Theorem reflcl 13753

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13752	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12631	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  ℝcr 11035  ⌊cfl 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fl 13749

This theorem is referenced by:  fllep1  13758  fraclt1  13759  fracle1  13760  fracge0  13761  fllt  13763  flflp1  13764  flid  13765  flltnz  13768  flval3  13772  refldivcl  13780  fladdz  13782  flzadd  13783  flmulnn0  13784  flltdivnn0lt  13790  ceige  13801  ceim1l  13804  flleceil  13810  fleqceilz  13811  intfracq  13816  fldiv  13817  uzsup  13820  modvalr  13829  modfrac  13841  flmod  13842  intfrac  13843  modmulnn  13846  modcyc  13863  modadd1  13865  moddi  13899  modirr  13902  digit2  14196  digit1  14197  facavg  14261  rddif  15301  absrdbnd  15302  rexuzre  15313  o1fsum  15774  flo1  15817  isprm7  16676  opnmbllem  25593  mbfi1fseqlem1  25707  mbfi1fseqlem3  25709  mbfi1fseqlem4  25710  mbfi1fseqlem5  25711  mbfi1fseqlem6  25712  dvfsumlem1  26018  dvfsumlem2  26019  dvfsumlem3  26020  dvfsumlem4  26021  dvfsum2  26026  harmonicbnd4  26999  chtfl  27137  chpfl  27138  ppieq0  27164  ppiltx  27165  ppiub  27192  chpeq0  27196  chtub  27200  logfac2  27205  chpub  27208  logfacubnd  27209  logfaclbnd  27210  lgsquadlem1  27368  chtppilimlem1  27461  vmadivsum  27470  dchrisumlema  27476  dchrisumlem1  27477  dchrisumlem3  27479  dchrmusum2  27482  dchrisum0lem1b  27503  dchrisum0lem1  27504  dchrisum0lem2a  27505  dchrisum0lem3  27507  mudivsum  27518  mulogsumlem  27519  selberglem2  27534  pntrlog2bndlem6  27571  pntpbnd2  27575  pntlemg  27586  pntlemr  27590  pntlemj  27591  pntlemf  27593  pntlemk  27594  minvecolem4  30976  dnicld1  36785  dnibndlem2  36792  dnibndlem3  36793  dnibndlem4  36794  dnibndlem5  36795  dnibndlem7  36797  dnibndlem8  36798  dnibndlem9  36799  dnibndlem10  36800  dnibndlem11  36801  dnibndlem13  36803  dnibnd  36804  knoppcnlem4  36809  ltflcei  37982  leceifl  37983  opnmbllem0  38030  itg2addnclem2  38046  itg2addnclem3  38047  aks4d1p1p2  42562  aks6d1c7lem1  42672  hashnzfzclim  44773  lefldiveq  45747  fourierdlem4  46561  fourierdlem26  46583  fourierdlem47  46603  fourierdlem65  46621  flsubz  49020  dignn0flhalflem2  49114