Theorem reflcl 13847

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12747	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  ⌊cfl 13841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fl 13843

This theorem is referenced by:  fllep1  13852  fraclt1  13853  fracle1  13854  fracge0  13855  fllt  13857  flflp1  13858  flid  13859  flltnz  13862  flval3  13866  refldivcl  13874  fladdz  13876  flzadd  13877  flmulnn0  13878  flltdivnn0lt  13884  ceige  13895  ceim1l  13898  flleceil  13904  fleqceilz  13905  intfracq  13910  fldiv  13911  uzsup  13914  modvalr  13923  modfrac  13935  flmod  13936  intfrac  13937  modmulnn  13940  modcyc  13957  modadd1  13959  moddi  13990  modirr  13993  digit2  14285  digit1  14286  facavg  14350  rddif  15389  absrdbnd  15390  rexuzre  15401  o1fsum  15861  flo1  15902  isprm7  16755  opnmbllem  25655  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  dvfsumlem1  26086  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem3  26089  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  harmonicbnd4  27072  chtfl  27210  chpfl  27211  ppieq0  27237  ppiltx  27238  ppiub  27266  chpeq0  27270  chtub  27274  logfac2  27279  chpub  27282  logfacubnd  27283  logfaclbnd  27284  lgsquadlem1  27442  chtppilimlem1  27535  vmadivsum  27544  dchrisumlema  27550  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem3  27553  dchrmusum2  27556  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem3  27581  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  selberglem2  27608  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd2  27649  pntlemg  27660  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  minvecolem4  30912  dnicld1  36438  dnibndlem2  36445  dnibndlem3  36446  dnibndlem4  36447  dnibndlem5  36448  dnibndlem7  36450  dnibndlem8  36451  dnibndlem9  36452  dnibndlem10  36453  dnibndlem11  36454  dnibndlem13  36456  dnibnd  36457  knoppcnlem4  36462  ltflcei  37568  leceifl  37569  opnmbllem0  37616  itg2addnclem2  37632  itg2addnclem3  37633  aks4d1p1p2  42027  aks6d1c7lem1  42137  hashnzfzclim  44291  lefldiveq  45207  fourierdlem4  46032  fourierdlem26  46054  fourierdlem47  46074  fourierdlem65  46092  flsubz  48251  dignn0flhalflem2  48350