Theorem flt4lem3 42638

Description: Equivalent to pythagtriplem4 16844. Show that 𝐶 + 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem3.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem3.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem3.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem flt4lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
3		flt4lem3.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
5	2, 4	zaddcld 12706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℤ)
6	2, 4	zsubcld 12707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	5, 6	gcdcomd 16538	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)))
8		flt4lem3.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9		flt4lem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10		flt4lem3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
11		flt4lem3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
12	3, 8, 1, 9, 10, 11	flt4lem2 42637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
13		2nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
15	3, 8, 1, 10, 11	fltabcoprm 42632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
16	3, 8, 1, 14, 11, 15	fltbccoprm 42631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐶) = 1)
17	8	nnsqcld 14267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19	3	nnsqcld 14267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	18, 20	addcomd 11442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
22	21, 11	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
23	8, 3, 1, 12, 16, 22	flt4lem1 42636	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)))
24		pythagtriplem4 16844	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐵 gcd 𝐴) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) gcd (𝐶 + 𝐴)) = 1)
26	7, 25	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐴) gcd (𝐶 − 𝐴)) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277   gcd cgcd 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696

This theorem is referenced by: (None)