Theorem reflcl 13700

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12577	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fl 13696

This theorem is referenced by:  fllep1  13705  fraclt1  13706  fracle1  13707  fracge0  13708  fllt  13710  flflp1  13711  flid  13712  flltnz  13715  flval3  13719  refldivcl  13727  fladdz  13729  flzadd  13730  flmulnn0  13731  flltdivnn0lt  13737  ceige  13748  ceim1l  13751  flleceil  13757  fleqceilz  13758  intfracq  13763  fldiv  13764  uzsup  13767  modvalr  13776  modfrac  13788  flmod  13789  intfrac  13790  modmulnn  13793  modcyc  13810  modadd1  13812  moddi  13846  modirr  13849  digit2  14143  digit1  14144  facavg  14208  rddif  15248  absrdbnd  15249  rexuzre  15260  o1fsum  15720  flo1  15761  isprm7  16619  opnmbllem  25530  mbfi1fseqlem1  25644  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem4  25647  mbfi1fseqlem5  25648  mbfi1fseqlem6  25649  dvfsumlem1  25960  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  dvfsumlem3  25963  dvfsumlem4  25964  dvfsum2  25969  harmonicbnd4  26949  chtfl  27087  chpfl  27088  ppieq0  27114  ppiltx  27115  ppiub  27143  chpeq0  27147  chtub  27151  logfac2  27156  chpub  27159  logfacubnd  27160  logfaclbnd  27161  lgsquadlem1  27319  chtppilimlem1  27412  vmadivsum  27421  dchrisumlema  27427  dchrisumlem1  27428  dchrisumlem3  27430  dchrmusum2  27433  dchrisum0lem1b  27454  dchrisum0lem1  27455  dchrisum0lem2a  27456  dchrisum0lem3  27458  mudivsum  27469  mulogsumlem  27470  selberglem2  27485  pntrlog2bndlem6  27522  pntpbnd2  27526  pntlemg  27537  pntlemr  27541  pntlemj  27542  pntlemf  27544  pntlemk  27545  minvecolem4  30858  dnicld1  36512  dnibndlem2  36519  dnibndlem3  36520  dnibndlem4  36521  dnibndlem5  36522  dnibndlem7  36524  dnibndlem8  36525  dnibndlem9  36526  dnibndlem10  36527  dnibndlem11  36528  dnibndlem13  36530  dnibnd  36531  knoppcnlem4  36536  ltflcei  37654  leceifl  37655  opnmbllem0  37702  itg2addnclem2  37718  itg2addnclem3  37719  aks4d1p1p2  42109  aks6d1c7lem1  42219  hashnzfzclim  44361  lefldiveq  45339  fourierdlem4  46155  fourierdlem26  46177  fourierdlem47  46197  fourierdlem65  46215  flsubz  48560  dignn0flhalflem2  48654