Theorem reflcl 13831

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12701	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  ℝcr 11100  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827

This theorem is referenced by:  fllep1  13836  fraclt1  13837  fracle1  13838  fracge0  13839  fllt  13841  flflp1  13842  flid  13843  flltnz  13846  flval3  13850  refldivcl  13858  fladdz  13860  flzadd  13861  flmulnn0  13862  flltdivnn0lt  13868  ceige  13879  ceim1l  13882  flleceil  13888  fleqceilz  13889  intfracq  13894  fldiv  13895  uzsup  13898  modvalr  13907  modfrac  13919  flmod  13920  intfrac  13921  modmulnn  13924  modcyc  13941  modadd1  13943  moddi  13977  modirr  13980  digit2  14274  digit1  14275  facavg  14339  rddif  15394  absrdbnd  15395  rexuzre  15406  o1fsum  15867  flo1  15910  isprm7  16768  opnmbllem  25741  mbfi1fseqlem1  25855  mbfi1fseqlem3  25857  mbfi1fseqlem4  25858  mbfi1fseqlem5  25859  mbfi1fseqlem6  25860  dvfsumlem1  26166  dvfsumlem2  26167  dvfsumlem3  26168  dvfsumlem4  26169  dvfsum2  26174  harmonicbnd4  27156  chtfl  27294  chpfl  27295  ppieq0  27321  ppiltx  27322  ppiub  27349  chpeq0  27353  chtub  27357  logfac2  27362  chpub  27365  logfacubnd  27366  logfaclbnd  27367  lgsquadlem1  27525  chtppilimlem1  27618  vmadivsum  27627  dchrisumlema  27633  dchrisumlem1  27634  dchrisumlem3  27636  dchrmusum2  27639  dchrisum0lem1b  27660  dchrisum0lem1  27661  dchrisum0lem2a  27662  dchrisum0lem3  27664  mudivsum  27675  mulogsumlem  27676  selberglem2  27691  pntrlog2bndlem6  27728  pntpbnd2  27732  pntlemg  27743  pntlemr  27747  pntlemj  27748  pntlemf  27750  pntlemk  27751  minvecolem4  31213  dnicld1  37042  dnibndlem2  37049  dnibndlem3  37050  dnibndlem4  37051  dnibndlem5  37052  dnibndlem7  37054  dnibndlem8  37055  dnibndlem9  37056  dnibndlem10  37057  dnibndlem11  37058  dnibndlem13  37060  dnibnd  37061  knoppcnlem4  37066  ltflcei  38240  leceifl  38241  opnmbllem0  38288  itg2addnclem2  38304  itg2addnclem3  38305  aks4d1p1p2  42818  aks6d1c7lem1  42928  hashnzfzclim  45015  lefldiveq  45994  fourierdlem4  46808  fourierdlem26  46830  fourierdlem47  46850  fourierdlem65  46868  flsubz  49285  dignn0flhalflem2  49379