Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem26 44491
Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem26.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
etransclem26 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26
StepHypRef Expression
1 etransclem26.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
2 etransclem26.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
3 etransclem26.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3etransclem12 44477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
51, 4eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
6 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
76sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
87eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
98elrab 3645 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
105, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1110simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1211eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1312fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
1413oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
15 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝐷
16 fzfid 13878 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 nn0ex 12419 . . . . . . 7 0 ∈ V
18 fzssnn0 43541 . . . . . . 7 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19 mapss 8827 . . . . . . 7 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2017, 18, 19mp2an 690 . . . . . 6 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
2110simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2220, 21sselid 3942 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2315, 16, 22mccl 43829 . . . 4 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2414, 23eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
2524nnzd 12526 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
26 etransclem26.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
27 etransclem26.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
28 elmapi 8787 . . . . 5 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2921, 28syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30 etransclem26.jz . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3126, 27, 29, 30etransclem10 44475 . . 3 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32 fzfid 13878 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
3326adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3429adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35 0z 12510 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
36 fzp1ss 13492 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38 1e0p1 12660 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
4039eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
4237, 41sselid 3942 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4342adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4430adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4533, 34, 43, 44etransclem3 44468 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4632, 45fprodzcl 15837 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4731, 46zmulcld 12613 . 2 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
4825, 47zmulcld 12613 1 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cexp 13967  !cfa 14173  Σcsu 15570  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  etransclem28  44493  etransclem36  44501  etransclem38  44503
  Copyright terms: Public domain W3C validator