Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl 18700
 Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl (𝐺𝑉𝐸 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gexcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2798 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gexcl.2 . . . . 5 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2798 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}
61, 2, 3, 4, 5gexlem1 18699 . . . 4 (𝐺𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}))
7 simpl 486 . . . . 5 ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) → 𝐸 = 0)
8 elrabi 3623 . . . . 5 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} → 𝐸 ∈ ℕ)
97, 8orim12i 906 . . . 4 (((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}) → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
106, 9syl 17 . . 3 (𝐺𝑉 → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
1110orcomd 868 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
12 elnn0 11889 . 2 (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
1311, 12sylibr 237 1 (𝐺𝑉𝐸 ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11887  Basecbs 16477  0gc0g 16707  .gcmg 18219  gExcgex 18648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-gex 18652 This theorem is referenced by:  gexod  18706  cyggex2  19013
 Copyright terms: Public domain W3C validator