Theorem reflcl 13940

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  ⌊cfl 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fl 13936

This theorem is used by:  fllep1  13945  fraclt1  13946  fracle1  13947  fracge0  13948  fllt  13950  flflp1  13951  flid  13952  flltnz  13955  flval3  13959  refldivcl  13967  fladdz  13969  flzadd  13970  flmulnn0  13971  flltdivnn0lt  13977  ceige  13988  ceim1l  13991  flleceil  13997  fleqceilz  13998  intfracq  14003  fldiv  14004  uzsup  14007  modvalr  14016  modfrac  14028  flmod  14029  intfrac  14030  modmulnn  14033  modcyc  14050  modadd1  14052  moddi  14086  modirr  14089  digit2  14384  digit1  14385  facavg  14449  rddif  15514  absrdbnd  15515  rexuzre  15526  o1fsum  15986  flo1  16029  isprm7  16890  opnmbllem  25928  mbfi1fseqlem1  26042  mbfi1fseqlem3  26044  mbfi1fseqlem4  26045  mbfi1fseqlem5  26046  mbfi1fseqlem6  26047  dvfsumlem1  26352  dvfsumlem2  26353  dvfsumlem3  26354  dvfsumlem4  26355  dvfsum2  26360  harmonicbnd4  27344  chtfl  27482  chpfl  27483  ppieq0  27509  ppiltx  27510  ppiub  27537  chpeq0  27541  chtub  27545  logfac2  27550  chpub  27553  logfacubnd  27554  logfaclbnd  27555  lgsquadlem1  27713  chtppilimlem1  27806  vmadivsum  27815  dchrisumlema  27821  dchrisumlem1  27822  dchrisumlem3  27824  dchrmusum2  27827  dchrisum0lem1b  27848  dchrisum0lem1  27849  dchrisum0lem2a  27850  dchrisum0lem3  27852  mudivsum  27863  mulogsumlem  27864  selberglem2  27879  pntrlog2bndlem6  27916  pntpbnd2  27920  pntlemg  27931  pntlemr  27935  pntlemj  27936  pntlemf  27938  pntlemk  27939  minvecolem4  31488  dnicld1  37431  dnibndlem2  37438  dnibndlem3  37439  dnibndlem4  37440  dnibndlem5  37441  dnibndlem7  37443  dnibndlem8  37444  dnibndlem9  37445  dnibndlem10  37446  dnibndlem11  37447  dnibndlem13  37449  dnibnd  37450  knoppcnlem4  37455  ltflcei  38625  leceifl  38626  opnmbllem0  38668  itg2addnclem2  38684  itg2addnclem3  38685  aks4d1p1p2  43214  aks6d1c7lem1  43324  hashnzfzclim  45400  lefldiveq  46402  fourierdlem4  47215  fourierdlem26  47237  fourierdlem47  47257  fourierdlem65  47275  flsubz  49728  dignn0flhalflem2  49822