MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgresr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itgresr 25726
Description: The domain of an integral only matters in its intersection with โ„. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgresr โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ(๐ด โˆฉ โ„)๐ต d๐‘ฅ
Proof of Theorem itgresr
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (0...3) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
21biantrud 530 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (0...3) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„)))
3 elin 3963 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
42, 3bitr4di 288 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (0...3) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„)))
54anbi1d 629 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ (0...3) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))))
65ifbid 4553 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ (0...3) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
76mpteq2dva 5250 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
87fveq2d 6904 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
98oveq2d 7440 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
109sumeq2i 15683 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
11 eqid 2727 . . 3 (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
1211dfitg 25717 . 2 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
1311dfitg 25717 . 2 โˆซ(๐ด โˆฉ โ„)๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ โ„) โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
1410, 12, 133eqtr4i 2765 1 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ(๐ด โˆฉ โ„)๐ต d๐‘ฅ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3946  ifcif 4530   class class class wbr 5150   โ†ฆ cmpt 5233  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  0cc0 11144  ici 11146   ยท cmul 11149   โ‰ค cle 11285   / cdiv 11907  3c3 12304  ...cfz 13522  โ†‘cexp 14064  โ„œcre 15082  ฮฃcsu 15670  โˆซ2citg2 25563  โˆซcitg 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-seq 14005  df-sum 15671  df-itg 25570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator