Theorem reflcl 13728

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12608	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  ⌊cfl 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fl 13724

This theorem is referenced by:  fllep1  13733  fraclt1  13734  fracle1  13735  fracge0  13736  fllt  13738  flflp1  13739  flid  13740  flltnz  13743  flval3  13747  refldivcl  13755  fladdz  13757  flzadd  13758  flmulnn0  13759  flltdivnn0lt  13765  ceige  13776  ceim1l  13779  flleceil  13785  fleqceilz  13786  intfracq  13791  fldiv  13792  uzsup  13795  modvalr  13804  modfrac  13816  flmod  13817  intfrac  13818  modmulnn  13821  modcyc  13838  modadd1  13840  moddi  13874  modirr  13877  digit2  14171  digit1  14172  facavg  14236  rddif  15276  absrdbnd  15277  rexuzre  15288  o1fsum  15748  flo1  15789  isprm7  16647  opnmbllem  25570  mbfi1fseqlem1  25684  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  mbfi1fseqlem6  25689  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  dvfsumlem3  26003  dvfsumlem4  26004  dvfsum2  26009  harmonicbnd4  26989  chtfl  27127  chpfl  27128  ppieq0  27154  ppiltx  27155  ppiub  27183  chpeq0  27187  chtub  27191  logfac2  27196  chpub  27199  logfacubnd  27200  logfaclbnd  27201  lgsquadlem1  27359  chtppilimlem1  27452  vmadivsum  27461  dchrisumlema  27467  dchrisumlem1  27468  dchrisumlem3  27470  dchrmusum2  27473  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem3  27498  mudivsum  27509  mulogsumlem  27510  selberglem2  27525  pntrlog2bndlem6  27562  pntpbnd2  27566  pntlemg  27577  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemk  27585  minvecolem4  30967  dnicld1  36691  dnibndlem2  36698  dnibndlem3  36699  dnibndlem4  36700  dnibndlem5  36701  dnibndlem7  36703  dnibndlem8  36704  dnibndlem9  36705  dnibndlem10  36706  dnibndlem11  36707  dnibndlem13  36709  dnibnd  36710  knoppcnlem4  36715  ltflcei  37856  leceifl  37857  opnmbllem0  37904  itg2addnclem2  37920  itg2addnclem3  37921  aks4d1p1p2  42437  aks6d1c7lem1  42547  hashnzfzclim  44675  lefldiveq  45651  fourierdlem4  46466  fourierdlem26  46488  fourierdlem47  46508  fourierdlem65  46526  flsubz  48879  dignn0flhalflem2  48973