Theorem reflcl 13820

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13819	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  ⌊cfl 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fl 13816

This theorem is referenced by:  fllep1  13825  fraclt1  13826  fracle1  13827  fracge0  13828  fllt  13830  flflp1  13831  flid  13832  flltnz  13835  flval3  13839  refldivcl  13847  fladdz  13849  flzadd  13850  flmulnn0  13851  flltdivnn0lt  13857  ceige  13868  ceim1l  13871  flleceil  13877  fleqceilz  13878  intfracq  13883  fldiv  13884  uzsup  13887  modvalr  13896  modfrac  13908  flmod  13909  intfrac  13910  modmulnn  13913  modcyc  13930  modadd1  13932  moddi  13966  modirr  13969  digit2  14263  digit1  14264  facavg  14328  rddif  15382  absrdbnd  15383  rexuzre  15394  o1fsum  15855  flo1  15898  isprm7  16757  opnmbllem  25721  mbfi1fseqlem1  25835  mbfi1fseqlem3  25837  mbfi1fseqlem4  25838  mbfi1fseqlem5  25839  mbfi1fseqlem6  25840  dvfsumlem1  26146  dvfsumlem2  26147  dvfsumlem3  26148  dvfsumlem4  26149  dvfsum2  26154  harmonicbnd4  27133  chtfl  27271  chpfl  27272  ppieq0  27298  ppiltx  27299  ppiub  27326  chpeq0  27330  chtub  27334  logfac2  27339  chpub  27342  logfacubnd  27343  logfaclbnd  27344  lgsquadlem1  27502  chtppilimlem1  27595  vmadivsum  27604  dchrisumlema  27610  dchrisumlem1  27611  dchrisumlem3  27613  dchrmusum2  27616  dchrisum0lem1b  27637  dchrisum0lem1  27638  dchrisum0lem2a  27639  dchrisum0lem3  27641  mudivsum  27652  mulogsumlem  27653  selberglem2  27668  pntrlog2bndlem6  27705  pntpbnd2  27709  pntlemg  27720  pntlemr  27724  pntlemj  27725  pntlemf  27727  pntlemk  27728  minvecolem4  31141  dnicld1  36923  dnibndlem2  36930  dnibndlem3  36931  dnibndlem4  36932  dnibndlem5  36933  dnibndlem7  36935  dnibndlem8  36936  dnibndlem9  36937  dnibndlem10  36938  dnibndlem11  36939  dnibndlem13  36941  dnibnd  36942  knoppcnlem4  36947  ltflcei  38119  leceifl  38120  opnmbllem0  38167  itg2addnclem2  38183  itg2addnclem3  38184  aks4d1p1p2  42699  aks6d1c7lem1  42809  hashnzfzclim  44896  lefldiveq  45869  fourierdlem4  46683  fourierdlem26  46705  fourierdlem47  46725  fourierdlem65  46743  flsubz  49153  dignn0flhalflem2  49247