Theorem reflcl 13849

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12718	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fl 13845

This theorem is used by:  fllep1  13854  fraclt1  13855  fracle1  13856  fracge0  13857  fllt  13859  flflp1  13860  flid  13861  flltnz  13864  flval3  13868  refldivcl  13876  fladdz  13878  flzadd  13879  flmulnn0  13880  flltdivnn0lt  13886  ceige  13897  ceim1l  13900  flleceil  13906  fleqceilz  13907  intfracq  13912  fldiv  13913  uzsup  13916  modvalr  13925  modfrac  13937  flmod  13938  intfrac  13939  modmulnn  13942  modcyc  13959  modadd1  13961  moddi  13995  modirr  13998  digit2  14292  digit1  14293  facavg  14357  rddif  15418  absrdbnd  15419  rexuzre  15430  o1fsum  15891  flo1  15934  isprm7  16792  opnmbllem  25797  mbfi1fseqlem1  25911  mbfi1fseqlem3  25913  mbfi1fseqlem4  25914  mbfi1fseqlem5  25915  mbfi1fseqlem6  25916  dvfsumlem1  26222  dvfsumlem2  26223  dvfsumlem3  26224  dvfsumlem4  26225  dvfsum2  26230  harmonicbnd4  27212  chtfl  27350  chpfl  27351  ppieq0  27377  ppiltx  27378  ppiub  27405  chpeq0  27409  chtub  27413  logfac2  27418  chpub  27421  logfacubnd  27422  logfaclbnd  27423  lgsquadlem1  27581  chtppilimlem1  27674  vmadivsum  27683  dchrisumlema  27689  dchrisumlem1  27690  dchrisumlem3  27692  dchrmusum2  27695  dchrisum0lem1b  27716  dchrisum0lem1  27717  dchrisum0lem2a  27718  dchrisum0lem3  27720  mudivsum  27731  mulogsumlem  27732  selberglem2  27747  pntrlog2bndlem6  27784  pntpbnd2  27788  pntlemg  27799  pntlemr  27803  pntlemj  27804  pntlemf  27806  pntlemk  27807  minvecolem4  31269  dnicld1  37102  dnibndlem2  37109  dnibndlem3  37110  dnibndlem4  37111  dnibndlem5  37112  dnibndlem7  37114  dnibndlem8  37115  dnibndlem9  37116  dnibndlem10  37117  dnibndlem11  37118  dnibndlem13  37120  dnibnd  37121  knoppcnlem4  37126  ltflcei  38300  leceifl  38301  opnmbllem0  38348  itg2addnclem2  38364  itg2addnclem3  38365  aks4d1p1p2  42878  aks6d1c7lem1  42988  hashnzfzclim  45073  lefldiveq  46052  fourierdlem4  46866  fourierdlem26  46888  fourierdlem47  46908  fourierdlem65  46926  flsubz  49343  dignn0flhalflem2  49437