Theorem reflcl 13444

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13443	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12355	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  ⌊cfl 13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  fllep1  13449  fraclt1  13450  fracle1  13451  fracge0  13452  fllt  13454  flflp1  13455  flid  13456  flltnz  13459  flval3  13463  refldivcl  13471  fladdz  13473  flzadd  13474  flmulnn0  13475  flltdivnn0lt  13481  ceige  13492  ceim1l  13495  flleceil  13501  fleqceilz  13502  intfracq  13507  fldiv  13508  uzsup  13511  modvalr  13520  modfrac  13532  flmod  13533  intfrac  13534  modmulnn  13537  modcyc  13554  modadd1  13556  moddi  13587  modirr  13590  digit2  13879  digit1  13880  facavg  13943  rddif  14980  absrdbnd  14981  rexuzre  14992  o1fsum  15453  flo1  15494  isprm7  16341  opnmbllem  24670  mbfi1fseqlem1  24785  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  mbfi1fseqlem6  24790  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem3  25097  dvfsumlem4  25098  dvfsum2  25103  harmonicbnd4  26065  chtfl  26203  chpfl  26204  ppieq0  26230  ppiltx  26231  ppiub  26257  chpeq0  26261  chtub  26265  logfac2  26270  chpub  26273  logfacubnd  26274  logfaclbnd  26275  lgsquadlem1  26433  chtppilimlem1  26526  vmadivsum  26535  dchrisumlema  26541  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem3  26544  dchrmusum2  26547  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem3  26572  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  selberglem2  26599  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd2  26640  pntlemg  26651  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemk  26659  minvecolem4  29143  dnicld1  34579  dnibndlem2  34586  dnibndlem3  34587  dnibndlem4  34588  dnibndlem5  34589  dnibndlem7  34591  dnibndlem8  34592  dnibndlem9  34593  dnibndlem10  34594  dnibndlem11  34595  dnibndlem13  34597  dnibnd  34598  knoppcnlem4  34603  ltflcei  35692  leceifl  35693  opnmbllem0  35740  itg2addnclem2  35756  itg2addnclem3  35757  aks4d1p1p2  40006  hashnzfzclim  41829  lefldiveq  42721  fourierdlem4  43542  fourierdlem26  43564  fourierdlem47  43584  fourierdlem65  43602  flsubz  45751  dignn0flhalflem2  45850