MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0zi 12459
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zi.1 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0zi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nn0zi
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 12455 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
31, 2sselii 3940 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  0cn0 12347  cz 12433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434
This theorem is referenced by:  le9lt10  12578  expnass  14038  faclbnd4lem1  14121  efsep  15927  3dvdsdec  16149  3dvds2dec  16150  divalglem0  16210  divalglem2  16212  ndvdsi  16229  gcdaddmlem  16339  6lcm4e12  16427  phicl2  16575  dec2dvds  16870  dec5dvds2  16872  modxai  16875  mod2xnegi  16878  gcdi  16880  gcdmodi  16881  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  2503lem1  16944  2503lem2  16945  2503lem3  16946  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem3  16950  4001lem4  16951  ppi1i  26439  ppi2i  26440  ppiublem1  26472  konigsberglem5  28986  dp2lt10  31522  dp2ltc  31525  ballotlemfelz  32851  hgt750lemd  33022  hgt750lem  33025  hgt750leme  33032  poimirlem26  35990  poimirlem28  35992  fmtno4prmfac  45464  31prm  45489  nfermltl2rev  45635  linevalexample  46176  ackval42  46482
  Copyright terms: Public domain W3C validator