Theorem 9p1e10 11697

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 11695	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 11393	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 11232	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 11243	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 664	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 11231	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulid1i 10243	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 6802	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addid1i 10424	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2798	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  ℕcn 11221  9c9 11278  ;cdc 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-dec 11695

This theorem is referenced by:  dfdec10  11698  10nn  11715  le9lt10  11730  decsucc  11751  5p5e10  11796  6p4e10  11798  7p3e10  11803  8p2e10  11810  9p2e11  11819  10m1e9  11830  9lt10  11873  sq10e99m1  13255  3dvds  15260  3dvdsdec  15262  3dvds2dec  15264  1259lem2  16045  1259lem3  16046  1259lem4  16047  2503lem2  16051  4001lem1  16054  4001lem2  16055  4001lem4  16057  bposlem4  25232  bposlem5  25233  dp2lt10  29928  1mhdrd  29961  hgt750lem2  31067  rmydioph  38103  127prm  42039  bgoldbtbndlem1  42217