Theorem reflcl 13586

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12496	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6463  ℝcr 10940  ⌊cfl 13580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fl 13582

This theorem is referenced by:  fllep1  13591  fraclt1  13592  fracle1  13593  fracge0  13594  fllt  13596  flflp1  13597  flid  13598  flltnz  13601  flval3  13605  refldivcl  13613  fladdz  13615  flzadd  13616  flmulnn0  13617  flltdivnn0lt  13623  ceige  13634  ceim1l  13637  flleceil  13643  fleqceilz  13644  intfracq  13649  fldiv  13650  uzsup  13653  modvalr  13662  modfrac  13674  flmod  13675  intfrac  13676  modmulnn  13679  modcyc  13696  modadd1  13698  moddi  13729  modirr  13732  digit2  14021  digit1  14022  facavg  14085  rddif  15121  absrdbnd  15122  rexuzre  15133  o1fsum  15594  flo1  15635  isprm7  16480  opnmbllem  24836  mbfi1fseqlem1  24951  mbfi1fseqlem3  24953  mbfi1fseqlem4  24954  mbfi1fseqlem5  24955  mbfi1fseqlem6  24956  dvfsumlem1  25261  dvfsumlem2  25262  dvfsumlem3  25263  dvfsumlem4  25264  dvfsum2  25269  harmonicbnd4  26231  chtfl  26369  chpfl  26370  ppieq0  26396  ppiltx  26397  ppiub  26423  chpeq0  26427  chtub  26431  logfac2  26436  chpub  26439  logfacubnd  26440  logfaclbnd  26441  lgsquadlem1  26599  chtppilimlem1  26692  vmadivsum  26701  dchrisumlema  26707  dchrisumlem1  26708  dchrisumlem3  26710  dchrmusum2  26713  dchrisum0lem1b  26734  dchrisum0lem1  26735  dchrisum0lem2a  26736  dchrisum0lem3  26738  mudivsum  26749  mulogsumlem  26750  selberglem2  26765  pntrlog2bndlem6  26802  pntpbnd2  26806  pntlemg  26817  pntlemr  26821  pntlemj  26822  pntlemf  26824  pntlemk  26825  minvecolem4  29350  dnicld1  34713  dnibndlem2  34720  dnibndlem3  34721  dnibndlem4  34722  dnibndlem5  34723  dnibndlem7  34725  dnibndlem8  34726  dnibndlem9  34727  dnibndlem10  34728  dnibndlem11  34729  dnibndlem13  34731  dnibnd  34732  knoppcnlem4  34737  ltflcei  35825  leceifl  35826  opnmbllem0  35873  itg2addnclem2  35889  itg2addnclem3  35890  aks4d1p1p2  40290  hashnzfzclim  42168  lefldiveq  43074  fourierdlem4  43896  fourierdlem26  43918  fourierdlem47  43938  fourierdlem65  43956  flsubz  46122  dignn0flhalflem2  46221