Theorem itcoval0mpt 49596

Description: A mapping iterated zero times (defined as identity function). (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcoval0mpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itcoval0mpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑉(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem itcoval0mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval0mpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fveq2i 6881	. . . 4 ⊢ (IterComp‘𝐹) = (IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	2	fveq1i 6879	. . 3 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0)
4		mptexg 7220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5		itcoval0 49592	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		dmmptg 6238	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5972	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐴))
10		mptresid 6047	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛)
11	9, 10	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ( I ↾ dom (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))
12	7, 11	sylan9eq 2815	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ 𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   I cid 5549  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  0cc0 11124  IterCompcitco 49587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-itco 49589

This theorem is used by:  itcovalpclem1  49600  itcovalt2lem1  49605