Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneq0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneq0b 19866
 Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneq0b.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0b.o 0 = (0g𝑊)
lspsneq0b.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq0b.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsneq0b.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneq0b.y (𝜑𝑌𝑉)
lspsneq0b.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspsneq0b (𝜑 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0b
StepHypRef Expression
1 lspsneq0b.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3 lspsneq0b.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspsneq0b.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
5 lspsneq0b.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lspsneq0b.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7 lspsneq0b.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
85, 6, 7lspsneq0 19865 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
93, 4, 8syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
109biimpar 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
112, 10eqtr3d 2795 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
12 lspsneq0b.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
135, 6, 7lspsneq0 19865 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
143, 12, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
1611, 15mpbid 235 . 2 ((𝜑𝑋 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
171adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
1814biimpar 481 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
1917, 18eqtrd 2793 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
209adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
2119, 20mpbid 235 . 2 ((𝜑𝑌 = 0 ) → 𝑋 = 0 )
2216, 21impbida 800 1 (𝜑 → (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ‘cfv 6340  Basecbs 16554  0gc0g 16784  LModclmod 19715  LSpanclspn 19824 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-mgp 19321  df-ring 19380  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825 This theorem is referenced by:  lspsneq  19975
 Copyright terms: Public domain W3C validator