Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjcnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundisjcnt 30093
 Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjcnt.0 𝑛𝐵
iundisjcnt.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
iundisjcnt.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iundisjcnt (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem iundisjcnt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2969 . . . 4 𝑘𝐴
2 iundisjcnt.0 . . . 4 𝑛𝐵
3 iundisjcnt.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
41, 2, 3iundisjf 29938 . . 3 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
5 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
65iuneq1d 4765 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ ℕ 𝐴)
75iuneq1d 4765 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
84, 6, 73eqtr4a 2887 . 2 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
92, 3iundisjfi 30091 . . 3 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)
10 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
1110iuneq1d 4765 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
1210iuneq1d 4765 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) = 𝑛 ∈ (1..^𝑀)(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
139, 11, 123eqtr4a 2887 . 2 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
14 iundisjcnt.2 . 2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
158, 13, 14mpjaodan 986 1 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656  Ⅎwnfc 2956   ∖ cdif 3795  ∪ ciun 4740  (class class class)co 6905  1c1 10253  ℕcn 11350  ..^cfzo 12760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761 This theorem is referenced by:  measiuns  30814
 Copyright terms: Public domain W3C validator