Theorem itg0 25735

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25724	. 2 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ifan 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4		noel 4268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	iffalsei 4466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0
6	3, 5	eqtri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = 0
7	6	mpteq2i 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
8		fconstmpt 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
9	7, 8	eqtr4i 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0})
10	9	fveq2i 6832	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0}))
11		itg20 25692	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
12	10, 11	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = 0
13	12	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0)
14		ax-icn 11086	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
15		elfznn0 13563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 14030	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11334	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
19	13, 18	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
20	19	sumeq2i 15649	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
21		fzfi 13923	. . . . 5 ⊢ (0...3) ∈ Fin
22	21	olci 867	. . . 4 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
23		sumz 15673	. . . 4 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
25	20, 24	eqtri 2758	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0
26	2, 25	eqtri 2758	1 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  ifcif 4456  {csn 4557   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   × cxp 5618  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  ici 11029   · cmul 11032   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  3c3 12226  ℕ₀cn0 12426  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ↑cexp 14012  ℜcre 15048  Σcsu 15637  ∫₂citg2 25571  ∫citg 25573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-disj 5042  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xadd 13053  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-xmet 21334  df-met 21335  df-ovol 25419  df-vol 25420  df-mbf 25574  df-itg1 25575  df-itg2 25576  df-itg 25578  df-0p 25625

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  25793  ditg0  25808  ditgneg  25812  ftc2  25999  ftc2nc  38011  areacirc  38022  itgvol0  46384