Theorem itcoval0mpt 48794

Description: A mapping iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcoval0mpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0mpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑉(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem itcoval0mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval0mpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fveq2i 6833	. . . 4 ⊢ (IterComp‘𝐹) = (IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	2	fveq1i 6831	. . 3 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0)
4		mptexg 7163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5		itcoval0 48790	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		dmmptg 6196	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5934	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐴))
10		mptresid 6006	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛)
11	9, 10	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))
12	7, 11	sylan9eq 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5176   I cid 5515  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  ‘cfv 6488  0cc0 11015  IterCompcitco 48785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-seq 13913  df-itco 48787

This theorem is referenced by:  itcovalpclem1  48798  itcovalt2lem1  48803