Theorem 9p1e10 12690

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12689	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12316	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12221	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12233	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12220	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11186	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7406	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11370	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2790	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  ℕcn 12210  9c9 12279  ;cdc 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-dec 12689

This theorem is referenced by:  dfdec10  12691  10nn  12708  le9lt10  12720  decsucc  12734  5p5e10  12764  6p4e10  12765  7p3e10  12768  8p2e10  12773  9p2e11  12780  10m1e9  12789  9lt10  12825  sq10e99m1  14278  3dvds  16365  3dvdsdec  16366  3dvds2dec  16367  1259lem2  17168  1259lem3  17169  1259lem4  17170  2503lem2  17174  4001lem1  17177  4001lem2  17178  4001lem4  17180  bposlem4  27351  bposlem5  27352  dp2lt10  33061  1mhdrd  33093  hgt750lem2  34946  60gcd7e1  42622  lcmineqlem23  42668  sqdeccom12  42898  sum9cubes  43254  rmydioph  43591  127prm  48208  2exp340mod341  48355  bgoldbtbndlem1  48427