Theorem 9p1e10 12826

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12825	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12451	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12356	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12368	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12355	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11323	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7437	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11507	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2791	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215  ℕcn 12345  9c9 12414  ;cdc 12824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-dec 12825

This theorem is used by:  dfdec10  12827  10nn  12844  le9lt10  12856  decsucc  12870  5p5e10  12900  6p4e10  12901  7p3e10  12904  8p2e10  12909  9p2e11  12916  10m1e9  12925  9lt10  12961  sq10e99m1  14419  3dvds  16513  3dvdsdec  16514  3dvds2dec  16515  1259lem2  17322  1259lem3  17323  1259lem4  17324  2503lem2  17328  4001lem1  17331  4001lem2  17332  4001lem4  17334  bposlem4  27626  bposlem5  27627  dp2lt10  33503  1mhdrd  33535  hgt750lem2  35334  60gcd7e1  43195  lcmineqlem23  43241  sqdeccom12  43486  sum9cubes  43823  rmydioph  44161  127prm  48823  2exp340mod341  48970  bgoldbtbndlem1  49042