MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9p1e10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9p1e10 12088
Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
9p1e10 (9 + 1) = 10

Proof of Theorem 9p1e10
StepHypRef Expression
1 df-dec 12087 . 2 10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2 9nn 11723 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
3 1nn 11637 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4 nnaddcl 11648 . . . . . 6 ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 688 . . . . 5 (9 + 1) ∈ ℕ
65nncni 11636 . . . 4 (9 + 1) ∈ ℂ
76mulid1i 10633 . . 3 ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
87oveq1i 7155 . 2 (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
96addid1i 10815 . 2 ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
101, 8, 93eqtrri 2846 1 (9 + 1) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  9c9 11687  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  dfdec10  12089  10nn  12102  le9lt10  12113  decsucc  12127  5p5e10  12157  6p4e10  12158  7p3e10  12161  8p2e10  12166  9p2e11  12173  10m1e9  12182  9lt10  12217  sq10e99m1  13613  3dvds  15668  3dvdsdec  15669  3dvds2dec  15670  1259lem2  16453  1259lem3  16454  1259lem4  16455  2503lem2  16459  4001lem1  16462  4001lem2  16463  4001lem4  16465  bposlem4  25790  bposlem5  25791  dp2lt10  30487  1mhdrd  30519  hgt750lem2  31822  sqdeccom12  39053  rmydioph  39489  127prm  43640  2exp340mod341  43775  bgoldbtbndlem1  43847
  Copyright terms: Public domain W3C validator