Theorem gexid 19545

Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		gexid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19039	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 718	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
10	9	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
11	10	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
12	11	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
14	13	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
15	14	rspcva 3563	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
16	12, 15	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17		elfvex 6867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
18	17, 2	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
19		gexcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
21	2, 4, 3, 19, 20	gexlem1 19543	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
22	18, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
23	7, 16, 22	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  ℕcn 12163  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  ._gcmg 19032  gExcgex 19489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-seq 13953  df-mulg 19033  df-gex 19493

This theorem is referenced by:  gexdvdsi  19547  gexod  19550  gex1  19555  pgpfac1lem3a  20042