Theorem 9p1e10 12651

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12650	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12284	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12197	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12209	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12196	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11178	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7397	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11361	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2757	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  ℕcn 12186  9c9 12248  ;cdc 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650

This theorem is referenced by:  dfdec10  12652  10nn  12665  le9lt10  12676  decsucc  12690  5p5e10  12720  6p4e10  12721  7p3e10  12724  8p2e10  12729  9p2e11  12736  10m1e9  12745  9lt10  12780  sq10e99m1  14230  3dvds  16301  3dvdsdec  16302  3dvds2dec  16303  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  2503lem2  17108  4001lem1  17111  4001lem2  17112  4001lem4  17114  bposlem4  27198  bposlem5  27199  dp2lt10  32804  1mhdrd  32836  hgt750lem2  34643  60gcd7e1  41993  lcmineqlem23  42039  sqdeccom12  42277  sum9cubes  42660  rmydioph  43003  127prm  47600  2exp340mod341  47734  bgoldbtbndlem1  47806