Theorem leceifl 37983

Description: Theorem to move the floor function across a non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
leceifl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐵)))

Proof of Theorem leceifl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltflcei 37982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
2	1	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
3	2	notbid 319	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
4		reflcl 13753	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
5		lenlt 11222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (⌊‘𝐵) ↔ ¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴))
6	4, 5	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (⌊‘𝐵) ↔ ¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴))
7		ceicl 13798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	7	zred 12631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
9		lenlt 11222	. . 3 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
10	8, 9	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
11	3, 6, 10	3bitr4rd 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℝcr 11035   < clt 11177   ≤ cle 11178  -cneg 11376  ⌊cfl 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fl 13749

This theorem is referenced by: (None)