Theorem reflcl 13160

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12081	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  ℝcr 10530  ⌊cfl 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fl 13156

This theorem is referenced by:  fllep1  13165  fraclt1  13166  fracle1  13167  fracge0  13168  fllt  13170  flflp1  13171  flid  13172  flltnz  13175  flval3  13179  refldivcl  13187  fladdz  13189  flzadd  13190  flmulnn0  13191  flltdivnn0lt  13197  ceige  13207  ceim1l  13209  flleceil  13215  fleqceilz  13216  intfracq  13221  fldiv  13222  uzsup  13225  modvalr  13234  modfrac  13246  flmod  13247  intfrac  13248  modmulnn  13251  modcyc  13268  modadd1  13270  moddi  13301  modirr  13304  digit2  13591  digit1  13592  facavg  13655  rddif  14694  absrdbnd  14695  rexuzre  14706  o1fsum  15162  flo1  15203  isprm7  16046  opnmbllem  24196  mbfi1fseqlem1  24310  mbfi1fseqlem3  24312  mbfi1fseqlem4  24313  mbfi1fseqlem5  24314  mbfi1fseqlem6  24315  dvfsumlem1  24617  dvfsumlem2  24618  dvfsumlem3  24619  dvfsumlem4  24620  dvfsum2  24625  harmonicbnd4  25582  chtfl  25720  chpfl  25721  ppieq0  25747  ppiltx  25748  ppiub  25774  chpeq0  25778  chtub  25782  logfac2  25787  chpub  25790  logfacubnd  25791  logfaclbnd  25792  lgsquadlem1  25950  chtppilimlem1  26043  vmadivsum  26052  dchrisumlema  26058  dchrisumlem1  26059  dchrisumlem3  26061  dchrmusum2  26064  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem3  26089  mudivsum  26100  mulogsumlem  26101  selberglem2  26116  pntrlog2bndlem6  26153  pntpbnd2  26157  pntlemg  26168  pntlemr  26172  pntlemj  26173  pntlemf  26175  pntlemk  26176  minvecolem4  28651  dnicld1  33806  dnibndlem2  33813  dnibndlem3  33814  dnibndlem4  33815  dnibndlem5  33816  dnibndlem7  33818  dnibndlem8  33819  dnibndlem9  33820  dnibndlem10  33821  dnibndlem11  33822  dnibndlem13  33824  dnibnd  33825  knoppcnlem4  33830  ltflcei  34874  leceifl  34875  opnmbllem0  34922  itg2addnclem2  34938  itg2addnclem3  34939  hashnzfzclim  40647  lefldiveq  41551  fourierdlem4  42389  fourierdlem26  42411  fourierdlem47  42431  fourierdlem65  42449  flsubz  44570  dignn0flhalflem2  44669