Theorem 9p1e10 11906

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 11905	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 11537	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 11444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 11455	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 679	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 11442	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 10436	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6980	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 10619	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2801	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  (class class class)co 6970  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  ℕcn 11431  9c9 11495  ;cdc 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-ltxr 10471  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-dec 11905

This theorem is referenced by:  dfdec10  11907  10nn  11920  le9lt10  11932  decsucc  11946  5p5e10  11977  6p4e10  11978  7p3e10  11981  8p2e10  11986  9p2e11  11993  10m1e9  12002  9lt10  12037  sq10e99m1  13433  3dvds  15530  3dvdsdec  15531  3dvds2dec  15532  1259lem2  16311  1259lem3  16312  1259lem4  16313  2503lem2  16317  4001lem1  16320  4001lem2  16321  4001lem4  16323  bposlem4  25555  bposlem5  25556  dp2lt10  30295  1mhdrd  30327  hgt750lem2  31532  sqdeccom12  38552  rmydioph  38952  127prm  43071  2exp340mod341  43206  bgoldbtbndlem1  43278