Theorem gexod 19657

Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem gexod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexod.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexod.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gexid 19652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺))
7	1, 2	gexcl 19651	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12617	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
10		gexod.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
11	1, 10, 3, 4	oddvds 19618	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
12	9, 11	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ (𝐸(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)))
13	6, 12	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592   ∥ cdvds 16311  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  ._gcmg 19134  odcod 19595  gExcgex 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-od 19599  df-gex 19600

This theorem is referenced by:  gexnnod  19659  gexexlem  19923  gexex  19924  cyggex2  19968