Theorem declt 12447

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ
declt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
declt	⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Proof of Theorem declt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12435	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declt.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
5		declt.l	. . 3 ⊢ 𝐵 < 𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	numlt 12444	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) < ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
7		dfdec10 12422	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dfdec10 12422	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
9	6, 7, 8	3brtr4i 5108	1 ⊢ ;𝐴𝐵 < ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-dec 12420

This theorem is referenced by:  23prm  16801  37prm  16803  43prm  16804  83prm  16805  163prm  16807  317prm  16808  1259prm  16818  2503lem3  16821  plendxnocndx  17075  slotsdifdsndx  17085  slotsdifunifndx  17092  odrngstr  17094  slotsbhcdif  17106  slotsbhcdifOLD  17107  slotsdifplendx2  17108  slotsdifocndx  17109  imasvalstr  17143  prdsvalstr  17144  oppchomfvalOLD  17405  oppcbasOLD  17410  resccoOLD  17527  catstr  17655  ipostr  18228  cnfldstr  20580  cnfldfunOLD  20591  thlleOLD  20885  log2ub  26080  bpos1  26412  slotsinbpsd  26783  slotslnbpsd  26784  lngndxnitvndx  26785  trkgstr  26786  ttgvalOLD  27218  ttglemOLD  27220  ttgdsOLD  27229  eengstr  27329  hgt750lem  32610  3lexlogpow5ineq1  40042  3lexlogpow5ineq2  40043  3lexlogpow2ineq2  40047  257prm  44965  fmtno4nprmfac193  44978  31prm  45001  127prm  45003  evengpoap3  45203  nnsum4primesevenALTV  45205  tgblthelfgott  45219  prstclevalOLD  46302  prstcocvalOLD  46305