Theorem reflcl 13803

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12674	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  ⌊cfl 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fl 13799

This theorem is referenced by:  fllep1  13808  fraclt1  13809  fracle1  13810  fracge0  13811  fllt  13813  flflp1  13814  flid  13815  flltnz  13818  flval3  13822  refldivcl  13830  fladdz  13832  flzadd  13833  flmulnn0  13834  flltdivnn0lt  13840  ceige  13851  ceim1l  13854  flleceil  13860  fleqceilz  13861  intfracq  13866  fldiv  13867  uzsup  13870  modvalr  13879  modfrac  13891  flmod  13892  intfrac  13893  modmulnn  13896  modcyc  13913  modadd1  13915  moddi  13949  modirr  13952  digit2  14246  digit1  14247  facavg  14311  rddif  15351  absrdbnd  15352  rexuzre  15363  o1fsum  15824  flo1  15867  isprm7  16726  opnmbllem  25643  mbfi1fseqlem1  25757  mbfi1fseqlem3  25759  mbfi1fseqlem4  25760  mbfi1fseqlem5  25761  mbfi1fseqlem6  25762  dvfsumlem1  26068  dvfsumlem2  26069  dvfsumlem3  26070  dvfsumlem4  26071  dvfsum2  26076  harmonicbnd4  27052  chtfl  27190  chpfl  27191  ppieq0  27217  ppiltx  27218  ppiub  27245  chpeq0  27249  chtub  27253  logfac2  27258  chpub  27261  logfacubnd  27262  logfaclbnd  27263  lgsquadlem1  27421  chtppilimlem1  27514  vmadivsum  27523  dchrisumlema  27529  dchrisumlem1  27530  dchrisumlem3  27532  dchrmusum2  27535  dchrisum0lem1b  27556  dchrisum0lem1  27557  dchrisum0lem2a  27558  dchrisum0lem3  27560  mudivsum  27571  mulogsumlem  27572  selberglem2  27587  pntrlog2bndlem6  27624  pntpbnd2  27628  pntlemg  27639  pntlemr  27643  pntlemj  27644  pntlemf  27646  pntlemk  27647  minvecolem4  31029  dnicld1  36874  dnibndlem2  36881  dnibndlem3  36882  dnibndlem4  36883  dnibndlem5  36884  dnibndlem7  36886  dnibndlem8  36887  dnibndlem9  36888  dnibndlem10  36889  dnibndlem11  36890  dnibndlem13  36892  dnibnd  36893  knoppcnlem4  36898  ltflcei  38071  leceifl  38072  opnmbllem0  38119  itg2addnclem2  38135  itg2addnclem3  38136  aks4d1p1p2  42651  aks6d1c7lem1  42761  hashnzfzclim  44862  lefldiveq  45835  fourierdlem4  46649  fourierdlem26  46671  fourierdlem47  46691  fourierdlem65  46709  flsubz  49108  dignn0flhalflem2  49202