Theorem declt 12702

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
declt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
declt	⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12690	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5		declt.l	. . 3 ⊢ 𝐵 < 𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 12699	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) < ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
7		dfdec10 12677	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dfdec10 12677	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9	6, 7, 8	3brtr4i 5168	1 ⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11245  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ;cdc 12674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-dec 12675

This theorem is referenced by:  23prm  17051  37prm  17053  43prm  17054  83prm  17055  163prm  17057  317prm  17058  1259prm  17068  2503lem3  17071  plendxnocndx  17328  slotsdifdsndx  17338  slotsdifunifndx  17345  odrngstr  17347  slotsbhcdif  17359  slotsbhcdifOLD  17360  slotsdifplendx2  17361  slotsdifocndx  17362  imasvalstr  17396  prdsvalstr  17397  oppchomfvalOLD  17658  oppcbasOLD  17663  resccoOLD  17780  catstr  17911  ipostr  18484  cnfldstr  21230  cnfldfunALTOLD  21242  thlleOLD  21560  log2ub  26797  bpos1  27132  slotsinbpsd  28161  slotslnbpsd  28162  lngndxnitvndx  28163  trkgstr  28164  ttgvalOLD  28596  ttglemOLD  28598  ttgdsOLD  28607  eengstr  28707  hgt750lem  34152  gg-cnfldstr  35661  3lexlogpow5ineq1  41412  3lexlogpow5ineq2  41413  3lexlogpow2ineq2  41417  257prm  46714  fmtno4nprmfac193  46727  31prm  46750  127prm  46752  evengpoap3  46952  nnsum4primesevenALTV  46954  tgblthelfgott  46968  prstclevalOLD  47877  prstcocvalOLD  47880