Theorem itg0 25725

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25714	. 2 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ifan 4521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0)
4		noel 4279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	iffalsei 4477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑥 ∈ ∅, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0
6	3, 5	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0) = 0
7	6	mpteq2i 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
8		fconstmpt 5684	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
9	7, 8	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0})
10	9	fveq2i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0}))
11		itg20 25682	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
12	10, 11	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0))) = 0
13	12	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0)
14		ax-icn 11086	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
15		elfznn0 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16		expcl 14003	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11333	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
19	13, 18	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
20	19	sumeq2i 15622	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
21		fzfi 13896	. . . . 5 ⊢ (0...3) ∈ Fin
22	21	olci 867	. . . 4 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
23		sumz 15646	. . . 4 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
25	20, 24	eqtri 2760	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ∅ ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐴 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0
26	2, 25	eqtri 2760	1 ⊢ ∫∅𝐴 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  ici 11029   · cmul 11032   ≤ cle 11168   / cdiv 11795  3c3 12202  ℕ₀cn0 12402  ℤ_≥cuz 12752  ...cfz 13424  ↑cexp 13985  ℜcre 15021  Σcsu 15610  ∫₂citg2 25561  ∫citg 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xadd 13028  df-ioo 13266  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611  df-xmet 21304  df-met 21305  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-itg 25568  df-0p 25615

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  25783  ditg0  25798  ditgneg  25802  ftc2  25992  ftc2nc  38014  areacirc  38025  itgvol0  46400