Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem28 45573
Description: (๐‘ƒ โˆ’ 1) factorial divides the ๐‘-th derivative of ๐น applied to ๐ฝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem28.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem28.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
etransclem28.c ๐ถ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘›) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘›})
etransclem28.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (๐ถโ€˜๐‘))
etransclem28.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
etransclem28.t ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))
Assertion
Ref Expression
etransclem28 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ ๐‘‡)
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘,๐‘—   ๐‘—,๐ฝ   ๐‘€,๐‘,๐‘—,๐‘›   ๐‘,๐‘,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘—   ๐œ‘,๐‘—,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘)   ๐ถ(๐‘—,๐‘›,๐‘)   ๐ท(๐‘›)   ๐‘ƒ(๐‘›,๐‘)   ๐‘‡(๐‘—,๐‘›,๐‘)   ๐ฝ(๐‘›,๐‘)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnm1nn0 12535 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
43faccld 14267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
54nnzd 12607 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (๐ถโ€˜๐‘))
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ถ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘›) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘›})
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
108, 9etransclem12 45557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜๐‘) = {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘})
117, 10eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘})
12 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ = ๐ท โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐ทโ€˜๐‘—))
1312sumeq2sdv 15674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = ๐ท โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—))
1413eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ๐ท โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘ โ†” ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘))
1514elrab 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†” (๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆง ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘))
1615simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘)
1817eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—))
1918fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘) = (!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)))
2019oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) = ((!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))))
21 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘—๐ท
22 fzfid 13962 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘€) โˆˆ Fin)
23 nn0ex 12500 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„•0 โˆˆ V
24 fzssnn0 44622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...๐‘) โІ โ„•0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†’ (0...๐‘) โІ โ„•0)
26 mapss 8899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„•0 โˆˆ V โˆง (0...๐‘) โІ โ„•0) โ†’ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โІ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
2723, 25, 26sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†’ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โІ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
28 elrabi 3674 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†’ ๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)))
2927, 28sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ {๐‘ โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โˆฃ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐‘โ€˜๐‘—) = ๐‘} โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„•0 โ†‘m (0...๐‘€)))
3121, 22, 30mccl 44909 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—)) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„•)
3220, 31eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12607 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
35 df-neg 11469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -๐‘— = (0 โˆ’ ๐‘—)
36 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ฝ = 0 โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) = (0 โˆ’ ๐‘—))
3735, 36eqtr4id 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ฝ = 0 โ†’ -๐‘— = (๐ฝ โˆ’ ๐‘—))
3837oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ฝ = 0 โ†’ (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))) = ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))
3938oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ฝ = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) = (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))
4039ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ = 0 โ†’ if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) = if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))
4140prodeq2ad 44903 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ = 0 โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) = โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))
4241adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) = โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)))
44 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ ((0...๐‘) โ†‘m (0...๐‘€)) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
471, 45, 46etransclem7 45552 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
4942, 48eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
506, 49zmulcld 12694 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ โ„ค)
516, 34, 503jca 1126 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ โ„ค))
52 dvdsmul1 16246 . . . . . . . 8 (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))
536, 49, 52syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))
54 dvdsmultr2 16266 . . . . . . 7 (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))))
5551, 53, 54sylc 65 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
5655adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
571ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
58 etransclem28.m . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
5958ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
6045ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
61 eqid 2727 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))
62 simplr 768 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฝ = 0)
63 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 45559 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท (-๐‘—โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
6556, 64breqtrrd 5170 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
66 dvds0 16240 . . . . . . 7 ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ 0)
675, 66syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ 0)
6867ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ 0)
691ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
7058ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
719ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7245ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
73 simplr 768 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ฝ = 0)
74 neqne 2943 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†’ (๐ทโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
7574adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ทโ€˜0) โ‰  (๐‘ƒ โˆ’ 1))
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 45560 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) = 0)
7768, 76breqtrrd 5170 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โˆง ยฌ (๐ทโ€˜0) = (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
7865, 77pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
791nnzd 12607 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
80 elfznn0 13618 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
8281nn0zd 12606 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 45571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค)
845, 79, 833jca 1126 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค))
8584adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค))
861nncnd 12250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
87 1cnd 11231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8886, 87npcand 11597 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘ƒ)
8988eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1))
9089fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ƒ) = (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)))
91 facp1 14261 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)))
923, 91syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)))
9388oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ))
9490, 92, 933eqtrrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) = (!โ€˜๐‘ƒ))
9594adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) = (!โ€˜๐‘ƒ))
961adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9758adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
989adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
9945adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ท:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
10017adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(๐ทโ€˜๐‘—) = ๐‘)
101 1zzd 12615 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10258nn0zd 12606 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
103102adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
10482adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
10581adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
106 neqne 2943 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐ฝ = 0 โ†’ ๐ฝ โ‰  0)
107106adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โ‰  0)
108 elnnne0 12508 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ โ„• โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ฝ โ‰  0))
109105, 107, 108sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•)
110109nnge1d 12282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ 1 โ‰ค ๐ฝ)
111 elfzle2 13529 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐‘€)
11246, 111syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐‘€)
113112adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โ‰ค ๐‘€)
114101, 103, 104, 110, 113elfzd 13516 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (1...๐‘€))
11596, 97, 98, 99, 100, 61, 114etransclem25 45570 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜๐‘ƒ) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
11695, 115eqbrtrd 5164 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
117 muldvds1 16249 . . . 4 (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐‘ƒ) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))))
11885, 116, 117sylc 65 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ฝ = 0) โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
11978, 118pm2.61dan 812 . 2 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—))))))))
120 etransclem28.t . 2 ๐‘‡ = (((!โ€˜๐‘) / โˆ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)(!โ€˜(๐ทโ€˜๐‘—))) ยท (if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ทโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ทโ€˜0))))) ยท โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ทโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘—)))))))
121119, 120breqtrrdi 5184 1 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆฅ ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  {crab 3427  Vcvv 3469   โІ wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ†‘m cmap 8836  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  ...cfz 13508  โ†‘cexp 14050  !cfa 14256  ฮฃcsu 15656  โˆcprod 15873   โˆฅ cdvds 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-prod 15874  df-dvds 16223
This theorem is referenced by:  etransclem37  45582  etransclem38  45583
  Copyright terms: Public domain W3C validator