Theorem reflcl 13718

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13717	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12598	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  ℝcr 11027  ⌊cfl 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fl 13714

This theorem is referenced by:  fllep1  13723  fraclt1  13724  fracle1  13725  fracge0  13726  fllt  13728  flflp1  13729  flid  13730  flltnz  13733  flval3  13737  refldivcl  13745  fladdz  13747  flzadd  13748  flmulnn0  13749  flltdivnn0lt  13755  ceige  13766  ceim1l  13769  flleceil  13775  fleqceilz  13776  intfracq  13781  fldiv  13782  uzsup  13785  modvalr  13794  modfrac  13806  flmod  13807  intfrac  13808  modmulnn  13811  modcyc  13828  modadd1  13830  moddi  13864  modirr  13867  digit2  14161  digit1  14162  facavg  14226  rddif  15266  absrdbnd  15267  rexuzre  15278  o1fsum  15738  flo1  15779  isprm7  16637  opnmbllem  25518  mbfi1fseqlem1  25632  mbfi1fseqlem3  25634  mbfi1fseqlem4  25635  mbfi1fseqlem5  25636  mbfi1fseqlem6  25637  dvfsumlem1  25948  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  dvfsumlem3  25951  dvfsumlem4  25952  dvfsum2  25957  harmonicbnd4  26937  chtfl  27075  chpfl  27076  ppieq0  27102  ppiltx  27103  ppiub  27131  chpeq0  27135  chtub  27139  logfac2  27144  chpub  27147  logfacubnd  27148  logfaclbnd  27149  lgsquadlem1  27307  chtppilimlem1  27400  vmadivsum  27409  dchrisumlema  27415  dchrisumlem1  27416  dchrisumlem3  27418  dchrmusum2  27421  dchrisum0lem1b  27442  dchrisum0lem1  27443  dchrisum0lem2a  27444  dchrisum0lem3  27446  mudivsum  27457  mulogsumlem  27458  selberglem2  27473  pntrlog2bndlem6  27510  pntpbnd2  27514  pntlemg  27525  pntlemr  27529  pntlemj  27530  pntlemf  27532  pntlemk  27533  minvecolem4  30842  dnicld1  36448  dnibndlem2  36455  dnibndlem3  36456  dnibndlem4  36457  dnibndlem5  36458  dnibndlem7  36460  dnibndlem8  36461  dnibndlem9  36462  dnibndlem10  36463  dnibndlem11  36464  dnibndlem13  36466  dnibnd  36467  knoppcnlem4  36472  ltflcei  37590  leceifl  37591  opnmbllem0  37638  itg2addnclem2  37654  itg2addnclem3  37655  aks4d1p1p2  42046  aks6d1c7lem1  42156  hashnzfzclim  44298  lefldiveq  45277  fourierdlem4  46096  fourierdlem26  46118  fourierdlem47  46138  fourierdlem65  46156  flsubz  48511  dignn0flhalflem2  48605