Theorem flt4lem3 42747

Description: Equivalent to pythagtriplem4 16737. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem3.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
3		flt4lem3.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zaddcld 12587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
6	2, 4	zsubcld 12588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	5, 6	gcdcomd 16431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8		flt4lem3.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9		flt4lem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10		flt4lem3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
11		flt4lem3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
12	3, 8, 1, 9, 10, 11	flt4lem2 42746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
13		2nn0 12404	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
15	3, 8, 1, 10, 11	fltabcoprm 42741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	3, 8, 1, 14, 11, 15	fltbccoprm 42740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)
17	8	nnsqcld 14157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	3	nnsqcld 14157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 12147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcomd 11321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
22	21, 11	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
23	8, 3, 1, 12, 16, 22	flt4lem1 42745	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)))
24		pythagtriplem4 16737	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
26	7, 25	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  1c1 11013   + caddc 11015   − cmin 11350  ℕcn 12131  2c2 12186  ℕ₀cn0 12387  ↑cexp 13974   ∥ cdvds 16169   gcd cgcd 16411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-gcd 16412  df-prm 16589

This theorem is referenced by: (None)