Theorem reflcl 13215

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  ℝcr 10574  ⌊cfl 13209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fl 13211

This theorem is referenced by:  fllep1  13220  fraclt1  13221  fracle1  13222  fracge0  13223  fllt  13225  flflp1  13226  flid  13227  flltnz  13230  flval3  13234  refldivcl  13242  fladdz  13244  flzadd  13245  flmulnn0  13246  flltdivnn0lt  13252  ceige  13262  ceim1l  13264  flleceil  13270  fleqceilz  13271  intfracq  13276  fldiv  13277  uzsup  13280  modvalr  13289  modfrac  13301  flmod  13302  intfrac  13303  modmulnn  13306  modcyc  13323  modadd1  13325  moddi  13356  modirr  13359  digit2  13647  digit1  13648  facavg  13711  rddif  14748  absrdbnd  14749  rexuzre  14760  o1fsum  15216  flo1  15257  isprm7  16104  opnmbllem  24301  mbfi1fseqlem1  24415  mbfi1fseqlem3  24417  mbfi1fseqlem4  24418  mbfi1fseqlem5  24419  mbfi1fseqlem6  24420  dvfsumlem1  24725  dvfsumlem2  24726  dvfsumlem3  24727  dvfsumlem4  24728  dvfsum2  24733  harmonicbnd4  25695  chtfl  25833  chpfl  25834  ppieq0  25860  ppiltx  25861  ppiub  25887  chpeq0  25891  chtub  25895  logfac2  25900  chpub  25903  logfacubnd  25904  logfaclbnd  25905  lgsquadlem1  26063  chtppilimlem1  26156  vmadivsum  26165  dchrisumlema  26171  dchrisumlem1  26172  dchrisumlem3  26174  dchrmusum2  26177  dchrisum0lem1b  26198  dchrisum0lem1  26199  dchrisum0lem2a  26200  dchrisum0lem3  26202  mudivsum  26213  mulogsumlem  26214  selberglem2  26229  pntrlog2bndlem6  26266  pntpbnd2  26270  pntlemg  26281  pntlemr  26285  pntlemj  26286  pntlemf  26288  pntlemk  26289  minvecolem4  28762  dnicld1  34223  dnibndlem2  34230  dnibndlem3  34231  dnibndlem4  34232  dnibndlem5  34233  dnibndlem7  34235  dnibndlem8  34236  dnibndlem9  34237  dnibndlem10  34238  dnibndlem11  34239  dnibndlem13  34241  dnibnd  34242  knoppcnlem4  34247  ltflcei  35347  leceifl  35348  opnmbllem0  35395  itg2addnclem2  35411  itg2addnclem3  35412  aks4d1p1p2  39658  hashnzfzclim  41421  lefldiveq  42314  fourierdlem4  43141  fourierdlem26  43163  fourierdlem47  43183  fourierdlem65  43201  flsubz  45318  dignn0flhalflem2  45417