Theorem psgnco 21626

Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgnco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Proof of Theorem psgnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4	1, 2, 3	symgov 19427	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	fveq2d 6926	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
7		psgninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
9	1, 7, 8	psgnghm2 21624	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		prex 5452	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ V
11		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldmul 21397	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
13	11, 12	mgpplusg 20167	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
14	8, 13	ressplusg 17351	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	2, 3, 15	ghmlin 19263	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
17	9, 16	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
18	6, 17	eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {cpr 4650   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Fincfn 9005  1c1 11187   · cmul 11191  -cneg 11523  Basecbs 17260   ↾_s cress 17289  +_gcplusg 17313   GrpHom cghm 19254  SymGrpcsymg 19412  pmSgncpsgn 19533  mulGrpcmgp 20163  ℂ_fldccnfld 21389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-addf 11265  ax-mulf 11266

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-word 14565  df-lsw 14613  df-concat 14621  df-s1 14646  df-substr 14691  df-pfx 14721  df-splice 14800  df-reverse 14809  df-s2 14899  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-submnd 18821  df-efmnd 18906  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-subg 19165  df-ghm 19255  df-gim 19301  df-oppg 19388  df-symg 19413  df-pmtr 19486  df-psgn 19535  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20755  df-cnfld 21390

This theorem is referenced by:  odpmco  33081  psgnfzto1st  33100  cyc3evpm  33145  mdetpmtr1  33771  madjusmdetlem4  33778