Theorem hashimaf1 32800

Description: Taking the image of a set by a one-to-one function does not affect size. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashimaf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
hashimaf1.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
hashimaf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hashimaf1	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 “ 𝐶)) = (♯‘𝐶))

Proof of Theorem hashimaf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashimaf1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		hashimaf1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sselpwd 5268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝒫 𝐴)
4		hashimaf1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
5		f1ores 6783	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶))
6	4, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶))
7		f1oeng 8899	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(𝐹 “ 𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
8	3, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≈ (𝐹 “ 𝐶))
9	8	ensymd 8933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)
10		hasheni 14261	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶 → (♯‘(𝐹 “ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 “ 𝐶)) = (♯‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4549   class class class wbr 5093   ↾ cres 5621   “ cima 5622  –1-1→wf1 6484  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487   ≈ cen 8872  ♯chash 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-hash 14244

This theorem is referenced by:  esplysply  33599