Theorem gexid 19604

Description: Any element to the power of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7399	. . . 4 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2		gexcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		gexid.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 19099	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
6	1, 5	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 = 0) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
7	6	adantrr 727	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
8		oveq1 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐸 · 𝑥))
9	8	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
10	9	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
11	10	elrab 3650	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (𝐸 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ))
12	11	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 )
13		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐸 · 𝑥) = (𝐸 · 𝐴))
14	13	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐸 · 𝑥) = 0 ↔ (𝐸 · 𝐴) = 0 ))
15	14	rspcva 3579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐸 · 𝑥) = 0 ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
16	12, 15	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
17		elfvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
18	17, 2	eleq2s 2879	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
19		gexcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
21	2, 4, 3, 19, 20	gexlem1 19602	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
22	18, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
23	7, 16, 22	mpjaodan 971	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  ℕcn 12207  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  ._gcmg 19092  gExcgex 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-mulg 19093  df-gex 19552

This theorem is referenced by:  gexdvdsi  19606  gexod  19609  gex1  19614  pgpfac1lem3a  20101