MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0zi 12458
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zi.1 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0zi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nn0zi
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 12454 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
31, 2sselii 3939 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  0cn0 12346  cz 12432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433
This theorem is referenced by:  le9lt10  12577  expnass  14037  faclbnd4lem1  14120  efsep  15926  3dvdsdec  16148  3dvds2dec  16149  divalglem0  16209  divalglem2  16211  ndvdsi  16228  gcdaddmlem  16338  6lcm4e12  16426  phicl2  16574  dec2dvds  16869  dec5dvds2  16871  modxai  16874  mod2xnegi  16877  gcdi  16879  gcdmodi  16880  1259lem1  16937  1259lem2  16938  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  2503lem1  16943  2503lem2  16944  2503lem3  16945  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem3  16949  4001lem4  16950  ppi1i  26439  ppi2i  26440  ppiublem1  26472  konigsberglem5  28998  dp2lt10  31534  dp2ltc  31537  ballotlemfelz  32863  hgt750lemd  33034  hgt750lem  33037  hgt750leme  33044  poimirlem26  35999  poimirlem28  36001  fmtno4prmfac  45513  31prm  45538  nfermltl2rev  45684  linevalexample  46225  ackval42  46531
  Copyright terms: Public domain W3C validator