Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tnglvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tnglvec 31110
 Description: Augmenting a structure with a norm conserves left vector spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tnglvec.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tnglvec (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Proof of Theorem tnglvec
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2799 . 2 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 tnglvec.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3tngbas 23254 . 2 (𝑁𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5 eqid 2798 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
62, 5tngplusg 23255 . . 3 (𝑁𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝑇))
76oveqdr 7163 . 2 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
8 eqidd 2799 . 2 (𝑁𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺))
9 eqid 2798 . . 3 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
102, 9tngsca 23258 . 2 (𝑁𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
11 eqid 2798 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
12 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
132, 12tngvsca 23259 . . 3 (𝑁𝑉 → ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝑇))
1413oveqdr 7163 . 2 ((𝑁𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑇)𝑦))
151, 4, 7, 8, 10, 11, 14lvecpropd 19935 1 (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  LVecclvec 19870   toNrmGrp ctng 23192 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ds 16581  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-lvec 19871  df-tng 23198 This theorem is referenced by:  tngdim  31111
 Copyright terms: Public domain W3C validator