Theorem 9p1e10 12661

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12660	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12292	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12205	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12217	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12204	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11200	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7403	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11383	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2764	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  ℕcn 12194  9c9 12256  ;cdc 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-dec 12660

This theorem is referenced by:  dfdec10  12662  10nn  12675  le9lt10  12686  decsucc  12700  5p5e10  12730  6p4e10  12731  7p3e10  12734  8p2e10  12739  9p2e11  12746  10m1e9  12755  9lt10  12790  sq10e99m1  14207  3dvds  16256  3dvdsdec  16257  3dvds2dec  16258  1259lem2  17047  1259lem3  17048  1259lem4  17049  2503lem2  17053  4001lem1  17056  4001lem2  17057  4001lem4  17059  bposlem4  26717  bposlem5  26718  dp2lt10  31921  1mhdrd  31953  hgt750lem2  33495  60gcd7e1  40675  lcmineqlem23  40721  sqdeccom12  40989  rmydioph  41524  127prm  46039  2exp340mod341  46173  bgoldbtbndlem1  46245