Theorem lmodpropd 20923

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lmodpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lmodpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lmodpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lmodpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lmodpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lmodpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lmodpropd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
5		lmodpropd.6	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
6		lmodpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
7	6	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
8	5, 7	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
9		lmodpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
10	9	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
11	5, 10	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
12		lmodpropd.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
13	6, 9	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
15	14	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (+g‘(Scalar‘𝐾)) = (+g‘(Scalar‘𝐿)))
16	15	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
17	14	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (.r‘(Scalar‘𝐾)) = (.r‘(Scalar‘𝐿)))
18	17	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
19		lmodpropd.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 20922	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860

This theorem is referenced by:  lmhmpropd  21072  lvecpropd  21169  assapropd  21892  opsrlmod  22247  matlmod  22435  mnringlmodd  44245