Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem28 42532
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem28.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem28.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem28.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem28.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
etransclem28.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem28.t 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
Assertion
Ref Expression
etransclem28 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑗,𝐽   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝑇(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 11930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
43faccld 13636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
54nnzd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
65adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝑁))
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
108, 9etransclem12 42516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
117, 10eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
1312sumeq2sdv 15053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1413eqeq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1514elrab 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁))
1615simprbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
1817eqcomd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
1918fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
2019oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
21 nfcv 2975 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐷
22 fzfid 13333 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
23 nn0ex 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
24 fzssnn0 41569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (0...𝑁) ⊆ ℕ0)
26 mapss 8445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2723, 25, 26sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
28 elrabi 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2927, 28sseldd 3966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
3121, 22, 30mccl 41863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3220, 31eqeltrd 2911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
3332nnzd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
3433adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
35 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 = 0 → (𝐽𝑗) = (0 − 𝑗))
36 df-neg 10865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑗 = (0 − 𝑗)
3735, 36syl6reqr 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 = 0 → -𝑗 = (𝐽𝑗))
3837oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 = 0 → (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
3938oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 = 0 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
4039ifeq2d 4484 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = 0 → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4140prodeq2ad 41857 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = 0 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4241adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
44 elmapi 8420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
471, 45, 46etransclem7 42511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4847adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
4942, 48eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = 0) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
506, 49zmulcld 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ)
516, 34, 503jca 1122 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ))
52 dvdsmul1 15623 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
536, 49, 52syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
54 dvdsmultr2 15641 . . . . . . 7 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
5551, 53, 54sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
5655adantr 483 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
571ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
58 etransclem28.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5958ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6045ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
61 eqid 2819 . . . . . 6 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
62 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
63 simpr 487 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 42518 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · (-𝑗↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
6556, 64breqtrrd 5085 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
66 dvds0 15617 . . . . . . 7 ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
675, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
6867ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 0)
691ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7058ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
719ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7245ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
73 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝐽 = 0)
74 neqne 3022 . . . . . . 7 (¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7574adantl 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 42519 . . . . 5 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = 0)
7768, 76breqtrrd 5085 . . . 4 (((𝜑𝐽 = 0) ∧ ¬ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
7865, 77pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
791nnzd 12078 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
80 elfznn0 12992 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
8281nn0zd 12077 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 42530 . . . . . 6 (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ)
845, 79, 833jca 1122 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
8584adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ))
861nncnd 11646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
87 1cnd 10628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8886, 87npcand 10993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8988eqcomd 2825 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
9089fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
91 facp1 13630 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
923, 91syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
9388oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
9490, 92, 933eqtrrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
9594adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (!‘𝑃))
961adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
9758adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
989adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9945adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10017adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝑁)
101 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ∈ ℤ)
10258nn0zd 12077 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
103102adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
10482adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℤ)
105101, 103, 1043jca 1122 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
10681adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
107 neqne 3022 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0)
108107adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ≠ 0)
109 elnnne0 11903 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ℕ ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ≠ 0))
110106, 108, 109sylanbrc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ ℕ)
111110nnge1d 11677 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 1 ≤ 𝐽)
112 elfzle2 12903 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0...𝑀) → 𝐽𝑀)
11346, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽𝑀)
114113adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽𝑀)
115105, 111, 114jca32 518 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
116 elfz2 12891 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑀)))
117115, 116sylibr 236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → 𝐽 ∈ (1...𝑀))
11896, 97, 98, 99, 100, 61, 117etransclem25 42529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
11995, 118eqbrtrd 5079 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
120 muldvds1 15626 . . . 4 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))))
12185, 119, 120sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
12278, 121pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
123 etransclem28.t . 2 𝑇 = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
124122, 123breqtrrdi 5099 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  {crab 3140  Vcvv 3493  wss 3934  ifcif 4465   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  m cmap 8398  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12884  cexp 13421  !cfa 13625  Σcsu 15034  cprod 15251  cdvds 15599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-prod 15252  df-dvds 15600
This theorem is referenced by:  etransclem37  42541  etransclem38  42542
  Copyright terms: Public domain W3C validator