Theorem etransclem26 45274

Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem26.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
etransclem26	⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem26.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))
2		etransclem26.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem26.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	etransclem12 45260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
5	1, 4	eleqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
6		fveq1 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
9	8	elrab 3682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
10	5, 9	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
11	10	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁)
12	11	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
13	12	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
14	13	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
15		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
16		fzfid 13942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17		nn0ex 12482	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		fzssnn0 44325	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19		mapss 8885	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
20	17, 18, 19	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑m (0...𝑀))
21	10	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
22	20, 21	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝑀)))
23	15, 16, 22	mccl 44612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
24	14, 23	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 12589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
26		etransclem26.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27		etransclem26.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
28		elmapi 8845	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
29	21, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30		etransclem26.jz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	26, 27, 29, 30	etransclem10 45258	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32		fzfid 13942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
33	26	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
34	29	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35		0z 12573	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		fzp1ss 13556	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38		1e0p1 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
39	38	oveq1i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
40	39	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
41	40	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
42	37, 41	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
43	42	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
44	30	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	33, 34, 43, 44	etransclem3 45251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
46	32, 45	fprodzcl 15902	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
47	31, 46	zmulcld 12676	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℤ)
48	25, 47	zmulcld 12676	1 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   − cmin 11448   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ...cfz 13488  ↑cexp 14031  !cfa 14237  Σcsu 15636  ∏cprod 15853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854

This theorem is referenced by:  etransclem28  45276  etransclem36  45284  etransclem38  45286