Theorem reflcl 13818

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13817	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 12702	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  ℝcr 11133  ⌊cfl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fl 13814

This theorem is referenced by:  fllep1  13823  fraclt1  13824  fracle1  13825  fracge0  13826  fllt  13828  flflp1  13829  flid  13830  flltnz  13833  flval3  13837  refldivcl  13845  fladdz  13847  flzadd  13848  flmulnn0  13849  flltdivnn0lt  13855  ceige  13866  ceim1l  13869  flleceil  13875  fleqceilz  13876  intfracq  13881  fldiv  13882  uzsup  13885  modvalr  13894  modfrac  13906  flmod  13907  intfrac  13908  modmulnn  13911  modcyc  13928  modadd1  13930  moddi  13962  modirr  13965  digit2  14259  digit1  14260  facavg  14324  rddif  15364  absrdbnd  15365  rexuzre  15376  o1fsum  15834  flo1  15875  isprm7  16732  opnmbllem  25559  mbfi1fseqlem1  25673  mbfi1fseqlem3  25675  mbfi1fseqlem4  25676  mbfi1fseqlem5  25677  mbfi1fseqlem6  25678  dvfsumlem1  25989  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem3  25992  dvfsumlem4  25993  dvfsum2  25998  harmonicbnd4  26978  chtfl  27116  chpfl  27117  ppieq0  27143  ppiltx  27144  ppiub  27172  chpeq0  27176  chtub  27180  logfac2  27185  chpub  27188  logfacubnd  27189  logfaclbnd  27190  lgsquadlem1  27348  chtppilimlem1  27441  vmadivsum  27450  dchrisumlema  27456  dchrisumlem1  27457  dchrisumlem3  27459  dchrmusum2  27462  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  dchrisum0lem3  27487  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  selberglem2  27514  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd2  27555  pntlemg  27566  pntlemr  27570  pntlemj  27571  pntlemf  27573  pntlemk  27574  minvecolem4  30866  dnicld1  36495  dnibndlem2  36502  dnibndlem3  36503  dnibndlem4  36504  dnibndlem5  36505  dnibndlem7  36507  dnibndlem8  36508  dnibndlem9  36509  dnibndlem10  36510  dnibndlem11  36511  dnibndlem13  36513  dnibnd  36514  knoppcnlem4  36519  ltflcei  37637  leceifl  37638  opnmbllem0  37685  itg2addnclem2  37701  itg2addnclem3  37702  aks4d1p1p2  42088  aks6d1c7lem1  42198  hashnzfzclim  44313  lefldiveq  45288  fourierdlem4  46107  fourierdlem26  46129  fourierdlem47  46149  fourierdlem65  46167  flsubz  48465  dignn0flhalflem2  48563