Theorem reflcl 13797

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12699	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  ℝcr 11139  ⌊cfl 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fl 13793

This theorem is referenced by:  fllep1  13802  fraclt1  13803  fracle1  13804  fracge0  13805  fllt  13807  flflp1  13808  flid  13809  flltnz  13812  flval3  13816  refldivcl  13824  fladdz  13826  flzadd  13827  flmulnn0  13828  flltdivnn0lt  13834  ceige  13845  ceim1l  13848  flleceil  13854  fleqceilz  13855  intfracq  13860  fldiv  13861  uzsup  13864  modvalr  13873  modfrac  13885  flmod  13886  intfrac  13887  modmulnn  13890  modcyc  13907  modadd1  13909  moddi  13940  modirr  13943  digit2  14234  digit1  14235  facavg  14296  rddif  15323  absrdbnd  15324  rexuzre  15335  o1fsum  15795  flo1  15836  isprm7  16682  opnmbllem  25574  mbfi1fseqlem1  25689  mbfi1fseqlem3  25691  mbfi1fseqlem4  25692  mbfi1fseqlem5  25693  mbfi1fseqlem6  25694  dvfsumlem1  26004  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  dvfsumlem3  26007  dvfsumlem4  26008  dvfsum2  26013  harmonicbnd4  26988  chtfl  27126  chpfl  27127  ppieq0  27153  ppiltx  27154  ppiub  27182  chpeq0  27186  chtub  27190  logfac2  27195  chpub  27198  logfacubnd  27199  logfaclbnd  27200  lgsquadlem1  27358  chtppilimlem1  27451  vmadivsum  27460  dchrisumlema  27466  dchrisumlem1  27467  dchrisumlem3  27469  dchrmusum2  27472  dchrisum0lem1b  27493  dchrisum0lem1  27494  dchrisum0lem2a  27495  dchrisum0lem3  27497  mudivsum  27508  mulogsumlem  27509  selberglem2  27524  pntrlog2bndlem6  27561  pntpbnd2  27565  pntlemg  27576  pntlemr  27580  pntlemj  27581  pntlemf  27583  pntlemk  27584  minvecolem4  30762  dnicld1  36075  dnibndlem2  36082  dnibndlem3  36083  dnibndlem4  36084  dnibndlem5  36085  dnibndlem7  36087  dnibndlem8  36088  dnibndlem9  36089  dnibndlem10  36090  dnibndlem11  36091  dnibndlem13  36093  dnibnd  36094  knoppcnlem4  36099  ltflcei  37209  leceifl  37210  opnmbllem0  37257  itg2addnclem2  37273  itg2addnclem3  37274  aks4d1p1p2  41670  aks6d1c7lem1  41780  hashnzfzclim  43898  lefldiveq  44809  fourierdlem4  45634  fourierdlem26  45656  fourierdlem47  45676  fourierdlem65  45694  flsubz  47773  dignn0flhalflem2  47872