Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem37 44987
Description: (𝑃 βˆ’ 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem37.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem37.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem37.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem37.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem37.9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐽,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑗,𝑋,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)
Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
31, 2etransclem16 44966 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 nnm1nn0 12513 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
76faccld 14244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
87nnzd 12585 . . 3 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
91, 2etransclem12 44962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
109eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}))
1110biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
12 rabid 3453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1413simprd 497 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1615eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
1716fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) = (!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)))
1817oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))))
19 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗𝑐
20 fzfid 13938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ β„•0 ∈ V)
23 fzssnn0 44027 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
24 mapss 8883 . . . . . . . . . 10 ((β„•0 ∈ V ∧ (0...𝑁) βŠ† β„•0) β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2613simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 44314 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3018, 29eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3130nnzd 12585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„€)
324adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
35 elmapi 8843 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 13502 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
4032, 34, 36, 39etransclem10 44960 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) ∈ β„€)
41 fzfid 13938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4336adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
44 0z 12569 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
45 fzp1ss 13552 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀)
4746sseli 3979 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 12719 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
5342, 43, 51, 52etransclem3 44953 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5441, 53fprodzcl 15898 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5540, 54zmulcld 12672 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) ∈ β„€)
5631, 55zmulcld 12672 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
572adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
58 etransclem11 44961 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
591, 58eqtri 2761 . . . 4 𝐢 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
60 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
6137adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
6362fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6463cbvprodv 15860 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))
6564oveq2i 7420 . . . . 5 ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6662breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π‘β€˜π‘˜)))
6762oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))
6867fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
6968oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
70 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐽 βˆ’ 𝑗) = (𝐽 βˆ’ π‘˜))
7170, 67oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
7269, 71oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7366, 72ifbieq2d 4555 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7473cbvprodv 15860 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7574oveq2i 7420 . . . . 5 (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7665, 75oveq12i 7421 . . . 4 (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 44978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 16251 . 2 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
80 etransclem37.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 44981 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
8578, 84breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849   βˆ₯ cdvds 16197   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  etransclem44  44994  etransclem45  44995
  Copyright terms: Public domain W3C validator