Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem37 44586
Description: (𝑃 βˆ’ 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem37.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem37.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem37.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem37.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem37.9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐽,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑗,𝑋,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
31, 2etransclem16 44565 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 nnm1nn0 12461 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
76faccld 14191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
87nnzd 12533 . . 3 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
91, 2etransclem12 44561 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
109eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}))
1110biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
12 rabid 3430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1413simprd 497 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1615eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
1716fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) = (!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)))
1817oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))))
19 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗𝑐
20 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 12426 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ β„•0 ∈ V)
23 fzssnn0 43625 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
24 mapss 8834 . . . . . . . . . 10 ((β„•0 ∈ V ∧ (0...𝑁) βŠ† β„•0) β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2613simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3950 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 43913 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3018, 29eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3130nnzd 12533 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„€)
324adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
35 elmapi 8794 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 13449 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
4032, 34, 36, 39etransclem10 44559 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) ∈ β„€)
41 fzfid 13885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4336adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
44 0z 12517 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
45 fzp1ss 13499 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀)
4746sseli 3945 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 12667 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
5342, 43, 51, 52etransclem3 44552 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5441, 53fprodzcl 15844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5540, 54zmulcld 12620 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) ∈ β„€)
5631, 55zmulcld 12620 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
572adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
58 etransclem11 44560 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
591, 58eqtri 2765 . . . 4 𝐢 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
60 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
6137adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
6362fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6463cbvprodv 15806 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))
6564oveq2i 7373 . . . . 5 ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6662breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π‘β€˜π‘˜)))
6762oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))
6867fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
6968oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
70 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐽 βˆ’ 𝑗) = (𝐽 βˆ’ π‘˜))
7170, 67oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
7269, 71oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7366, 72ifbieq2d 4517 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7473cbvprodv 15806 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7574oveq2i 7373 . . . . 5 (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7665, 75oveq12i 7374 . . . 4 (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 44577 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 16197 . 2 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
80 etransclem37.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 44580 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
8578, 84breqtrrd 5138 1 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  Ξ£csu 15577  βˆcprod 15795   βˆ₯ cdvds 16143   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310  β„‚fldccnfld 20812   D𝑛 cdvn 25244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248
This theorem is referenced by:  etransclem44  44593  etransclem45  44594
  Copyright terms: Public domain W3C validator