Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabdiophlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabdiophlem1 40334
Description: Lemma for arithmetic diophantine sets. Convert polynomial-ness of an expression into a constraint suitable for ralimi 3083. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabdiophlem1 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
Distinct variable group:   𝑡,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem rabdiophlem1
StepHypRef Expression
1 zex 12190 . . 3 ℤ ∈ V
2 nn0ssz 12203 . . 3 0 ⊆ ℤ
3 mapss 8575 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℤ) → (ℕ0m (1...𝑁)) ⊆ (ℤ ↑m (1...𝑁)))
41, 2, 3mp2an 692 . 2 (ℕ0m (1...𝑁)) ⊆ (ℤ ↑m (1...𝑁))
5 mzpf 40269 . . 3 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m (1...𝑁))⟶ℤ)
6 eqid 2737 . . . 4 (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴)
76fmpt 6932 . . 3 (∀𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m (1...𝑁))⟶ℤ)
85, 7sylibr 237 . 2 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
9 ssralv 3972 . 2 ((ℕ0m (1...𝑁)) ⊆ (ℤ ↑m (1...𝑁)) → (∀𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ))
104, 8, 9mpsyl 68 1 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3413  wss 3871  cmpt 5140  wf 6381  cfv 6385  (class class class)co 7218  m cmap 8513  1c1 10735  0cn0 12095  cz 12181  ...cfz 13100  mzPolycmzp 40255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-er 8396  df-map 8515  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-n0 12096  df-z 12182  df-mzpcl 40256  df-mzp 40257
This theorem is referenced by:  lerabdioph  40338  eluzrabdioph  40339  ltrabdioph  40341  nerabdioph  40342  dvdsrabdioph  40343
  Copyright terms: Public domain W3C validator