Theorem reflcl 13837

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12724	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  ℝcr 11155  ⌊cfl 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fl 13833

This theorem is referenced by:  fllep1  13842  fraclt1  13843  fracle1  13844  fracge0  13845  fllt  13847  flflp1  13848  flid  13849  flltnz  13852  flval3  13856  refldivcl  13864  fladdz  13866  flzadd  13867  flmulnn0  13868  flltdivnn0lt  13874  ceige  13885  ceim1l  13888  flleceil  13894  fleqceilz  13895  intfracq  13900  fldiv  13901  uzsup  13904  modvalr  13913  modfrac  13925  flmod  13926  intfrac  13927  modmulnn  13930  modcyc  13947  modadd1  13949  moddi  13981  modirr  13984  digit2  14276  digit1  14277  facavg  14341  rddif  15380  absrdbnd  15381  rexuzre  15392  o1fsum  15850  flo1  15891  isprm7  16746  opnmbllem  25637  mbfi1fseqlem1  25751  mbfi1fseqlem3  25753  mbfi1fseqlem4  25754  mbfi1fseqlem5  25755  mbfi1fseqlem6  25756  dvfsumlem1  26067  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  dvfsumlem3  26070  dvfsumlem4  26071  dvfsum2  26076  harmonicbnd4  27055  chtfl  27193  chpfl  27194  ppieq0  27220  ppiltx  27221  ppiub  27249  chpeq0  27253  chtub  27257  logfac2  27262  chpub  27265  logfacubnd  27266  logfaclbnd  27267  lgsquadlem1  27425  chtppilimlem1  27518  vmadivsum  27527  dchrisumlema  27533  dchrisumlem1  27534  dchrisumlem3  27536  dchrmusum2  27539  dchrisum0lem1b  27560  dchrisum0lem1  27561  dchrisum0lem2a  27562  dchrisum0lem3  27564  mudivsum  27575  mulogsumlem  27576  selberglem2  27591  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd2  27632  pntlemg  27643  pntlemr  27647  pntlemj  27648  pntlemf  27650  pntlemk  27651  minvecolem4  30900  dnicld1  36474  dnibndlem2  36481  dnibndlem3  36482  dnibndlem4  36483  dnibndlem5  36484  dnibndlem7  36486  dnibndlem8  36487  dnibndlem9  36488  dnibndlem10  36489  dnibndlem11  36490  dnibndlem13  36492  dnibnd  36493  knoppcnlem4  36498  ltflcei  37616  leceifl  37617  opnmbllem0  37664  itg2addnclem2  37680  itg2addnclem3  37681  aks4d1p1p2  42072  aks6d1c7lem1  42182  hashnzfzclim  44346  lefldiveq  45309  fourierdlem4  46131  fourierdlem26  46153  fourierdlem47  46173  fourierdlem65  46191  flsubz  48444  dignn0flhalflem2  48542