Theorem psgnco 21571

Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgnco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Proof of Theorem psgnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4	1, 2, 3	symgov 19348	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	fveq2d 6836	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
7		psgninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
9	1, 7, 8	psgnghm2 21569	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		prex 5373	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ V
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldmul 21350	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
13	11, 12	mgpplusg 20114	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
14	8, 13	ressplusg 17243	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	2, 3, 15	ghmlin 19185	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
17	9, 16	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
18	6, 17	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  1c1 11028   · cmul 11032  -cneg 11367  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  +_gcplusg 17209   GrpHom cghm 19176  SymGrpcsymg 19333  pmSgncpsgn 19453  mulGrpcmgp 20110  ℂ_fldccnfld 21342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-word 14465  df-lsw 14514  df-concat 14522  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14701  df-reverse 14710  df-s2 14799  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-efmnd 18826  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-oppg 19310  df-symg 19334  df-pmtr 19406  df-psgn 19455  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20697  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  odpmco  33167  psgnfzto1st  33186  cyc3evpm  33231  mdetpmtr1  33988  madjusmdetlem4  33995