![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > psgnco | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
psgninv.s | โข ๐ = (SymGrpโ๐ท) |
psgninv.n | โข ๐ = (pmSgnโ๐ท) |
psgninv.p | โข ๐ = (Baseโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
psgnco | โข ((๐ท โ Fin โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐โ(๐น โ ๐บ)) = ((๐โ๐น) ยท (๐โ๐บ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | psgninv.s | . . . . 5 โข ๐ = (SymGrpโ๐ท) | |
2 | psgninv.p | . . . . 5 โข ๐ = (Baseโ๐) | |
3 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
4 | 1, 2, 3 | symgov 19301 | . . . 4 โข ((๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐น(+gโ๐)๐บ) = (๐น โ ๐บ)) |
5 | 4 | 3adant1 1127 | . . 3 โข ((๐ท โ Fin โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐น(+gโ๐)๐บ) = (๐น โ ๐บ)) |
6 | 5 | fveq2d 6888 | . 2 โข ((๐ท โ Fin โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐โ(๐น(+gโ๐)๐บ)) = (๐โ(๐น โ ๐บ))) |
7 | psgninv.n | . . . 4 โข ๐ = (pmSgnโ๐ท) | |
8 | eqid 2726 | . . . 4 โข ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}) = ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}) | |
9 | 1, 7, 8 | psgnghm2 21470 | . . 3 โข (๐ท โ Fin โ ๐ โ (๐ GrpHom ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
10 | prex 5425 | . . . . 5 โข {1, -1} โ V | |
11 | eqid 2726 | . . . . . . 7 โข (mulGrpโโfld) = (mulGrpโโfld) | |
12 | cnfldmul 21244 | . . . . . . 7 โข ยท = (.rโโfld) | |
13 | 11, 12 | mgpplusg 20041 | . . . . . 6 โข ยท = (+gโ(mulGrpโโfld)) |
14 | 8, 13 | ressplusg 17242 | . . . . 5 โข ({1, -1} โ V โ ยท = (+gโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
15 | 10, 14 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ยท = (+gโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) |
16 | 2, 3, 15 | ghmlin 19144 | . . 3 โข ((๐ โ (๐ GrpHom ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐โ(๐น(+gโ๐)๐บ)) = ((๐โ๐น) ยท (๐โ๐บ))) |
17 | 9, 16 | syl3an1 1160 | . 2 โข ((๐ท โ Fin โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐โ(๐น(+gโ๐)๐บ)) = ((๐โ๐น) ยท (๐โ๐บ))) |
18 | 6, 17 | eqtr3d 2768 | 1 โข ((๐ท โ Fin โง ๐น โ ๐ โง ๐บ โ ๐) โ (๐โ(๐น โ ๐บ)) = ((๐โ๐น) ยท (๐โ๐บ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 {cpr 4625 โ ccom 5673 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Fincfn 8938 1c1 11110 ยท cmul 11114 -cneg 11446 Basecbs 17151 โพs cress 17180 +gcplusg 17204 GrpHom cghm 19136 SymGrpcsymg 19284 pmSgncpsgn 19407 mulGrpcmgp 20037 โfldccnfld 21236 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-addf 11188 ax-mulf 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-tpos 8209 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-xnn0 12546 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-rp 12978 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-word 14469 df-lsw 14517 df-concat 14525 df-s1 14550 df-substr 14595 df-pfx 14625 df-splice 14704 df-reverse 14713 df-s2 14803 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-mhm 18711 df-submnd 18712 df-efmnd 18792 df-grp 18864 df-minusg 18865 df-subg 19048 df-ghm 19137 df-gim 19182 df-oppg 19260 df-symg 19285 df-pmtr 19360 df-psgn 19409 df-cmn 19700 df-abl 19701 df-mgp 20038 df-rng 20056 df-ur 20085 df-ring 20138 df-cring 20139 df-oppr 20234 df-dvdsr 20257 df-unit 20258 df-invr 20288 df-dvr 20301 df-drng 20587 df-cnfld 21237 |
This theorem is referenced by: odpmco 32751 psgnfzto1st 32768 cyc3evpm 32813 mdetpmtr1 33333 madjusmdetlem4 33340 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |