Theorem reflcl 13817

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12688	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  ⌊cfl 13811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fl 13813

This theorem is referenced by:  fllep1  13822  fraclt1  13823  fracle1  13824  fracge0  13825  fllt  13827  flflp1  13828  flid  13829  flltnz  13832  flval3  13836  refldivcl  13844  fladdz  13846  flzadd  13847  flmulnn0  13848  flltdivnn0lt  13854  ceige  13865  ceim1l  13868  flleceil  13874  fleqceilz  13875  intfracq  13880  fldiv  13881  uzsup  13884  modvalr  13893  modfrac  13905  flmod  13906  intfrac  13907  modmulnn  13910  modcyc  13927  modadd1  13929  moddi  13963  modirr  13966  digit2  14260  digit1  14261  facavg  14325  rddif  15380  absrdbnd  15381  rexuzre  15392  o1fsum  15853  flo1  15896  isprm7  16755  opnmbllem  25717  mbfi1fseqlem1  25831  mbfi1fseqlem3  25833  mbfi1fseqlem4  25834  mbfi1fseqlem5  25835  mbfi1fseqlem6  25836  dvfsumlem1  26142  dvfsumlem2  26143  dvfsumlem3  26144  dvfsumlem4  26145  dvfsum2  26150  harmonicbnd4  27129  chtfl  27267  chpfl  27268  ppieq0  27294  ppiltx  27295  ppiub  27322  chpeq0  27326  chtub  27330  logfac2  27335  chpub  27338  logfacubnd  27339  logfaclbnd  27340  lgsquadlem1  27498  chtppilimlem1  27591  vmadivsum  27600  dchrisumlema  27606  dchrisumlem1  27607  dchrisumlem3  27609  dchrmusum2  27612  dchrisum0lem1b  27633  dchrisum0lem1  27634  dchrisum0lem2a  27635  dchrisum0lem3  27637  mudivsum  27648  mulogsumlem  27649  selberglem2  27664  pntrlog2bndlem6  27701  pntpbnd2  27705  pntlemg  27716  pntlemr  27720  pntlemj  27721  pntlemf  27723  pntlemk  27724  minvecolem4  31137  dnicld1  36918  dnibndlem2  36925  dnibndlem3  36926  dnibndlem4  36927  dnibndlem5  36928  dnibndlem7  36930  dnibndlem8  36931  dnibndlem9  36932  dnibndlem10  36933  dnibndlem11  36934  dnibndlem13  36936  dnibnd  36937  knoppcnlem4  36942  ltflcei  38114  leceifl  38115  opnmbllem0  38162  itg2addnclem2  38178  itg2addnclem3  38179  aks4d1p1p2  42694  aks6d1c7lem1  42804  hashnzfzclim  44891  lefldiveq  45870  fourierdlem4  46684  fourierdlem26  46706  fourierdlem47  46726  fourierdlem65  46744  flsubz  49154  dignn0flhalflem2  49248