MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reflcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reflcl 13707
Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
reflcl (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl
StepHypRef Expression
1 flcl 13706 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21zred 12612 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6497  cr 11055  cfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  fllep1  13712  fraclt1  13713  fracle1  13714  fracge0  13715  fllt  13717  flflp1  13718  flid  13719  flltnz  13722  flval3  13726  refldivcl  13734  fladdz  13736  flzadd  13737  flmulnn0  13738  flltdivnn0lt  13744  ceige  13755  ceim1l  13758  flleceil  13764  fleqceilz  13765  intfracq  13770  fldiv  13771  uzsup  13774  modvalr  13783  modfrac  13795  flmod  13796  intfrac  13797  modmulnn  13800  modcyc  13817  modadd1  13819  moddi  13850  modirr  13853  digit2  14145  digit1  14146  facavg  14207  rddif  15231  absrdbnd  15232  rexuzre  15243  o1fsum  15703  flo1  15744  isprm7  16589  opnmbllem  24981  mbfi1fseqlem1  25096  mbfi1fseqlem3  25098  mbfi1fseqlem4  25099  mbfi1fseqlem5  25100  mbfi1fseqlem6  25101  dvfsumlem1  25406  dvfsumlem2  25407  dvfsumlem3  25408  dvfsumlem4  25409  dvfsum2  25414  harmonicbnd4  26376  chtfl  26514  chpfl  26515  ppieq0  26541  ppiltx  26542  ppiub  26568  chpeq0  26572  chtub  26576  logfac2  26581  chpub  26584  logfacubnd  26585  logfaclbnd  26586  lgsquadlem1  26744  chtppilimlem1  26837  vmadivsum  26846  dchrisumlema  26852  dchrisumlem1  26853  dchrisumlem3  26855  dchrmusum2  26858  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem2a  26881  dchrisum0lem3  26883  mudivsum  26894  mulogsumlem  26895  selberglem2  26910  pntrlog2bndlem6  26947  pntpbnd2  26951  pntlemg  26962  pntlemr  26966  pntlemj  26967  pntlemf  26969  pntlemk  26970  minvecolem4  29864  dnicld1  34981  dnibndlem2  34988  dnibndlem3  34989  dnibndlem4  34990  dnibndlem5  34991  dnibndlem7  34993  dnibndlem8  34994  dnibndlem9  34995  dnibndlem10  34996  dnibndlem11  34997  dnibndlem13  34999  dnibnd  35000  knoppcnlem4  35005  ltflcei  36112  leceifl  36113  opnmbllem0  36160  itg2addnclem2  36176  itg2addnclem3  36177  aks4d1p1p2  40573  hashnzfzclim  42690  lefldiveq  43613  fourierdlem4  44438  fourierdlem26  44460  fourierdlem47  44480  fourierdlem65  44498  flsubz  46689  dignn0flhalflem2  46788
  Copyright terms: Public domain W3C validator