Theorem 9p1e10 12640

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12639	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12273	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12191	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12178	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11143	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7371	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11327	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2765	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  ℕcn 12168  9c9 12237  ;cdc 12638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-dec 12639

This theorem is referenced by:  dfdec10  12641  10nn  12654  le9lt10  12665  decsucc  12679  5p5e10  12709  6p4e10  12710  7p3e10  12713  8p2e10  12718  9p2e11  12725  10m1e9  12734  9lt10  12769  sq10e99m1  14221  3dvds  16294  3dvdsdec  16295  3dvds2dec  16296  1259lem2  17096  1259lem3  17097  1259lem4  17098  2503lem2  17102  4001lem1  17105  4001lem2  17106  4001lem4  17108  bposlem4  27267  bposlem5  27268  dp2lt10  32961  1mhdrd  32993  hgt750lem2  34815  60gcd7e1  42461  lcmineqlem23  42507  sqdeccom12  42738  sum9cubes  43122  rmydioph  43463  127prm  48077  2exp340mod341  48224  bgoldbtbndlem1  48296