Theorem gexod 19438

Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem gexod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexod.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexod.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gexid 19433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
6	5	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 2	gexcl 19432	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
8	7	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12571	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
10		gexod.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
11	1, 10, 3, 4	oddvds 19399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
12	9, 11	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
13	6, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℕ₀cn0 12459  ℤcz 12545   ∥ cdvds 16184  Basecbs 17131  0_gc0g 17372  Grpcgrp 18806  ._gcmg 18935  odcod 19376  gExcgex 19377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-dvds 16185  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-od 19380  df-gex 19381

This theorem is referenced by:  gexnnod  19440  gexexlem  19703  gexex  19704  cyggex2  19748