Theorem itgresr 25836

Description: The domain of an integral only matters in its intersection with ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgresr	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥

Proof of Theorem itgresr

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	biantrud 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
3		elin 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
4	2, 3	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
5	4	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))))
6	5	ifbid 4571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
7	6	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
8	7	fveq2d 6926	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
9	8	oveq2d 7466	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))))
10	9	sumeq2i 15748	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
12	11	dfitg 25826	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
13	11	dfitg 25826	. 2 ⊢ ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
14	10, 12, 13	3eqtr4i 2778	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  ℝcr 11185  0cc0 11186  ici 11188   · cmul 11191   ≤ cle 11327   / cdiv 11949  3c3 12351  ...cfz 13569  ↑cexp 14114  ℜcre 15148  Σcsu 15736  ∫₂citg2 25672  ∫citg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-seq 14055  df-sum 15737  df-itg 25679

This theorem is referenced by: (None)