Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem37 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem37 45285
Description: (𝑃 βˆ’ 1) factorial divides the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem37.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
etransclem37.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
etransclem37.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem37.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem37.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem37.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
etransclem37.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
etransclem37.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem37.9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem37.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem37 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝐽,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑁,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑗,𝑋,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑛)   𝑋(𝑐)
Proof of Theorem etransclem37
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem37.c . . . 4 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
2 etransclem37.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
31, 2etransclem16 45264 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) ∈ Fin)
4 etransclem37.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 nnm1nn0 12517 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
76faccld 14248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
87nnzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
91, 2etransclem12 45260 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
109eleq2d 2817 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁}))
1110biimpa 475 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁})
12 rabid 3450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} ↔ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁))
1413simprd 494 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
1615eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
1716fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜π‘) = (!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)))
1817oveq1d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))))
19 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗𝑐
20 fzfid 13942 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
21 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . 11 β„•0 ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ β„•0 ∈ V)
23 fzssnn0 44325 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) βŠ† β„•0
24 mapss 8885 . . . . . . . . . 10 ((β„•0 ∈ V ∧ (0...𝑁) βŠ† β„•0) β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2522, 23, 24sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2613simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)))
2725, 26sseldd 3982 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁} β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2811, 27syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
2919, 20, 28mccl 44612 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3018, 29eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3130nnzd 12589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„€)
324adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
33 etransclem37.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3433adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
35 elmapi 8845 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
3611, 26, 353syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
37 etransclem37.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
3837elfzelzd 13506 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
3938adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
4032, 34, 36, 39etransclem10 45258 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) ∈ β„€)
41 fzfid 13942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
4232adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4336adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...𝑁))
44 0z 12573 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
45 fzp1ss 13556 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ β„€ β†’ ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) βŠ† (0...𝑀)
4746sseli 3977 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
48 1e0p1 12723 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
4948oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
5047, 49eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5150adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5239adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
5342, 43, 51, 52etransclem3 45251 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5441, 53fprodzcl 15902 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5540, 54zmulcld 12676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) ∈ β„€)
5631, 55zmulcld 12676 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
572adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
58 etransclem11 45259 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛}) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
591, 58eqtri 2758 . . . 4 𝐢 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...π‘š) ↑m (0...𝑀)) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘‘β€˜π‘˜) = π‘š})
60 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘))
6137adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
62 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
6362fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6463cbvprodv 15864 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))
6564oveq2i 7422 . . . . 5 ((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜)))
6662breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π‘β€˜π‘˜)))
6762oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))
6867fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
6968oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
70 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐽 βˆ’ 𝑗) = (𝐽 βˆ’ π‘˜))
7170, 67oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))
7269, 71oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7366, 72ifbieq2d 4553 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7473cbvprodv 15864 . . . . . 6 βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))
7574oveq2i 7422 . . . . 5 (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜))))))
7665, 75oveq12i 7423 . . . 4 (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜π‘) / βˆπ‘˜ ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘˜), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))) Β· ((𝐽 βˆ’ π‘˜)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘˜)))))))
7732, 34, 57, 59, 60, 61, 76etransclem28 45276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
783, 8, 56, 77fsumdvds 16255 . 2 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
79 etransclem37.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
80 etransclem37.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
81 etransclem37.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
82 etransclem37.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
83 etransclem37.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
8479, 80, 4, 33, 81, 2, 82, 1, 83etransclem31 45279 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜π‘)(((!β€˜π‘) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (𝐽↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((𝐽 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
8578, 84breqtrrd 5175 1 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ₯ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘)β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  !cfa 14237  Ξ£csu 15636  βˆcprod 15853   βˆ₯ cdvds 16201   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144   D𝑛 cdvn 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617
This theorem is referenced by:  etransclem44  45292  etransclem45  45293
  Copyright terms: Public domain W3C validator