Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem26 41976
Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem26.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
etransclem26 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26
StepHypRef Expression
1 etransclem26.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
2 etransclem26.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
3 etransclem26.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3etransclem12 41962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
51, 4eleqtrd 2862 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
6 fveq1 6492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
76sumeq2sdv 14915 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
87eqeq1d 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
98elrab 3589 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
105, 9sylib 210 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1110simprd 488 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1211eqcomd 2778 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1312fveq2d 6497 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
1413oveq1d 6985 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
15 nfcv 2926 . . . . 5 𝑗𝐷
16 fzfid 13150 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 nn0ex 11708 . . . . . . 7 0 ∈ V
18 fzssnn0 41014 . . . . . . 7 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19 mapss 8245 . . . . . . 7 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2017, 18, 19mp2an 679 . . . . . 6 ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀))
2110simpld 487 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2220, 21sseldi 3850 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2315, 16, 22mccl 41310 . . . 4 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2414, 23eqeltrd 2860 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 11893 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem26.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
27 etransclem26.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
28 elmapi 8222 . . . . 5 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2921, 28syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30 etransclem26.jz . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3126, 27, 29, 30etransclem10 41960 . . 3 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32 fzfid 13150 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
3326adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3429adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35 0z 11798 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
36 fzp1ss 12768 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38 1e0p1 11948 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 6980 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4039eleq2i 2851 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4140biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4237, 41sseldi 3850 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4342adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4430adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4533, 34, 43, 44etransclem3 41953 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4632, 45fprodzcl 15162 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4731, 46zmulcld 11900 . 2 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
4825, 47zmulcld 11900 1 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3086  Vcvv 3409  wss 3823  ifcif 4344   class class class wbr 4923  cmpt 5002  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑚 cmap 8200  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   · cmul 10334   < clt 10468  cmin 10664   / cdiv 11092  cn 11433  0cn0 11701  cz 11787  ...cfz 12702  cexp 13238  !cfa 13442  Σcsu 14897  cprod 15113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-seq 13179  df-exp 13239  df-fac 13443  df-bc 13472  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-sum 14898  df-prod 15114
This theorem is referenced by:  etransclem28  41978  etransclem36  41986  etransclem38  41988
  Copyright terms: Public domain W3C validator