Theorem 9p1e10 12741

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12740	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12366	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12271	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12283	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12270	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11240	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11424	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2788	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕcn 12260  9c9 12329  ;cdc 12739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-dec 12740

This theorem is used by:  dfdec10  12742  10nn  12759  le9lt10  12771  decsucc  12785  5p5e10  12815  6p4e10  12816  7p3e10  12819  8p2e10  12824  9p2e11  12831  10m1e9  12840  9lt10  12876  sq10e99m1  14332  3dvds  16424  3dvdsdec  16425  3dvds2dec  16426  1259lem2  17227  1259lem3  17228  1259lem4  17229  2503lem2  17233  4001lem1  17236  4001lem2  17237  4001lem4  17239  bposlem4  27526  bposlem5  27527  dp2lt10  33332  1mhdrd  33364  hgt750lem2  35163  60gcd7e1  42874  lcmineqlem23  42920  sqdeccom12  43167  sum9cubes  43521  rmydioph  43858  127prm  48505  2exp340mod341  48652  bgoldbtbndlem1  48724