Theorem 9p1e10 12439

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12438	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12071	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 11996	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 11983	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 10979	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7285	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 11162	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2771	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕcn 11973  9c9 12035  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12438

This theorem is referenced by:  dfdec10  12440  10nn  12453  le9lt10  12464  decsucc  12478  5p5e10  12508  6p4e10  12509  7p3e10  12512  8p2e10  12517  9p2e11  12524  10m1e9  12533  9lt10  12568  sq10e99m1  13979  3dvds  16040  3dvdsdec  16041  3dvds2dec  16042  1259lem2  16833  1259lem3  16834  1259lem4  16835  2503lem2  16839  4001lem1  16842  4001lem2  16843  4001lem4  16845  bposlem4  26435  bposlem5  26436  dp2lt10  31158  1mhdrd  31190  hgt750lem2  32632  60gcd7e1  40013  lcmineqlem23  40059  sqdeccom12  40317  rmydioph  40836  127prm  45051  2exp340mod341  45185  bgoldbtbndlem1  45257