Theorem clmvsrinv 25237

Description: A vector minus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by AV, 28-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
clmvsrinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmvsrinv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0 )

Proof of Theorem clmvsrinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		clmpm1dir.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	clmvneg1 25229	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐴) = ((invg‘𝑊)‘𝐴))
6	5	oveq2d 7429	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)))
7		clmgrp 25198	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Grp)
8		clmpm1dir.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		clmvsrinv.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
10	1, 8, 9, 2	grprinv 19059	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)) = 0 )
11	7, 10	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘𝐴)) = 0 )
12	6, 11	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  1c1 11103  -cneg 11444  Basecbs 17271  +_gcplusg 17312  Scalarcsca 17315   ·_𝑠 cvsca 17316  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002  inv_gcminusg 19003  ℂModcclm 25192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-seq 14040  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-0g 17496  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-cmn 19854  df-mgp 20219  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-cnfld 21494  df-clm 25193

This theorem is referenced by: (None)