MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl 19572
Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl (𝐺𝑉𝐸 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gexcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2726 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 eqid 2726 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gexcl.2 . . . . 5 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2726 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}
61, 2, 3, 4, 5gexlem1 19571 . . . 4 (𝐺𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}))
7 simpl 481 . . . . 5 ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) → 𝐸 = 0)
8 elrabi 3675 . . . . 5 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} → 𝐸 ∈ ℕ)
97, 8orim12i 906 . . . 4 (((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)}) → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
106, 9syl 17 . . 3 (𝐺𝑉 → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
1110orcomd 869 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
12 elnn0 12518 . 2 (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
1311, 12sylibr 233 1 (𝐺𝑉𝐸 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3420  c0 4323  cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  cn 12256  0cn0 12516  Basecbs 17206  0gc0g 17447  .gcmg 19055  gExcgex 19517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-gex 19521
This theorem is referenced by:  gexod  19578  cyggex2  19889
  Copyright terms: Public domain W3C validator