Theorem itcoval0mpt 46742

Description: A mapping iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcoval0mpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0mpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑉(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem itcoval0mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval0mpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (IterComp‘𝐹) = (IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	2	fveq1i 6843	. . 3 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0)
4		mptexg 7171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5		itcoval0 46738	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		dmmptg 6194	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5937	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐴))
10		mptresid 6004	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛)
11	9, 10	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))
12	7, 11	sylan9eq 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  dom cdm 5633   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  0cc0 11051  IterCompcitco 46733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-itco 46735

This theorem is referenced by:  itcovalpclem1  46746  itcovalt2lem1  46751