Theorem gexid 19682

Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7430	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		gexid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
9	8	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
10	9	ralbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
11	10	elrab 3653	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
12	11	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
14	13	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
15	14	rspcva 3582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
16	12, 15	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17		elfvex 6923	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
18	17, 2	eleq2s 2884	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
19		gexcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20		eqid 2766	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
21	2, 4, 3, 19, 20	gexlem1 19680	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
22	18, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
23	7, 16, 22	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458  ∅c0 4289  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℕcn 12251  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  ._gcmg 19164  gExcgex 19626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-mulg 19165  df-gex 19630

This theorem is used by:  gexdvdsi  19684  gexod  19687  gex1  19692  pgpfac1lem3a  20179