Theorem flt4lem3 40012

Description: Equivalent to pythagtriplem4 16224. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem3.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
3		flt4lem3.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zaddcld 12143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
6	2, 4	zsubcld 12144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	5, 6	gcdcomd 15926	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8		flt4lem3.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9		flt4lem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10		flt4lem3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
11		flt4lem3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
12	3, 8, 1, 9, 10, 11	flt4lem2 40011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
13		2nn0 11964	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
15	3, 8, 1, 10, 11	fltabcoprm 40006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	3, 8, 1, 14, 11, 15	fltbccoprm 40005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)
17	8	nnsqcld 13668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	3	nnsqcld 13668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcomd 10893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
22	21, 11	eqtrd 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
23	8, 3, 1, 12, 16, 22	flt4lem1 40010	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)))
24		pythagtriplem4 16224	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
26	7, 25	eqtrd 2793	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591   − cmin 10921  ℕcn 11687  2c2 11742  ℕ₀cn0 11947  ↑cexp 13492   ∥ cdvds 15668   gcd cgcd 15906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-log 25260  df-cxp 25261

This theorem is referenced by: (None)