Theorem declt 12655

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
declt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
declt	⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12643	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5		declt.l	. . 3 ⊢ 𝐵 < 𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 12652	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) < ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
7		dfdec10 12630	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dfdec10 12630	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9	6, 7, 8	3brtr4i 5140	1 ⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   < clt 11198  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422  ;cdc 12627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-dec 12628

This theorem is referenced by:  23prm  17002  37prm  17004  43prm  17005  83prm  17006  163prm  17008  317prm  17009  1259prm  17019  2503lem3  17022  plendxnocndx  17279  slotsdifdsndx  17289  slotsdifunifndx  17296  odrngstr  17298  slotsbhcdif  17310  slotsbhcdifOLD  17311  slotsdifplendx2  17312  slotsdifocndx  17313  imasvalstr  17347  prdsvalstr  17348  oppchomfvalOLD  17609  oppcbasOLD  17614  resccoOLD  17731  catstr  17859  ipostr  18432  cnfldstr  20835  cnfldfunALTOLD  20847  thlleOLD  21140  log2ub  26336  bpos1  26668  slotsinbpsd  27446  slotslnbpsd  27447  lngndxnitvndx  27448  trkgstr  27449  ttgvalOLD  27881  ttglemOLD  27883  ttgdsOLD  27892  eengstr  27992  hgt750lem  33353  3lexlogpow5ineq1  40584  3lexlogpow5ineq2  40585  3lexlogpow2ineq2  40589  257prm  45873  fmtno4nprmfac193  45886  31prm  45909  127prm  45911  evengpoap3  46111  nnsum4primesevenALTV  46113  tgblthelfgott  46127  prstclevalOLD  47209  prstcocvalOLD  47212