Theorem 9p1e10 12760

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12759	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12391	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12304	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12316	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12303	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11294	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7458	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11477	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2773	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕcn 12293  9c9 12355  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  dfdec10  12761  10nn  12774  le9lt10  12785  decsucc  12799  5p5e10  12829  6p4e10  12830  7p3e10  12833  8p2e10  12838  9p2e11  12845  10m1e9  12854  9lt10  12889  sq10e99m1  14314  3dvds  16379  3dvdsdec  16380  3dvds2dec  16381  1259lem2  17179  1259lem3  17180  1259lem4  17181  2503lem2  17185  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem4  17191  bposlem4  27349  bposlem5  27350  dp2lt10  32848  1mhdrd  32880  hgt750lem2  34629  60gcd7e1  41962  lcmineqlem23  42008  sqdeccom12  42278  sum9cubes  42627  rmydioph  42971  127prm  47473  2exp340mod341  47607  bgoldbtbndlem1  47679