Theorem 9p1e10 12716

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12715	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12342	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12247	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12259	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12246	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11216	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11400	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2798	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  (class class class)co 7414  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106   · cmul 11108  ℕcn 12236  9c9 12305  ;cdc 12714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12715

This theorem is referenced by:  dfdec10  12717  10nn  12734  le9lt10  12746  decsucc  12760  5p5e10  12790  6p4e10  12791  7p3e10  12794  8p2e10  12799  9p2e11  12806  10m1e9  12815  9lt10  12851  sq10e99m1  14304  3dvds  16392  3dvdsdec  16393  3dvds2dec  16394  1259lem2  17195  1259lem3  17196  1259lem4  17197  2503lem2  17201  4001lem1  17204  4001lem2  17205  4001lem4  17207  bposlem4  27431  bposlem5  27432  dp2lt10  33173  1mhdrd  33205  hgt750lem2  35009  60gcd7e1  42722  lcmineqlem23  42768  sqdeccom12  43000  sum9cubes  43356  rmydioph  43693  127prm  48300  2exp340mod341  48447  bgoldbtbndlem1  48519