Theorem 9p1e10 12713

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12712	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12244	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12256	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12243	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11213	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7421	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11397	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2797	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105  ℕcn 12233  9c9 12302  ;cdc 12711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-dec 12712

This theorem is referenced by:  dfdec10  12714  10nn  12731  le9lt10  12743  decsucc  12757  5p5e10  12787  6p4e10  12788  7p3e10  12791  8p2e10  12796  9p2e11  12803  10m1e9  12812  9lt10  12848  sq10e99m1  14301  3dvds  16389  3dvdsdec  16390  3dvds2dec  16391  1259lem2  17192  1259lem3  17193  1259lem4  17194  2503lem2  17198  4001lem1  17201  4001lem2  17202  4001lem4  17204  bposlem4  27417  bposlem5  27418  dp2lt10  33144  1mhdrd  33176  hgt750lem2  34984  60gcd7e1  42662  lcmineqlem23  42708  sqdeccom12  42940  sum9cubes  43296  rmydioph  43633  127prm  48240  2exp340mod341  48387  bgoldbtbndlem1  48459