Theorem itg0 25849

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25838	. 2 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ifan 4535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4		noel 4291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	iffalsei 4491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0
6	3, 5	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = 0
7	6	mpteq2i 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
8		fconstmpt 5710	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
9	7, 8	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0})
10	9	fveq2i 6870	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0}))
11		itg20 25806	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
12	10, 11	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = 0
13	12	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0)
14		ax-icn 11143	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
15		elfznn0 13635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 14102	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11393	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
19	13, 18	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
20	19	sumeq2i 15735	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
21		fzfi 13995	. . . . 5 ⊢ (0...3) ∈ Fin
22	21	olci 877	. . . 4 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
23		sumz 15759	. . . 4 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
25	20, 24	eqtri 2786	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0
26	2, 25	eqtri 2786	1 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  ici 11086   · cmul 11089   ≤ cle 11228   / cdiv 11855  3c3 12283  ℕ₀cn0 12491  ℤ_≥cuz 12849  ...cfz 13522  ↑cexp 14084  ℜcre 15134  Σcsu 15723  ∫₂citg2 25685  ∫citg 25687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5069  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xadd 13125  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21424  df-met 21425  df-ovol 25533  df-vol 25534  df-mbf 25688  df-itg1 25689  df-itg2 25690  df-itg 25692  df-0p 25739

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  25907  ditg0  25922  ditgneg  25926  ftc2  26113  ftc2nc  38206  areacirc  38217  itgvol0  46533