Theorem lspsneq0b 20275

Description: Equal singleton spans imply both arguments are zero or both are nonzero. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneq0b.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneq0b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneq0b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsneq0b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsneq0b.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0b	⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem lspsneq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0b.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsneq0b.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsneq0b.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsneq0b.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspsneq0b.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspsneq0b.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	5, 6, 7	lspsneq0 20274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
9	3, 4, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
10	9	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	2, 10	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
12		lspsneq0b.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7	lspsneq0 20274	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
14	3, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑌}) = { 0 } ↔ 𝑌 = 0 ))
16	11, 15	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
17	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
18	14	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = { 0 })
19	17, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
20	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
21	19, 20	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑋 = 0 )
22	16, 21	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234

This theorem is referenced by:  lspsneq  20384