Theorem declt 12786

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
declt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
declt	⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12774	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5		declt.l	. . 3 ⊢ 𝐵 < 𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 12783	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) < ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
7		dfdec10 12761	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dfdec10 12761	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9	6, 7, 8	3brtr4i 5196	1 ⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  23prm  17166  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  163prm  17172  317prm  17173  1259prm  17183  2503lem3  17186  plendxnocndx  17443  slotsdifdsndx  17453  slotsdifunifndx  17460  odrngstr  17462  slotsbhcdif  17474  slotsbhcdifOLD  17475  slotsdifplendx2  17476  slotsdifocndx  17477  imasvalstr  17511  prdsvalstr  17512  oppchomfvalOLD  17773  oppcbasOLD  17778  resccoOLD  17895  catstr  18026  ipostr  18599  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  cnfldfunALTOLDOLD  21416  thlleOLD  21740  log2ub  27010  bpos1  27345  slotsinbpsd  28467  slotslnbpsd  28468  lngndxnitvndx  28469  trkgstr  28470  ttgvalOLD  28902  ttglemOLD  28904  ttgdsOLD  28913  eengstr  29013  hgt750lem  34628  3lexlogpow5ineq1  42011  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow2ineq2  42016  257prm  47435  fmtno4nprmfac193  47448  31prm  47471  127prm  47473  evengpoap3  47673  nnsum4primesevenALTV  47675  tgblthelfgott  47689  prstclevalOLD  48736  prstcocvalOLD  48739