Theorem reflcl 13832

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12719	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  ⌊cfl 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828

This theorem is referenced by:  fllep1  13837  fraclt1  13838  fracle1  13839  fracge0  13840  fllt  13842  flflp1  13843  flid  13844  flltnz  13847  flval3  13851  refldivcl  13859  fladdz  13861  flzadd  13862  flmulnn0  13863  flltdivnn0lt  13869  ceige  13880  ceim1l  13883  flleceil  13889  fleqceilz  13890  intfracq  13895  fldiv  13896  uzsup  13899  modvalr  13908  modfrac  13920  flmod  13921  intfrac  13922  modmulnn  13925  modcyc  13942  modadd1  13944  moddi  13976  modirr  13979  digit2  14271  digit1  14272  facavg  14336  rddif  15375  absrdbnd  15376  rexuzre  15387  o1fsum  15845  flo1  15886  isprm7  16741  opnmbllem  25649  mbfi1fseqlem1  25764  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  mbfi1fseqlem6  25769  dvfsumlem1  26080  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsumlem3  26083  dvfsumlem4  26084  dvfsum2  26089  harmonicbnd4  27068  chtfl  27206  chpfl  27207  ppieq0  27233  ppiltx  27234  ppiub  27262  chpeq0  27266  chtub  27270  logfac2  27275  chpub  27278  logfacubnd  27279  logfaclbnd  27280  lgsquadlem1  27438  chtppilimlem1  27531  vmadivsum  27540  dchrisumlema  27546  dchrisumlem1  27547  dchrisumlem3  27549  dchrmusum2  27552  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem3  27577  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  selberglem2  27604  pntrlog2bndlem6  27641  pntpbnd2  27645  pntlemg  27656  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemk  27664  minvecolem4  30908  dnicld1  36454  dnibndlem2  36461  dnibndlem3  36462  dnibndlem4  36463  dnibndlem5  36464  dnibndlem7  36466  dnibndlem8  36467  dnibndlem9  36468  dnibndlem10  36469  dnibndlem11  36470  dnibndlem13  36472  dnibnd  36473  knoppcnlem4  36478  ltflcei  37594  leceifl  37595  opnmbllem0  37642  itg2addnclem2  37658  itg2addnclem3  37659  aks4d1p1p2  42051  aks6d1c7lem1  42161  hashnzfzclim  44317  lefldiveq  45242  fourierdlem4  46066  fourierdlem26  46088  fourierdlem47  46108  fourierdlem65  46126  flsubz  48367  dignn0flhalflem2  48465