Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjcnt 32702
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjcnt.0 𝑛𝐵
iundisjcnt.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
iundisjcnt.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iundisjcnt (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjcnt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . . 4 𝑘𝐴
2 iundisjcnt.0 . . . 4 𝑛𝐵
3 iundisjcnt.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3iundisjf 32508 . . 3 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
5 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
65iuneq1d 5022 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ 𝐴)
75iuneq1d 5022 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
84, 6, 73eqtr4a 2792 . 2 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
92, 3iundisjfi 32700 . . 3 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
10 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
1110iuneq1d 5022 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
1210iuneq1d 5022 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
139, 11, 123eqtr4a 2792 . 2 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
14 iundisjcnt.2 . 2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
158, 13, 14mpjaodan 956 1 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wnfc 2876  cdif 3945   ciun 4995  (class class class)co 7415  1c1 11149  cn 12257  ..^cfzo 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-sup 9477  df-inf 9478  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532  df-fzo 13675
This theorem is referenced by:  measiuns  34062
  Copyright terms: Public domain W3C validator