Theorem 9p1e10 12607

Description: 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9p1e10	⊢ (9 + 1) = ;10

Proof of Theorem 9p1e10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12606	. 2 ⊢ ;10 = (((9 + 1) · 1) + 0)
2		9nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		1nn 12154	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		nnaddcl 12166	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → (9 + 1) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
6	5	nncni 12153	. . . 4 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
7	6	mulridi 11134	. . 3 ⊢ ((9 + 1) · 1) = (9 + 1)
8	7	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (((9 + 1) · 1) + 0) = ((9 + 1) + 0)
9	6	addridi 11318	. 2 ⊢ ((9 + 1) + 0) = (9 + 1)
10	1, 8, 9	3eqtrri 2762	1 ⊢ (9 + 1) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  ℕcn 12143  9c9 12205  ;cdc 12605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-dec 12606

This theorem is referenced by:  dfdec10  12608  10nn  12621  le9lt10  12632  decsucc  12646  5p5e10  12676  6p4e10  12677  7p3e10  12680  8p2e10  12685  9p2e11  12692  10m1e9  12701  9lt10  12736  sq10e99m1  14186  3dvds  16256  3dvdsdec  16257  3dvds2dec  16258  1259lem2  17057  1259lem3  17058  1259lem4  17059  2503lem2  17063  4001lem1  17066  4001lem2  17067  4001lem4  17069  bposlem4  27252  bposlem5  27253  dp2lt10  32914  1mhdrd  32946  hgt750lem2  34758  60gcd7e1  42198  lcmineqlem23  42244  sqdeccom12  42486  sum9cubes  42857  rmydioph  43198  127prm  47787  2exp340mod341  47921  bgoldbtbndlem1  47993