Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem3 41033
Description: Equivalent to pythagtriplem4 16699. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem3.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem3 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3
StepHypRef Expression
1 flt4lem3.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
21nnzd 12534 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
3 flt4lem3.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
43nnzd 12534 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zaddcld 12619 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
62, 4zsubcld 12620 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℤ)
75, 6gcdcomd 16402 . 2 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶𝐴)) = ((𝐶𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8 flt4lem3.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
9 flt4lem3.1 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10 flt4lem3.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
11 flt4lem3.3 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
123, 8, 1, 9, 10, 11flt4lem2 41032 . . . 4 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
13 2nn0 12438 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
153, 8, 1, 10, 11fltabcoprm 41027 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
163, 8, 1, 14, 11, 15fltbccoprm 41026 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)
178nnsqcld 14156 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1817nncnd 12177 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
193nnsqcld 14156 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
2019nncnd 12177 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
2118, 20addcomd 11365 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2221, 11eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
238, 3, 1, 12, 16, 22flt4lem1 41031 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)))
24 pythagtriplem4 16699 . . 3 (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
2523, 24syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
267, 25eqtrd 2773 1 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cmin 11393  cn 12161  2c2 12216  0cn0 12421  cexp 13976  cdvds 16144   gcd cgcd 16382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator