Theorem tnglvec 33617

Description: Augmenting a structure with a norm conserves left vector spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tnglvec.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tnglvec	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Proof of Theorem tnglvec

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		tnglvec.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tngbas 24551	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	2, 5	tngplusg 24552	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
7	6	oveqdr 7369	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
8		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺))
9		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
10	2, 9	tngsca 24555	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑇))
11		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
13	2, 12	tngvsca 24556	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑇))
14	13	oveqdr 7369	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)𝑦))
15	1, 4, 7, 8, 10, 11, 14	lvecpropd 21099	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  LVecclvec 21031   toNrmGrp ctng 24488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ds 17178  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lvec 21032  df-tng 24494

This theorem is referenced by:  tngdim  33618