Theorem psgnco 21515

Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgnco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Proof of Theorem psgnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4	1, 2, 3	symgov 19338	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
7		psgninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
9	1, 7, 8	psgnghm2 21513	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		prex 5434	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ V
11		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldmul 21287	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
13	11, 12	mgpplusg 20078	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
14	8, 13	ressplusg 17271	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	2, 3, 15	ghmlin 19175	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
17	9, 16	syl3an1 1161	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
18	6, 17	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {cpr 4631   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  1c1 11140   · cmul 11144  -cneg 11476  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  +_gcplusg 17233   GrpHom cghm 19167  SymGrpcsymg 19321  pmSgncpsgn 19444  mulGrpcmgp 20074  ℂ_fldccnfld 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218  ax-mulf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-word 14498  df-lsw 14546  df-concat 14554  df-s1 14579  df-substr 14624  df-pfx 14654  df-splice 14733  df-reverse 14742  df-s2 14832  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-efmnd 18821  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-gim 19213  df-oppg 19297  df-symg 19322  df-pmtr 19397  df-psgn 19446  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-cnfld 21280

This theorem is referenced by:  odpmco  32822  psgnfzto1st  32839  cyc3evpm  32884  mdetpmtr1  33424  madjusmdetlem4  33431