Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem28 45883
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem28.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem28.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem28.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem28.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
etransclem28.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem28.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
Assertion
Ref Expression
etransclem28 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑗,𝐽   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝑇(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
43faccld 14301 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
54nnzd 12637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
108, 9etransclem12 45867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
117, 10eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 fveq1 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
1312sumeq2sdv 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1413eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1514elrab 3681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1615simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1817eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1918fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
2019oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
21 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐷
22 fzfid 13993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
23 nn0ex 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
24 fzssnn0 44932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (0...𝑁) ⊆ ℕ0)
26 mapss 8918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2723, 25, 26sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
28 elrabi 3675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2927, 28sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
3121, 22, 30mccl 45219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3220, 31eqeltrd 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3332nnzd 12637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
35 df-neg 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑗 = (0 − 𝑗)
36 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 = 0 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
3735, 36eqtr4id 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 = 0 → -𝑗 = (𝐽𝑗))
3837oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 = 0 → (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
3938oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 = 0 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
4039ifeq2d 4553 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 0 → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4140prodeq2ad 45213 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = 0 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4241adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
44 elmapi 8878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
471, 45, 46etransclem7 45862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4847adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4942, 48eqeltrd 2826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
506, 49zmulcld 12724 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
516, 34, 503jca 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ))
52 dvdsmul1 16280 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
536, 49, 52syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
54 dvdsmultr2 16300 . . . . . . 7 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
5551, 53, 54sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
5655adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
571ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
58 etransclem28.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5958ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6045ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
61 eqid 2726 . . . . . 6 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
62 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
63 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 45869 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
6556, 64breqtrrd 5181 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
66 dvds0 16274 . . . . . . 7 ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
675, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
6867ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
691ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7058ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
719ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7245ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
73 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
74 neqne 2938 . . . . . . 7 (¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7574adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 45870 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = 0)
7768, 76breqtrrd 5181 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
7865, 77pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
791nnzd 12637 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
80 elfznn0 13648 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
8281nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 45881 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
845, 79, 833jca 1125 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
8584adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
861nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
87 1cnd 11259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8886, 87npcand 11625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8988eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
9089fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
91 facp1 14295 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
923, 91syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
9388oveq2d 7440 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
9490, 92, 933eqtrrd 2771 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
9594adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
961adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
9758adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
989adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9945adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10017adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
101 1zzd 12645 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
10258nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
103102adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
10482adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
10581adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
106 neqne 2938 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
107106adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ≠ 0)
108 elnnne0 12538 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
109105, 107, 108sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
110109nnge1d 12312 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
111 elfzle2 13559 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
11246, 111syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝑀)
113112adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
114101, 103, 104, 110, 113elfzd 13546 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
11596, 97, 98, 99, 100, 61, 114etransclem25 45880 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
11695, 115eqbrtrd 5175 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
117 muldvds1 16283 . . . 4 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
11885, 116, 117sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
11978, 118pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
120 etransclem28.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
121119, 120breqtrrdi 5195 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cmpt 5236  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  m cmap 8855  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  ...cfz 13538  cexp 14081  !cfa 14290  Σcsu 15690  cprod 15907  cdvds 16256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-prod 15908  df-dvds 16257
This theorem is referenced by:  etransclem37  45892  etransclem38  45893
  Copyright terms: Public domain W3C validator