Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem26 45275
Description: Every term in the sum of the ๐‘-th derivative of ๐น applied to ๐ฝ is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem26.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem26.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem26.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
etransclem26.jz (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
etransclem26.c ๐ถ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘›) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘›})
etransclem26.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (๐ถโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
etransclem26 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘,๐‘—   ๐‘€,๐‘,๐‘—,๐‘›   ๐‘,๐‘,๐‘›   ๐œ‘,๐‘—,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘)   ๐ถ(๐‘—,๐‘›,๐‘)   ๐ท(๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘—,๐‘›,๐‘)   ๐ฝ(๐‘—,๐‘›,๐‘)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem26
StepHypRef Expression
1 etransclem26.d . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (๐ถโ€˜๐‘))
2 etransclem26.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘›) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘›})
3 etransclem26.n . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
42, 3etransclem12 45261 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜๐‘) = {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘})
51, 4eleqtrd 2834 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘})
6 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = ๐ท โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐ทโ€˜๐‘—))
76sumeq2sdv 15655 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ๐ท โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—))
87eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐ท โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘))
98elrab 3683 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†” (๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘))
105, 9sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘))
1110simprd 495 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘)
1211eqcomd 2737 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—))
1312fveq2d 6895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)))
1413oveq1d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) = ((!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))))
15 nfcv 2902 . . . . 5 โ„ฒ๐‘—๐ท
16 fzfid 13943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘€) โˆˆ Fin)
17 nn0ex 12483 . . . . . . 7 โ„•0 โˆˆ V
18 fzssnn0 44326 . . . . . . 7 (0...๐‘) โІ โ„•0
19 mapss 8887 . . . . . . 7 ((โ„•0 โˆˆ V โˆง (0...๐‘) โІ โ„•0) โ†’ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โІ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
2017, 18, 19mp2an 689 . . . . . 6 ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โІ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€))
2110simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)))
2220, 21sselid 3980 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
2315, 16, 22mccl 44613 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„•)
2414, 23eqeltrd 2832 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12590 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
26 etransclem26.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
27 etransclem26.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
28 elmapi 8847 . . . . 5 (๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
2921, 28syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
30 etransclem26.jz . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3126, 27, 29, 30etransclem10 45259 . . 3 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) โˆˆ โ„ค)
32 fzfid 13943 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
3326adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3429adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
35 0z 12574 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค
36 fzp1ss 13557 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) โІ (0...๐‘€))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7 ((0 + 1)...๐‘€) โІ (0...๐‘€)
38 1e0p1 12724 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
3938oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 (1...๐‘€) = ((0 + 1)...๐‘€)
4039eleq2i 2824 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€))
4237, 41sselid 3980 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
4342adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
4430adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4533, 34, 43, 44etransclem3 45252 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
4632, 45fprodzcl 15903 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
4731, 46zmulcld 12677 . 2 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ โ„ค)
4825, 47zmulcld 12677 1 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   โІ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ†‘m cmap 8824  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238  ฮฃcsu 15637  โˆcprod 15854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-prod 15855
This theorem is referenced by:  etransclem28  45277  etransclem36  45285  etransclem38  45287
  Copyright terms: Public domain W3C validator