Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt7 40388
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt7.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt7.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7
StepHypRef Expression
1 metakunt7.4 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
4 breq1 5095 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
6 oveq1 7344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4501 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
83, 7ifbieq2d 4499 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
98adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10 metakunt7.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1110nnred 12089 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
1412, 13ltned 11212 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
1514necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋𝐼)
16 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (𝑋𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
1715, 16sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18 iffalse 4482 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20 metakunt7.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
21 elfznn 13386 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2322nnred 12089 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
2512, 24, 13ltled 11224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
2612, 24lenltd 11222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
2725, 26mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28 iffalse 4482 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
3019, 29eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
3130adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
329, 31eqtrd 2776 . . 3 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
3320adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3433elfzelzd 13358 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35 1zzd 12452 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
3634, 35zsubcld 12532 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
372, 32, 33, 36fvmptd 6938 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
38 1red 11077 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3923, 38resubcld 11504 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40 elfzle2 13361 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
4120, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑀)
4220elfzelzd 13358 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
43 metakunt7.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4443nnzd 12526 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 zlem1lt 12473 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4642, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
4839, 47ltned 11212 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
4948adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
5037, 49eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≠ 𝑀)
5150neneqd 2945 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀)
5210nnzd 12526 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
53 zltlem1 12474 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5453biimpd 228 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5552, 42, 54syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5655imp 407 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
5756, 37breqtrrd 5120 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴𝑋))
5836zred 12527 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
5937, 58eqeltrd 2837 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6012, 59lenltd 11222 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
6157, 60mpbid 231 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼)
6237, 51, 613jca 1127 1 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cmpt 5175  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  cn 12074  cz 12420  ...cfz 13340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341
This theorem is referenced by:  metakunt8  40389
  Copyright terms: Public domain W3C validator