MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgresr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgresr 24531
Description: The domain of an integral only matters in its intersection with . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgresr 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥

Proof of Theorem itgresr
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21biantrud 535 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ)))
3 elin 3859 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
42, 3bitr4di 292 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ)))
54anbi1d 633 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))))
65ifbid 4437 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (0...3) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
76mpteq2dva 5125 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
87fveq2d 6678 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
98oveq2d 7186 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))))
109sumeq2i 15149 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
11 eqid 2738 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
1211dfitg 24522 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
1311dfitg 24522 . 2 ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
1410, 12, 133eqtr4i 2771 1 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫(𝐴 ∩ ℝ)𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3842  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  ici 10617   · cmul 10620  cle 10754   / cdiv 11375  3c3 11772  ...cfz 12981  cexp 13521  cre 14546  Σcsu 15135  2citg2 24368  citg 24370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-sum 15136  df-itg 24375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator