Theorem clmvsrinv 23125

Description: A vector minus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsrinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsrinv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0 )

Proof of Theorem clmvsrinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	clmvneg1 23117	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) = ((invg‘𝑊)‘𝐴))
6	5	oveq2d 6808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)))
7		clmgrp 23086	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
8		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		clmvsrinv.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	1, 8, 9, 2	grprinv 17676	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)) = 0 )
11	7, 10	sylan 561	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)) = 0 )
12	6, 11	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  -cneg 10468  Basecbs 16063  +_gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·_𝑠 cvsca 16152  0_gc0g 16307  Grpcgrp 17629  inv_gcminusg 17630  ℂModcclm 23080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-addf 10216  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-cmn 18401  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-cnfld 19961  df-clm 23081

This theorem is referenced by: (None)