MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reflcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reflcl 13761
Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
reflcl (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl
StepHypRef Expression
1 flcl 13760 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21zred 12666 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6544  cr 11109  cfl 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757
This theorem is referenced by:  fllep1  13766  fraclt1  13767  fracle1  13768  fracge0  13769  fllt  13771  flflp1  13772  flid  13773  flltnz  13776  flval3  13780  refldivcl  13788  fladdz  13790  flzadd  13791  flmulnn0  13792  flltdivnn0lt  13798  ceige  13809  ceim1l  13812  flleceil  13818  fleqceilz  13819  intfracq  13824  fldiv  13825  uzsup  13828  modvalr  13837  modfrac  13849  flmod  13850  intfrac  13851  modmulnn  13854  modcyc  13871  modadd1  13873  moddi  13904  modirr  13907  digit2  14199  digit1  14200  facavg  14261  rddif  15287  absrdbnd  15288  rexuzre  15299  o1fsum  15759  flo1  15800  isprm7  16645  opnmbllem  25118  mbfi1fseqlem1  25233  mbfi1fseqlem3  25235  mbfi1fseqlem4  25236  mbfi1fseqlem5  25237  mbfi1fseqlem6  25238  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  dvfsumlem3  25545  dvfsumlem4  25546  dvfsum2  25551  harmonicbnd4  26515  chtfl  26653  chpfl  26654  ppieq0  26680  ppiltx  26681  ppiub  26707  chpeq0  26711  chtub  26715  logfac2  26720  chpub  26723  logfacubnd  26724  logfaclbnd  26725  lgsquadlem1  26883  chtppilimlem1  26976  vmadivsum  26985  dchrisumlema  26991  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem3  26994  dchrmusum2  26997  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem3  27022  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  selberglem2  27049  pntrlog2bndlem6  27086  pntpbnd2  27090  pntlemg  27101  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemk  27109  minvecolem4  30133  gg-dvfsumlem2  35183  dnicld1  35348  dnibndlem2  35355  dnibndlem3  35356  dnibndlem4  35357  dnibndlem5  35358  dnibndlem7  35360  dnibndlem8  35361  dnibndlem9  35362  dnibndlem10  35363  dnibndlem11  35364  dnibndlem13  35366  dnibnd  35367  knoppcnlem4  35372  ltflcei  36476  leceifl  36477  opnmbllem0  36524  itg2addnclem2  36540  itg2addnclem3  36541  aks4d1p1p2  40935  hashnzfzclim  43081  lefldiveq  44002  fourierdlem4  44827  fourierdlem26  44849  fourierdlem47  44869  fourierdlem65  44887  flsubz  47203  dignn0flhalflem2  47302
  Copyright terms: Public domain W3C validator