Theorem reflcl 13525

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13524	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12435	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  ℝcr 10879  ⌊cfl 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fl 13521

This theorem is referenced by:  fllep1  13530  fraclt1  13531  fracle1  13532  fracge0  13533  fllt  13535  flflp1  13536  flid  13537  flltnz  13540  flval3  13544  refldivcl  13552  fladdz  13554  flzadd  13555  flmulnn0  13556  flltdivnn0lt  13562  ceige  13573  ceim1l  13576  flleceil  13582  fleqceilz  13583  intfracq  13588  fldiv  13589  uzsup  13592  modvalr  13601  modfrac  13613  flmod  13614  intfrac  13615  modmulnn  13618  modcyc  13635  modadd1  13637  moddi  13668  modirr  13671  digit2  13960  digit1  13961  facavg  14024  rddif  15061  absrdbnd  15062  rexuzre  15073  o1fsum  15534  flo1  15575  isprm7  16422  opnmbllem  24774  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem3  24891  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  dvfsumlem1  25199  dvfsumlem2  25200  dvfsumlem3  25201  dvfsumlem4  25202  dvfsum2  25207  harmonicbnd4  26169  chtfl  26307  chpfl  26308  ppieq0  26334  ppiltx  26335  ppiub  26361  chpeq0  26365  chtub  26369  logfac2  26374  chpub  26377  logfacubnd  26378  logfaclbnd  26379  lgsquadlem1  26537  chtppilimlem1  26630  vmadivsum  26639  dchrisumlema  26645  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem3  26648  dchrmusum2  26651  dchrisum0lem1b  26672  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem2a  26674  dchrisum0lem3  26676  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  selberglem2  26703  pntrlog2bndlem6  26740  pntpbnd2  26744  pntlemg  26755  pntlemr  26759  pntlemj  26760  pntlemf  26762  pntlemk  26763  minvecolem4  29251  dnicld1  34661  dnibndlem2  34668  dnibndlem3  34669  dnibndlem4  34670  dnibndlem5  34671  dnibndlem7  34673  dnibndlem8  34674  dnibndlem9  34675  dnibndlem10  34676  dnibndlem11  34677  dnibndlem13  34679  dnibnd  34680  knoppcnlem4  34685  ltflcei  35774  leceifl  35775  opnmbllem0  35822  itg2addnclem2  35838  itg2addnclem3  35839  aks4d1p1p2  40085  hashnzfzclim  41947  lefldiveq  42838  fourierdlem4  43659  fourierdlem26  43681  fourierdlem47  43701  fourierdlem65  43719  flsubz  45874  dignn0flhalflem2  45973