Theorem 9p1e10 12637

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12636	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12270	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12188	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12175	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11140	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11324	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2767	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℕcn 12165  9c9 12234  ;cdc 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636

This theorem is referenced by:  dfdec10  12638  10nn  12651  le9lt10  12662  decsucc  12676  5p5e10  12706  6p4e10  12707  7p3e10  12710  8p2e10  12715  9p2e11  12722  10m1e9  12731  9lt10  12766  sq10e99m1  14218  3dvds  16291  3dvdsdec  16292  3dvds2dec  16293  1259lem2  17093  1259lem3  17094  1259lem4  17095  2503lem2  17099  4001lem1  17102  4001lem2  17103  4001lem4  17105  bposlem4  27268  bposlem5  27269  dp2lt10  32962  1mhdrd  32994  hgt750lem2  34836  60gcd7e1  42490  lcmineqlem23  42536  sqdeccom12  42766  sum9cubes  43122  rmydioph  43459  127prm  48077  2exp340mod341  48224  bgoldbtbndlem1  48296