Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem37 41125
Description: (𝑃 − 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem37.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem37.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem37.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem37.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem37.9 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (𝜑𝐽𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝐽,𝑐,𝑗,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem16 41104 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11581 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
76faccld 13275 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
87nnzd 11728 . . 3 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
91, 2etransclem12 41100 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
109eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐶𝑁) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁}))
1110biimpa 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
12 rabid 3263 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1312biimpi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁))
1413simprd 489 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁)
1615eqcomd 2771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
1716fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
1817oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
19 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑗𝑐
20 fzfid 12980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 11545 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ℕ0 ∈ V)
23 fzssnn0 40171 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
24 mapss 8105 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2613simpld 488 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3762 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 40468 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3018, 29eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3130nnzd 11728 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
324adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3433adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
35 elmapi 8082 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 40168 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3938adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
4032, 34, 36, 39etransclem10 41098 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
41 fzfid 12980 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4336adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
44 0z 11635 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
45 fzp1ss 12599 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4746sseli 3757 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 11783 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 6852 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2862 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
5342, 43, 51, 52etransclem3 41091 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5441, 53fprodzcl 14967 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5540, 54zmulcld 11735 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5631, 55zmulcld 11735 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
572adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
58 etransclem11 41099 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
591, 58eqtri 2787 . . . 4 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
60 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
6137adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
6362fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝑐𝑘)))
6463cbvprodv 14929 . . . . . 6 𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))
6564oveq2i 6853 . . . . 5 ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))
6662breq2d 4821 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝑐𝑘)))
6762oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝑐𝑘)))
6867fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘))))
6968oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
70 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
7170, 67oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))
7269, 71oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7366, 72ifbieq2d 4268 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7473cbvprodv 14929 . . . . . 6 𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))
7574oveq2i 6853 . . . . 5 (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘))))))
7665, 75oveq12i 6854 . . . 4 (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝑐𝑘)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 41116 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 15315 . 2 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
80 etransclem37.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (𝜑𝐽𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 41119 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
8578, 84breqtrrd 4837 1 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  Vcvv 3350  wss 3732  ifcif 4243  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  cexp 13067  !cfa 13264  Σcsu 14701  cprod 14918  cdvds 15265  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019   D𝑛 cdvn 23919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-prod 14919  df-dvds 15266  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-dvn 23923
This theorem is referenced by:  etransclem44  41132  etransclem45  41133
  Copyright terms: Public domain W3C validator