Theorem lmodindp1 20861

Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lmodindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lmodindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lmodindp1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lmodindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodindp1.q	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lmodindp1.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodindp1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodindp1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
6		lmodindp1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7	4, 5, 6	lspsnneg 20853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
8	2, 3, 7	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
9	8	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}))
11		lmodgrp 20713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
13		lmodindp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14		lmodindp1.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15		lmodindp1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	4, 14, 15, 5	grpinvid1 18921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
17	12, 3, 13, 16	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
18	17	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑋) = 𝑌)
19	18	sneqd 4635	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → {((invg‘𝑊)‘𝑋)} = {𝑌})
20	19	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	10, 20	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
23	22	necon3d 2955	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819

This theorem is referenced by:  lcfrlem17  40943  mapdh6aN  41119  mapdh6eN  41124  hdmap1l6a  41193  hdmap1l6e  41198  hdmaprnlem3eN  41242