MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0zi 11654
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zi.1 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0zi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nn0zi
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 11650 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
31, 2sselii 3760 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  0cn0 11542  cz 11628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629
This theorem is referenced by:  le9lt10  11773  expnass  13182  faclbnd4lem1  13289  efsep  15136  3dvdsdec  15352  3dvds2dec  15353  divalglem0  15412  divalglem2  15414  ndvdsi  15431  gcdaddmlem  15540  6lcm4e12  15624  phicl2  15766  dec2dvds  16060  dec5dvds2  16062  modxai  16065  mod2xnegi  16068  gcdi  16070  gcdmodi  16071  1259lem1  16125  1259lem2  16126  1259lem3  16127  1259lem4  16128  1259lem5  16129  2503lem1  16131  2503lem2  16132  2503lem3  16133  4001lem1  16135  4001lem2  16136  4001lem3  16137  4001lem4  16138  strlemor1OLD  16255  ppi1i  25199  ppi2i  25200  ppiublem1  25232  konigsberglem5  27555  dp2lt10  30060  dp2ltc  30063  ballotlemfelz  31021  hgt750lemd  31198  hgt750lem  31201  hgt750leme  31208  poimirlem26  33880  poimirlem28  33882  fmtno4prmfac  42184  31prm  42212  linevalexample  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator