Theorem reflcl 13704

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12585	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  ℝcr 11014  ⌊cfl 13698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fl 13700

This theorem is referenced by:  fllep1  13709  fraclt1  13710  fracle1  13711  fracge0  13712  fllt  13714  flflp1  13715  flid  13716  flltnz  13719  flval3  13723  refldivcl  13731  fladdz  13733  flzadd  13734  flmulnn0  13735  flltdivnn0lt  13741  ceige  13752  ceim1l  13755  flleceil  13761  fleqceilz  13762  intfracq  13767  fldiv  13768  uzsup  13771  modvalr  13780  modfrac  13792  flmod  13793  intfrac  13794  modmulnn  13797  modcyc  13814  modadd1  13816  moddi  13850  modirr  13853  digit2  14147  digit1  14148  facavg  14212  rddif  15252  absrdbnd  15253  rexuzre  15264  o1fsum  15724  flo1  15765  isprm7  16623  opnmbllem  25532  mbfi1fseqlem1  25646  mbfi1fseqlem3  25648  mbfi1fseqlem4  25649  mbfi1fseqlem5  25650  mbfi1fseqlem6  25651  dvfsumlem1  25962  dvfsumlem2  25963  dvfsumlem2OLD  25964  dvfsumlem3  25965  dvfsumlem4  25966  dvfsum2  25971  harmonicbnd4  26951  chtfl  27089  chpfl  27090  ppieq0  27116  ppiltx  27117  ppiub  27145  chpeq0  27149  chtub  27153  logfac2  27158  chpub  27161  logfacubnd  27162  logfaclbnd  27163  lgsquadlem1  27321  chtppilimlem1  27414  vmadivsum  27423  dchrisumlema  27429  dchrisumlem1  27430  dchrisumlem3  27432  dchrmusum2  27435  dchrisum0lem1b  27456  dchrisum0lem1  27457  dchrisum0lem2a  27458  dchrisum0lem3  27460  mudivsum  27471  mulogsumlem  27472  selberglem2  27487  pntrlog2bndlem6  27524  pntpbnd2  27528  pntlemg  27539  pntlemr  27543  pntlemj  27544  pntlemf  27546  pntlemk  27547  minvecolem4  30864  dnicld1  36539  dnibndlem2  36546  dnibndlem3  36547  dnibndlem4  36548  dnibndlem5  36549  dnibndlem7  36551  dnibndlem8  36552  dnibndlem9  36553  dnibndlem10  36554  dnibndlem11  36555  dnibndlem13  36557  dnibnd  36558  knoppcnlem4  36563  ltflcei  37671  leceifl  37672  opnmbllem0  37719  itg2addnclem2  37735  itg2addnclem3  37736  aks4d1p1p2  42186  aks6d1c7lem1  42296  hashnzfzclim  44442  lefldiveq  45420  fourierdlem4  46236  fourierdlem26  46258  fourierdlem47  46278  fourierdlem65  46296  flsubz  48650  dignn0flhalflem2  48744