Theorem 9p1e10 12816

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12815	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12441	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12346	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12358	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12345	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11313	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7430	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11497	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2789	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  ℕcn 12335  9c9 12404  ;cdc 12814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-dec 12815

This theorem is used by:  dfdec10  12817  10nn  12834  le9lt10  12846  decsucc  12860  5p5e10  12890  6p4e10  12891  7p3e10  12894  8p2e10  12899  9p2e11  12906  10m1e9  12915  9lt10  12951  sq10e99m1  14409  3dvds  16501  3dvdsdec  16502  3dvds2dec  16503  1259lem2  17310  1259lem3  17311  1259lem4  17312  2503lem2  17316  4001lem1  17319  4001lem2  17320  4001lem4  17322  bposlem4  27614  bposlem5  27615  dp2lt10  33450  1mhdrd  33482  hgt750lem2  35281  60gcd7e1  43055  lcmineqlem23  43101  sqdeccom12  43346  sum9cubes  43683  rmydioph  44020  127prm  48683  2exp340mod341  48830  bgoldbtbndlem1  48902