MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnco 21472
Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
psgninv.n ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
psgninv.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
psgnco ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐น โˆ˜ ๐บ)) = ((๐‘โ€˜๐น) ยท (๐‘โ€˜๐บ)))

Proof of Theorem psgnco
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
2 psgninv.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜๐‘†)
3 eqid 2726 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐‘†)
41, 2, 3symgov 19301 . . . 4 ((๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐น(+gโ€˜๐‘†)๐บ) = (๐น โˆ˜ ๐บ))
543adant1 1127 . . 3 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐น(+gโ€˜๐‘†)๐บ) = (๐น โˆ˜ ๐บ))
65fveq2d 6888 . 2 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐น(+gโ€˜๐‘†)๐บ)) = (๐‘โ€˜(๐น โˆ˜ ๐บ)))
7 psgninv.n . . . 4 ๐‘ = (pmSgnโ€˜๐ท)
8 eqid 2726 . . . 4 ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1}) = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})
91, 7, 8psgnghm2 21470 . . 3 (๐ท โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘† GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
10 prex 5425 . . . . 5 {1, -1} โˆˆ V
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrpโ€˜โ„‚fld) = (mulGrpโ€˜โ„‚fld)
12 cnfldmul 21244 . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜โ„‚fld)
1311, 12mgpplusg 20041 . . . . . 6 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜โ„‚fld))
148, 13ressplusg 17242 . . . . 5 ({1, -1} โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})))
1510, 14ax-mp 5 . . . 4 ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1}))
162, 3, 15ghmlin 19144 . . 3 ((๐‘ โˆˆ (๐‘† GrpHom ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs {1, -1})) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐น(+gโ€˜๐‘†)๐บ)) = ((๐‘โ€˜๐น) ยท (๐‘โ€˜๐บ)))
179, 16syl3an1 1160 . 2 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐น(+gโ€˜๐‘†)๐บ)) = ((๐‘โ€˜๐น) ยท (๐‘โ€˜๐บ)))
186, 17eqtr3d 2768 1 ((๐ท โˆˆ Fin โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜(๐น โˆ˜ ๐บ)) = ((๐‘โ€˜๐น) ยท (๐‘โ€˜๐บ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  {cpr 4625   โˆ˜ ccom 5673  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  1c1 11110   ยท cmul 11114  -cneg 11446  Basecbs 17151   โ†พs cress 17180  +gcplusg 17204   GrpHom cghm 19136  SymGrpcsymg 19284  pmSgncpsgn 19407  mulGrpcmgp 20037  โ„‚fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-oppg 19260  df-symg 19285  df-pmtr 19360  df-psgn 19409  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  odpmco  32751  psgnfzto1st  32768  cyc3evpm  32813  mdetpmtr1  33333  madjusmdetlem4  33340
  Copyright terms: Public domain W3C validator