Theorem reflcl 13966

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  ⌊cfl 13960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fl 13962

This theorem is used by:  fllep1  13971  fraclt1  13972  fracle1  13973  fracge0  13974  fllt  13976  flflp1  13977  flid  13978  flltnz  13981  flval3  13985  refldivcl  13993  fladdz  13995  flzadd  13996  flmulnn0  13997  flltdivnn0lt  14003  ceige  14014  ceim1l  14017  flleceil  14023  fleqceilz  14024  intfracq  14029  fldiv  14030  uzsup  14033  modvalr  14042  modfrac  14054  flmod  14055  intfrac  14056  modmulnn  14059  modcyc  14076  modadd1  14078  moddi  14112  modirr  14115  digit2  14410  digit1  14411  facavg  14475  rddif  15540  absrdbnd  15541  rexuzre  15552  o1fsum  16012  flo1  16055  isprm7  16916  opnmbllem  25955  mbfi1fseqlem1  26069  mbfi1fseqlem3  26071  mbfi1fseqlem4  26072  mbfi1fseqlem5  26073  mbfi1fseqlem6  26074  dvfsumlem1  26379  dvfsumlem2  26380  dvfsumlem3  26381  dvfsumlem4  26382  dvfsum2  26387  harmonicbnd4  27371  chtfl  27509  chpfl  27510  ppieq0  27536  ppiltx  27537  ppiub  27564  chpeq0  27568  chtub  27572  logfac2  27577  chpub  27580  logfacubnd  27581  logfaclbnd  27582  lgsquadlem1  27740  chtppilimlem1  27833  vmadivsum  27842  dchrisumlema  27848  dchrisumlem1  27849  dchrisumlem3  27851  dchrmusum2  27854  dchrisum0lem1b  27875  dchrisum0lem1  27876  dchrisum0lem2a  27877  dchrisum0lem3  27879  mudivsum  27890  mulogsumlem  27891  selberglem2  27906  pntrlog2bndlem6  27943  pntpbnd2  27947  pntlemg  27958  pntlemr  27962  pntlemj  27963  pntlemf  27965  pntlemk  27966  minvecolem4  31515  dnicld1  37529  dnibndlem2  37536  dnibndlem3  37537  dnibndlem4  37538  dnibndlem5  37539  dnibndlem7  37541  dnibndlem8  37542  dnibndlem9  37543  dnibndlem10  37544  dnibndlem11  37545  dnibndlem13  37547  dnibnd  37548  knoppcnlem4  37553  ltflcei  38736  leceifl  38737  opnmbllem0  38779  itg2addnclem2  38795  itg2addnclem3  38796  aks4d1p1p2  43323  aks6d1c7lem1  43433  hashnzfzclim  45509  lefldiveq  46523  fourierdlem4  47336  fourierdlem26  47358  fourierdlem47  47378  fourierdlem65  47396  flsubz  49849  dignn0flhalflem2  49943