Theorem lmodpropd 20882

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lmodpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lmodpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lmodpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lmodpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lmodpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lmodpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lmodpropd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
5		lmodpropd.6	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
6		lmodpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
7	6	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
8	5, 7	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
9		lmodpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
10	9	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
11	5, 10	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
12		lmodpropd.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
13	6, 9	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
15	14	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (+g‘(Scalar‘𝐾)) = (+g‘(Scalar‘𝐿)))
16	15	oveqd 7422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
17	14	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (.r‘(Scalar‘𝐾)) = (.r‘(Scalar‘𝐿)))
18	17	oveqd 7422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
19		lmodpropd.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 20881	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  LModclmod 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819

This theorem is referenced by:  lmhmpropd  21031  lvecpropd  21128  assapropd  21832  opsrlmod  22181  matlmod  22367  mnringlmodd  44250