Theorem 9p1e10 12684

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12683	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12315	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12228	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12240	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12227	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11223	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11406	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2764	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118  ℕcn 12217  9c9 12279  ;cdc 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-dec 12683

This theorem is referenced by:  dfdec10  12685  10nn  12698  le9lt10  12709  decsucc  12723  5p5e10  12753  6p4e10  12754  7p3e10  12757  8p2e10  12762  9p2e11  12769  10m1e9  12778  9lt10  12813  sq10e99m1  14230  3dvds  16279  3dvdsdec  16280  3dvds2dec  16281  1259lem2  17070  1259lem3  17071  1259lem4  17072  2503lem2  17076  4001lem1  17079  4001lem2  17080  4001lem4  17082  bposlem4  27027  bposlem5  27028  dp2lt10  32318  1mhdrd  32350  hgt750lem2  33963  60gcd7e1  41177  lcmineqlem23  41223  sqdeccom12  41504  sum9cubes  41717  rmydioph  42056  127prm  46566  2exp340mod341  46700  bgoldbtbndlem1  46772