Theorem iundisjcnt 32897

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisjcnt.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisjcnt.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
iundisjcnt.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iundisjcnt	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjcnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		iundisjcnt.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
3		iundisjcnt.1	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
4	1, 2, 3	iundisjf 32685	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
6	5	iuneq1d 4956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴)
7	5	iuneq1d 4956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
8	4, 6, 7	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
9	2, 3	iundisjfi 32895	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
10		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
11	10	iuneq1d 4956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
12	10	iuneq1d 4956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
13	9, 11, 12	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
14		iundisjcnt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
15	8, 13, 14	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547  Ⅎwnfc 2887   ∖ cdif 3887  ∪ ciun 4928  (class class class)co 7363  1c1 11037  ℕcn 12172  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  measiuns  34408