Theorem reflcl 13716

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13715	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12596	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  ⌊cfl 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fl 13712

This theorem is referenced by:  fllep1  13721  fraclt1  13722  fracle1  13723  fracge0  13724  fllt  13726  flflp1  13727  flid  13728  flltnz  13731  flval3  13735  refldivcl  13743  fladdz  13745  flzadd  13746  flmulnn0  13747  flltdivnn0lt  13753  ceige  13764  ceim1l  13767  flleceil  13773  fleqceilz  13774  intfracq  13779  fldiv  13780  uzsup  13783  modvalr  13792  modfrac  13804  flmod  13805  intfrac  13806  modmulnn  13809  modcyc  13826  modadd1  13828  moddi  13862  modirr  13865  digit2  14159  digit1  14160  facavg  14224  rddif  15264  absrdbnd  15265  rexuzre  15276  o1fsum  15736  flo1  15777  isprm7  16635  opnmbllem  25558  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem3  25991  dvfsumlem4  25992  dvfsum2  25997  harmonicbnd4  26977  chtfl  27115  chpfl  27116  ppieq0  27142  ppiltx  27143  ppiub  27171  chpeq0  27175  chtub  27179  logfac2  27184  chpub  27187  logfacubnd  27188  logfaclbnd  27189  lgsquadlem1  27347  chtppilimlem1  27440  vmadivsum  27449  dchrisumlema  27455  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem3  27458  dchrmusum2  27461  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem3  27486  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  selberglem2  27513  pntrlog2bndlem6  27550  pntpbnd2  27554  pntlemg  27565  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemk  27573  minvecolem4  30955  dnicld1  36672  dnibndlem2  36679  dnibndlem3  36680  dnibndlem4  36681  dnibndlem5  36682  dnibndlem7  36684  dnibndlem8  36685  dnibndlem9  36686  dnibndlem10  36687  dnibndlem11  36688  dnibndlem13  36690  dnibnd  36691  knoppcnlem4  36696  ltflcei  37809  leceifl  37810  opnmbllem0  37857  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  aks4d1p1p2  42324  aks6d1c7lem1  42434  hashnzfzclim  44563  lefldiveq  45540  fourierdlem4  46355  fourierdlem26  46377  fourierdlem47  46397  fourierdlem65  46415  flsubz  48768  dignn0flhalflem2  48862