Theorem itg0 25289

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25279	. 2 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ifan 4581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4		noel 4330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	iffalsei 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0
6	3, 5	eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = 0
7	6	mpteq2i 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
8		fconstmpt 5737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
9	7, 8	eqtr4i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0})
10	9	fveq2i 6892	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0}))
11		itg20 25247	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
12	10, 11	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = 0
13	12	oveq2i 7417	. . . . 5 ⊢ ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0)
14		ax-icn 11166	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
15		elfznn0 13591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 14042	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11410	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
19	13, 18	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
20	19	sumeq2i 15642	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
21		fzfi 13934	. . . . 5 ⊢ (0...3) ∈ Fin
22	21	olci 865	. . . 4 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
23		sumz 15665	. . . 4 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
25	20, 24	eqtri 2761	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0
26	2, 25	eqtri 2761	1 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  ici 11109   · cmul 11112   ≤ cle 11246   / cdiv 11868  3c3 12265  ℕ₀cn0 12469  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481  ↑cexp 14024  ℜcre 15041  Σcsu 15629  ∫₂citg2 25125  ∫citg 25127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-xmet 20930  df-met 20931  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-itg 25132  df-0p 25179

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  25347  ditg0  25362  ditgneg  25366  ftc2  25553  ftc2nc  36559  areacirc  36570  itgvol0  44671