Theorem itcoval0mpt 49142

Description: A mapping iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcoval0mpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0mpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑉(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem itcoval0mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval0mpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (IterComp‘𝐹) = (IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	2	fveq1i 6841	. . 3 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0)
4		mptexg 7176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5		itcoval0 49138	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		dmmptg 6206	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5944	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐴))
10		mptresid 6016	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛)
11	9, 10	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))
12	7, 11	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166   I cid 5525  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  0cc0 11038  IterCompcitco 49133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-itco 49135

This theorem is referenced by:  itcovalpclem1  49146  itcovalt2lem1  49151