Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem37 42433
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem37.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem37.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem37.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem37.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem37.9 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (𝜑𝐽𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 42412 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11926 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
76faccld 13632 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
87nnzd 12074 . . 3 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
91, 2etransclem12 42408 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
109eleq2d 2895 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐶𝑁) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁}))
1110biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 rabid 3376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1312biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1413simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1615eqcomd 2824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
1716fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
1817oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
19 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑗𝑐
20 fzfid 13329 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 11891 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ℕ0 ∈ V)
23 fzssnn0 41461 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
24 mapss 8441 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
2613simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3965 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 41755 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3018, 29eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3130nnzd 12074 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
324adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
35 elmapi 8417 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 41458 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4032, 34, 36, 39etransclem10 42406 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
41 fzfid 13329 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4336adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
44 0z 11980 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
45 fzp1ss 12946 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4746sseli 3960 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 12128 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2928 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
5342, 43, 51, 52etransclem3 42399 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5441, 53fprodzcl 15296 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5540, 54zmulcld 12081 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5631, 55zmulcld 12081 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
572adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
58 etransclem11 42407 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
591, 58eqtri 2841 . . . 4 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
60 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
6137adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
6362fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝑐𝑘)))
6463cbvprodv 15258 . . . . . 6 𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))
6564oveq2i 7156 . . . . 5 ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))
6662breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝑐𝑘)))
6762oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝑐𝑘)))
6867fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘))))
6968oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
70 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
7170, 67oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))
7269, 71oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7366, 72ifbieq2d 4488 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7473cbvprodv 15258 . . . . . 6 𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7574oveq2i 7156 . . . . 5 (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7665, 75oveq12i 7157 . . . 4 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 42424 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 15646 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
80 etransclem37.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (𝜑𝐽𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 42427 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
8578, 84breqtrrd 5085 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  cexp 13417  !cfa 13621  Σcsu 15030  cprod 15247  cdvds 15595  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473   D𝑛 cdvn 24389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-prod 15248  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-dvn 24393
This theorem is referenced by:  etransclem44  42440  etransclem45  42441
  Copyright terms: Public domain W3C validator