Theorem iundisjcnt 32733

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundisjcnt.0	⊢ Ⅎ𝑛𝐵
iundisjcnt.1	⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
iundisjcnt.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iundisjcnt	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjcnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		iundisjcnt.0	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛𝐵
3		iundisjcnt.1	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = 𝐵)
4	1, 2, 3	iundisjf 32521	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
6	5	iuneq1d 4966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴)
7	5	iuneq1d 4966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
8	4, 6, 7	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
9	2, 3	iundisjfi 32731	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
11	10	iuneq1d 4966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
12	10	iuneq1d 4966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
13	9, 11, 12	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
14		iundisjcnt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
15	8, 13, 14	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  Ⅎwnfc 2876   ∖ cdif 3896  ∪ ciun 4938  (class class class)co 7340  1c1 10998  ℕcn 12116  ..^cfzo 13545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546

This theorem is referenced by:  measiuns  34198