Theorem psgnco 21521

Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgnco	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Proof of Theorem psgnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4	1, 2, 3	symgov 19297	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝐹(+g‘𝑆)𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
7		psgninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
9	1, 7, 8	psgnghm2 21519	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		prex 5375	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ V
11		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12		cnfldmul 21300	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
13	11, 12	mgpplusg 20063	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
14	8, 13	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
15	10, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	2, 3, 15	ghmlin 19134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
17	9, 16	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g‘𝑆)𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))
18	6, 17	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ 𝐺 ∈ 𝑃) → (𝑁‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑁‘𝐹) · (𝑁‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {cpr 4578   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  1c1 11007   · cmul 11011  -cneg 11345  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161   GrpHom cghm 19125  SymGrpcsymg 19282  pmSgncpsgn 19402  mulGrpcmgp 20059  ℂ_fldccnfld 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-reverse 14666  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-gim 19172  df-oppg 19259  df-symg 19283  df-pmtr 19355  df-psgn 19404  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-dvr 20320  df-drng 20647  df-cnfld 21293

This theorem is referenced by:  odpmco  33053  psgnfzto1st  33072  cyc3evpm  33117  mdetpmtr1  33834  madjusmdetlem4  33841