equivalent to pythagtriplem4 17026. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem3.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
3		flt4lem3.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zaddcld 12834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
6	2, 4	zsubcld 12835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	5, 6	gcdcomd 16715	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8		flt4lem3.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnsqcld 14415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
11	3	nnsqcld 14415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 11539	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
14		flt4lem3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
15	13, 14	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
16	8	nnzd 12746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
17	16, 4	gcdcomd 16715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝐵))
18		flt4lem3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
19	17, 18	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
20		flt4lem3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
21	3, 8, 20, 18	flt4lem2 28007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
22		pythagtriplem4 17026	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
23	8, 3, 1, 15, 19, 21, 22	syl312anc 1419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
24	7, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568  ℕcn 12362  2c2 12424  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451   gcd cgcd 16693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876

This theorem is used by: (None)