Theorem metakunt7 40059

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt7.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt7.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt7.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4484	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4482	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
11	10	nnred 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
14	12, 13	ltned 11041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≠ 𝑋)
15	14	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐼)
16		df-ne 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18		iffalse 4465	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20		metakunt7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21		elfznn 13214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
23	22	nnred 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
25	12, 24, 13	ltled 11053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ 𝑋)
26	12, 24	lenltd 11051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
27	25, 26	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28		iffalse 4465	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
30	19, 29	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
32	9, 31	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
33	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
37	2, 32, 33, 36	fvmptd 6864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
38		1red 10907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
39	23, 38	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40		elfzle2 13189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
41	20, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
42	20	elfzelzd 13186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
43		metakunt7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		zlem1lt 12302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
46	42, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
47	41, 46	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
48	39, 47	ltned 11041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
50	37, 49	eqnetrd 3010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2947	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
52	10	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
53		zltlem1 12303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
54	53	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
55	52, 42, 54	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
56	55	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
57	56, 37	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋))
58	36	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
59	37, 58	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ ℝ)
60	12, 59	lenltd 11051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
61	57, 60	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
62	37, 51, 61	3jca 1126	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt8  40060