Theorem tnglvec 33598

Description: Augmenting a structure with a norm conserves left vector spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tnglvec.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tnglvec	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Proof of Theorem tnglvec

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		tnglvec.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tngbas 24578	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	2, 5	tngplusg 24579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
7	6	oveqdr 7431	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
8		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺))
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
10	2, 9	tngsca 24582	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
11		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
13	2, 12	tngvsca 24583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
14	13	oveqdr 7431	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)𝑦))
15	1, 4, 7, 8, 10, 11, 14	lvecpropd 21126	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  LVecclvec 21058   toNrmGrp ctng 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ds 17291  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-lmod 20817  df-lvec 21059  df-tng 24521

This theorem is referenced by:  tngdim  33599