Theorem 9p1e10 12708

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12707	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12334	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12239	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12251	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12238	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11208	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11392	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2791	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℕcn 12228  9c9 12297  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-dec 12707

This theorem is referenced by:  dfdec10  12709  10nn  12726  le9lt10  12738  decsucc  12752  5p5e10  12782  6p4e10  12783  7p3e10  12786  8p2e10  12791  9p2e11  12798  10m1e9  12807  9lt10  12843  sq10e99m1  14297  3dvds  16384  3dvdsdec  16385  3dvds2dec  16386  1259lem2  17187  1259lem3  17188  1259lem4  17189  2503lem2  17193  4001lem1  17196  4001lem2  17197  4001lem4  17199  bposlem4  27451  bposlem5  27452  dp2lt10  33203  1mhdrd  33235  hgt750lem2  35039  60gcd7e1  42792  lcmineqlem23  42838  sqdeccom12  43070  sum9cubes  43424  rmydioph  43761  127prm  48371  2exp340mod341  48518  bgoldbtbndlem1  48590