MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9p1e10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9p1e10 12616
Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
9p1e10 (9 + 1) = 10

Proof of Theorem 9p1e10
StepHypRef Expression
1 df-dec 12615 . 2 10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2 9nn 12247 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
3 1nn 12160 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4 nnaddcl 12172 . . . . . 6 ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 (9 + 1) ∈ ℕ
65nncni 12159 . . . 4 (9 + 1) ∈ ℂ
76mulid1i 11155 . . 3 ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
87oveq1i 7363 . 2 (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
96addid1i 11338 . 2 ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
101, 8, 93eqtrri 2769 1 (9 + 1) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7353  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  cn 12149  9c9 12211  cdc 12614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-ltxr 11190  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-dec 12615
This theorem is referenced by:  dfdec10  12617  10nn  12630  le9lt10  12641  decsucc  12655  5p5e10  12685  6p4e10  12686  7p3e10  12689  8p2e10  12694  9p2e11  12701  10m1e9  12710  9lt10  12745  sq10e99m1  14157  3dvds  16205  3dvdsdec  16206  3dvds2dec  16207  1259lem2  16996  1259lem3  16997  1259lem4  16998  2503lem2  17002  4001lem1  17005  4001lem2  17006  4001lem4  17008  bposlem4  26619  bposlem5  26620  dp2lt10  31623  1mhdrd  31655  hgt750lem2  33134  60gcd7e1  40429  lcmineqlem23  40475  sqdeccom12  40741  rmydioph  41276  127prm  45723  2exp340mod341  45857  bgoldbtbndlem1  45929
  Copyright terms: Public domain W3C validator