Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem26 45786
Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem26.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
etransclem26 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26
StepHypRef Expression
1 etransclem26.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
2 etransclem26.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
3 etransclem26.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3etransclem12 45772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
51, 4eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
6 fveq1 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
76sumeq2sdv 15686 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
87eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
98elrab 3679 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
105, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1110simprd 494 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1211eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1312fveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
1413oveq1d 7434 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
15 nfcv 2891 . . . . 5 𝑗𝐷
16 fzfid 13974 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 nn0ex 12511 . . . . . . 7 0 ∈ V
18 fzssnn0 44837 . . . . . . 7 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19 mapss 8908 . . . . . . 7 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2017, 18, 19mp2an 690 . . . . . 6 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
2110simpld 493 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2220, 21sselid 3974 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2315, 16, 22mccl 45124 . . . 4 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2414, 23eqeltrd 2825 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12618 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem26.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
27 etransclem26.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
28 elmapi 8868 . . . . 5 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2921, 28syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30 etransclem26.jz . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3126, 27, 29, 30etransclem10 45770 . . 3 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32 fzfid 13974 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
3326adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3429adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35 0z 12602 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
36 fzp1ss 13587 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38 1e0p1 12752 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4039eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4237, 41sselid 3974 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4342adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4430adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4533, 34, 43, 44etransclem3 45763 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4632, 45fprodzcl 15934 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4731, 46zmulcld 12705 . 2 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
4825, 47zmulcld 12705 1 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  ...cfz 13519  cexp 14062  !cfa 14268  Σcsu 15668  cprod 15885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-prod 15886
This theorem is referenced by:  etransclem28  45788  etransclem36  45796  etransclem38  45798
  Copyright terms: Public domain W3C validator