Theorem reflcl 13861

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12729	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℝcr 11127  ⌊cfl 13855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857

This theorem is used by:  fllep1  13866  fraclt1  13867  fracle1  13868  fracge0  13869  fllt  13871  flflp1  13872  flid  13873  flltnz  13876  flval3  13880  refldivcl  13888  fladdz  13890  flzadd  13891  flmulnn0  13892  flltdivnn0lt  13898  ceige  13909  ceim1l  13912  flleceil  13918  fleqceilz  13919  intfracq  13924  fldiv  13925  uzsup  13928  modvalr  13937  modfrac  13949  flmod  13950  intfrac  13951  modmulnn  13954  modcyc  13971  modadd1  13973  moddi  14007  modirr  14010  digit2  14304  digit1  14305  facavg  14369  rddif  15432  absrdbnd  15433  rexuzre  15444  o1fsum  15904  flo1  15947  isprm7  16805  opnmbllem  25835  mbfi1fseqlem1  25949  mbfi1fseqlem3  25951  mbfi1fseqlem4  25952  mbfi1fseqlem5  25953  mbfi1fseqlem6  25954  dvfsumlem1  26260  dvfsumlem2  26261  dvfsumlem3  26262  dvfsumlem4  26263  dvfsum2  26268  harmonicbnd4  27255  chtfl  27393  chpfl  27394  ppieq0  27420  ppiltx  27421  ppiub  27448  chpeq0  27452  chtub  27456  logfac2  27461  chpub  27464  logfacubnd  27465  logfaclbnd  27466  lgsquadlem1  27624  chtppilimlem1  27717  vmadivsum  27726  dchrisumlema  27732  dchrisumlem1  27733  dchrisumlem3  27735  dchrmusum2  27738  dchrisum0lem1b  27759  dchrisum0lem1  27760  dchrisum0lem2a  27761  dchrisum0lem3  27763  mudivsum  27774  mulogsumlem  27775  selberglem2  27790  pntrlog2bndlem6  27827  pntpbnd2  27831  pntlemg  27842  pntlemr  27846  pntlemj  27847  pntlemf  27849  pntlemk  27850  minvecolem4  31369  dnicld1  37177  dnibndlem2  37184  dnibndlem3  37185  dnibndlem4  37186  dnibndlem5  37187  dnibndlem7  37189  dnibndlem8  37190  dnibndlem9  37191  dnibndlem10  37192  dnibndlem11  37193  dnibndlem13  37195  dnibnd  37196  knoppcnlem4  37201  ltflcei  38370  leceifl  38371  opnmbllem0  38413  itg2addnclem2  38429  itg2addnclem3  38430  aks4d1p1p2  42944  aks6d1c7lem1  43054  hashnzfzclim  45154  lefldiveq  46133  fourierdlem4  46947  fourierdlem26  46969  fourierdlem47  46989  fourierdlem65  47007  flsubz  49460  dignn0flhalflem2  49554