Theorem flt4lem3 42660

Description: Equivalent to pythagtriplem4 16723. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem3.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
3		flt4lem3.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zaddcld 12573	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
6	2, 4	zsubcld 12574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	5, 6	gcdcomd 16417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8		flt4lem3.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9		flt4lem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10		flt4lem3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
11		flt4lem3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
12	3, 8, 1, 9, 10, 11	flt4lem2 42659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
13		2nn0 12390	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
15	3, 8, 1, 10, 11	fltabcoprm 42654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	3, 8, 1, 14, 11, 15	fltbccoprm 42653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)
17	8	nnsqcld 14143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	3	nnsqcld 14143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcomd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
22	21, 11	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
23	8, 3, 1, 12, 16, 22	flt4lem1 42658	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)))
24		pythagtriplem4 16723	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
26	7, 25	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  1c1 10999   + caddc 11001   − cmin 11336  ℕcn 12117  2c2 12172  ℕ₀cn0 12373  ↑cexp 13960   ∥ cdvds 16155   gcd cgcd 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575

This theorem is referenced by: (None)