Theorem gexcl 19698

Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gexcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		gexcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)}
6	1, 2, 3, 4, 5	gexlem1 19697	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)}))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)} = ∅) → 𝐸 = 0)
8		elrabi 3648	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)} → 𝐸 ∈ ℕ)
9	7, 8	orim12i 922	. . . 4 ⊢ (((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)} = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)}) → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = 0 ∨ 𝐸 ∈ ℕ))
11	10	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
12		elnn0 12525	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∨ 𝐸 = 0))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17295  0_gc0g 17518  ._gcmg 19181  gExcgex 19643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-gex 19647

This theorem is used by:  gexod  19704  cyggex2  20015