Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjcnt 31115
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjcnt.0 𝑛𝐵
iundisjcnt.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
iundisjcnt.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iundisjcnt (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjcnt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2909 . . . 4 𝑘𝐴
2 iundisjcnt.0 . . . 4 𝑛𝐵
3 iundisjcnt.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3iundisjf 30924 . . 3 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
5 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
65iuneq1d 4957 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ 𝐴)
75iuneq1d 4957 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
84, 6, 73eqtr4a 2806 . 2 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
92, 3iundisjfi 31113 . . 3 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
10 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
1110iuneq1d 4957 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
1210iuneq1d 4957 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
139, 11, 123eqtr4a 2806 . 2 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
14 iundisjcnt.2 . 2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
158, 13, 14mpjaodan 956 1 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1542  wnfc 2889  cdif 3889   ciun 4930  (class class class)co 7271  1c1 10873  cn 11973  ..^cfzo 13381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382
This theorem is referenced by:  measiuns  32181
  Copyright terms: Public domain W3C validator