Theorem reflcl 13004

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 11925	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2079  ‘cfv 6217  ℝcr 10371  ⌊cfl 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fl 13000

This theorem is referenced by:  fllep1  13009  fraclt1  13010  fracle1  13011  fracge0  13012  fllt  13014  flflp1  13015  flid  13016  flltnz  13019  flval3  13023  refldivcl  13031  fladdz  13033  flzadd  13034  flmulnn0  13035  flltdivnn0lt  13041  ceige  13051  ceim1l  13053  flleceil  13059  fleqceilz  13060  intfracq  13065  fldiv  13066  uzsup  13069  modvalr  13078  modfrac  13090  flmod  13091  intfrac  13092  modmulnn  13095  modcyc  13112  modadd1  13114  moddi  13145  modirr  13148  digit2  13435  digit1  13436  facavg  13499  rddif  14522  absrdbnd  14523  rexuzre  14534  o1fsum  14989  flo1  15030  isprm7  15869  opnmbllem  23873  mbfi1fseqlem1  23987  mbfi1fseqlem3  23989  mbfi1fseqlem4  23990  mbfi1fseqlem5  23991  mbfi1fseqlem6  23992  dvfsumlem1  24294  dvfsumlem2  24295  dvfsumlem3  24296  dvfsumlem4  24297  dvfsum2  24302  harmonicbnd4  25258  chtfl  25396  chpfl  25397  ppieq0  25423  ppiltx  25424  ppiub  25450  chpeq0  25454  chtub  25458  logfac2  25463  chpub  25466  logfacubnd  25467  logfaclbnd  25468  lgsquadlem1  25626  chtppilimlem1  25719  vmadivsum  25728  dchrisumlema  25734  dchrisumlem1  25735  dchrisumlem3  25737  dchrmusum2  25740  dchrisum0lem1b  25761  dchrisum0lem1  25762  dchrisum0lem2a  25763  dchrisum0lem3  25765  mudivsum  25776  mulogsumlem  25777  selberglem2  25792  pntrlog2bndlem6  25829  pntpbnd2  25833  pntlemg  25844  pntlemr  25848  pntlemj  25849  pntlemf  25851  pntlemk  25852  minvecolem4  28336  dnicld1  33364  dnibndlem2  33371  dnibndlem3  33372  dnibndlem4  33373  dnibndlem5  33374  dnibndlem7  33376  dnibndlem8  33377  dnibndlem9  33378  dnibndlem10  33379  dnibndlem11  33380  dnibndlem13  33382  dnibnd  33383  knoppcnlem4  33388  ltflcei  34357  leceifl  34358  opnmbllem0  34405  itg2addnclem2  34421  itg2addnclem3  34422  hashnzfzclim  40144  lefldiveq  41053  fourierdlem4  41892  fourierdlem26  41914  fourierdlem47  41934  fourierdlem65  41952  flsubz  44012  dignn0flhalflem2  44111