MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodindp1 20902
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lmodindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lmodindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lmodindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lmodindp1.q (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lmodindp1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
74, 5, 6lspsnneg 20894 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
82, 3, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
98eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}))
109adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}))
11 lmodgrp 20754 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
122, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Š)
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
164, 14, 15, 5grpinvid1 18952 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ))
1712, 3, 13, 16syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ ↔ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ))
1817biimpar 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = π‘Œ)
1918sneqd 4636 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ {((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)} = {π‘Œ})
2019fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
2110, 20eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
2221ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
2322necon3d 2951 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 ))
241, 23mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860
This theorem is referenced by:  lcfrlem17  41088  mapdh6aN  41264  mapdh6eN  41269  hdmap1l6a  41338  hdmap1l6e  41343  hdmaprnlem3eN  41387
  Copyright terms: Public domain W3C validator