Theorem leceifl 38241

Description: Theorem to move the floor function across a non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
leceifl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐵)))

Proof of Theorem leceifl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltflcei 38240	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
4		reflcl 13831	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘𝐵) ∈ ℝ)
5		lenlt 11289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (⌊‘𝐵) ↔ ¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴))
6	4, 5	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (⌊‘𝐵) ↔ ¬ (⌊‘𝐵) < 𝐴))
7		ceicl 13876	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
8	7	zred 12701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
9		lenlt 11289	. . 3 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
10	8, 9	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < -(⌊‘-𝐴)))
11	3, 6, 10	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ℝcr 11100   < clt 11244   ≤ cle 11245  -cneg 11443  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827

This theorem is referenced by: (None)