Theorem reflcl 13746

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13745	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12624	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  fllep1  13751  fraclt1  13752  fracle1  13753  fracge0  13754  fllt  13756  flflp1  13757  flid  13758  flltnz  13761  flval3  13765  refldivcl  13773  fladdz  13775  flzadd  13776  flmulnn0  13777  flltdivnn0lt  13783  ceige  13794  ceim1l  13797  flleceil  13803  fleqceilz  13804  intfracq  13809  fldiv  13810  uzsup  13813  modvalr  13822  modfrac  13834  flmod  13835  intfrac  13836  modmulnn  13839  modcyc  13856  modadd1  13858  moddi  13892  modirr  13895  digit2  14189  digit1  14190  facavg  14254  rddif  15294  absrdbnd  15295  rexuzre  15306  o1fsum  15767  flo1  15810  isprm7  16669  opnmbllem  25578  mbfi1fseqlem1  25692  mbfi1fseqlem3  25694  mbfi1fseqlem4  25695  mbfi1fseqlem5  25696  mbfi1fseqlem6  25697  dvfsumlem1  26003  dvfsumlem2  26004  dvfsumlem3  26005  dvfsumlem4  26006  dvfsum2  26011  harmonicbnd4  26988  chtfl  27126  chpfl  27127  ppieq0  27153  ppiltx  27154  ppiub  27181  chpeq0  27185  chtub  27189  logfac2  27194  chpub  27197  logfacubnd  27198  logfaclbnd  27199  lgsquadlem1  27357  chtppilimlem1  27450  vmadivsum  27459  dchrisumlema  27465  dchrisumlem1  27466  dchrisumlem3  27468  dchrmusum2  27471  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem3  27496  mudivsum  27507  mulogsumlem  27508  selberglem2  27523  pntrlog2bndlem6  27560  pntpbnd2  27564  pntlemg  27575  pntlemr  27579  pntlemj  27580  pntlemf  27582  pntlemk  27583  minvecolem4  30966  dnicld1  36748  dnibndlem2  36755  dnibndlem3  36756  dnibndlem4  36757  dnibndlem5  36758  dnibndlem7  36760  dnibndlem8  36761  dnibndlem9  36762  dnibndlem10  36763  dnibndlem11  36764  dnibndlem13  36766  dnibnd  36767  knoppcnlem4  36772  ltflcei  37943  leceifl  37944  opnmbllem0  37991  itg2addnclem2  38007  itg2addnclem3  38008  aks4d1p1p2  42523  aks6d1c7lem1  42633  hashnzfzclim  44767  lefldiveq  45743  fourierdlem4  46557  fourierdlem26  46579  fourierdlem47  46599  fourierdlem65  46617  flsubz  49010  dignn0flhalflem2  49104