Theorem 9p1e10 12590

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12589	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12136	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12148	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12135	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11116	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7356	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11300	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2759	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  ℕcn 12125  9c9 12187  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589

This theorem is referenced by:  dfdec10  12591  10nn  12604  le9lt10  12615  decsucc  12629  5p5e10  12659  6p4e10  12660  7p3e10  12663  8p2e10  12668  9p2e11  12675  10m1e9  12684  9lt10  12719  sq10e99m1  14172  3dvds  16242  3dvdsdec  16243  3dvds2dec  16244  1259lem2  17043  1259lem3  17044  1259lem4  17045  2503lem2  17049  4001lem1  17052  4001lem2  17053  4001lem4  17055  bposlem4  27225  bposlem5  27226  dp2lt10  32864  1mhdrd  32896  hgt750lem2  34665  60gcd7e1  42046  lcmineqlem23  42092  sqdeccom12  42330  sum9cubes  42713  rmydioph  43055  127prm  47638  2exp340mod341  47772  bgoldbtbndlem1  47844