Theorem gexid 19495

Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		gexid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 18989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
9	8	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
10	9	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
11	10	elrab 3643	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
12	11	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
14	13	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
15	14	rspcva 3571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
16	12, 15	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17		elfvex 6863	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
18	17, 2	eleq2s 2851	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
19		gexcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
21	2, 4, 3, 19, 20	gexlem1 19493	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
22	18, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
23	7, 16, 22	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437  ∅c0 4282  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  ℕcn 12132  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  ._gcmg 18982  gExcgex 19439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-mulg 18983  df-gex 19443

This theorem is referenced by:  gexdvdsi  19497  gexod  19500  gex1  19505  pgpfac1lem3a  19992