Theorem etransclem26 47409

Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem26.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
etransclem26	⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗, 𝑛, 𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗, 𝑛, 𝑐)   𝐽(𝑗, 𝑛, 𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem26.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))
2		etransclem26.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem26.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	etransclem12 47395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
5	1, 4	eleqtrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
6		fveq1 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
9	8	elrab 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
10	5, 9	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
11	10	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁)
12	11	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
13	12	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
14	13	oveq1d 7442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
15		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
16		fzfid 14126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17		nn0ex 12622	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		fzssnn0 46470	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19		mapss 8928	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
20	17, 18, 19	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀))
21	10	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
22	20, 21	sselid 3910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
23	15, 16, 22	mccl 46749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
24	14, 23	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12729	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
26		etransclem26.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27		etransclem26.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
28		elmapi 8880	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
29	21, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30		etransclem26.jz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	26, 27, 29, 30	etransclem10 47393	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32		fzfid 14126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
33	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
34	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35		0z 12714	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		fzp1ss 13719	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38		1e0p1 12871	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
39	38	oveq1i 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
40	39	eleq2i 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
41	40	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
42	37, 41	sselid 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
43	42	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
44	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	33, 34, 43, 44	etransclem3 47386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
46	32, 45	fprodzcl 16133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
47	31, 46	zmulcld 12819	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℤ)
48	25, 47	zmulcld 12819	1 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ifcif 4484   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353   − cmin 11551   / cdiv 11983  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ...cfz 13649  ↑cexp 14214  !cfa 14427  Σcsu 15865  ∏cprod 16084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-prod 16085

This theorem is used by:  etransclem28  47411  etransclem36  47419  etransclem38  47421