Theorem etransclem26 43366

Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem26.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
etransclem26	⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem26.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))
2		etransclem26.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem26.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	etransclem12 43352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
5	1, 4	eleqtrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
6		fveq1 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
9	8	elrab 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
10	5, 9	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
11	10	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁)
12	11	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
13	12	fveq2d 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
14	13	oveq1d 7188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
15		nfcv 2900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
16		fzfid 13435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17		nn0ex 11985	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		fzssnn0 42417	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19		mapss 8502	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
20	17, 18, 19	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀))
21	10	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
22	20, 21	sseldi 3876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
23	15, 16, 22	mccl 42704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
24	14, 23	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
26		etransclem26.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27		etransclem26.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
28		elmapi 8462	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
29	21, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30		etransclem26.jz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	26, 27, 29, 30	etransclem10 43350	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32		fzfid 13435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
33	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
34	29	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35		0z 12076	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		fzp1ss 13052	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38		1e0p1 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
39	38	oveq1i 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
40	39	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
41	40	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
42	37, 41	sseldi 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
43	42	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
44	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	33, 34, 43, 44	etransclem3 43343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
46	32, 45	fprodzcl 15403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
47	31, 46	zmulcld 12177	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℤ)
48	25, 47	zmulcld 12177	1 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3058  Vcvv 3399   ⊆ wss 3844  ifcif 4415   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173   ↑_m cmap 8440  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621   · cmul 10623   < clt 10756   − cmin 10951   / cdiv 11378  ℕcn 11719  ℕ₀cn0 11979  ℤcz 12065  ...cfz 12984  ↑cexp 13524  !cfa 13728  Σcsu 15138  ∏cprod 15354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-seq 13464  df-exp 13525  df-fac 13729  df-bc 13758  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-sum 15139  df-prod 15355

This theorem is referenced by:  etransclem28  43368  etransclem36  43376  etransclem38  43378