Theorem gexid 18970

Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7220	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		gexid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 18495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
10	9	ralbidv 3118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
11	10	elrab 3602	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
12	11	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
14	13	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
15	14	rspcva 3535	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
16	12, 15	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17		elfvex 6750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
18	17, 2	eleq2s 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
19		gexcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
21	2, 4, 3, 19, 20	gexlem1 18968	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
22	18, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
23	7, 16, 22	mpjaodan 959	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408  ∅c0 4237  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ℕcn 11830  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  ._gcmg 18488  gExcgex 18917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-mulg 18489  df-gex 18921

This theorem is referenced by:  gexdvdsi  18972  gexod  18975  gex1  18980  pgpfac1lem3a  19463