Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt7 40583
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt7.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt7.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7
StepHypRef Expression
1 metakunt7.4 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
4 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
6 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4514 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
83, 7ifbieq2d 4512 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
98adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10 metakunt7.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1110nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
1412, 13ltned 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
1514necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋𝐼)
16 df-ne 2944 . . . . . . . 8 (𝑋𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
1715, 16sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20 metakunt7.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
21 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2322nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
2512, 24, 13ltled 11303 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
2612, 24lenltd 11301 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
2725, 26mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28 iffalse 4495 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
3019, 29eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
3130adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
329, 31eqtrd 2776 . . 3 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
3320adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3433elfzelzd 13442 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35 1zzd 12534 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
3634, 35zsubcld 12612 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
372, 32, 33, 36fvmptd 6955 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
38 1red 11156 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3923, 38resubcld 11583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40 elfzle2 13445 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
4120, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑀)
4220elfzelzd 13442 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
43 metakunt7.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4443nnzd 12526 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 zlem1lt 12555 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4642, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4741, 46mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
4839, 47ltned 11291 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
4948adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
5037, 49eqnetrd 3011 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≠ 𝑀)
5150neneqd 2948 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀)
5210nnzd 12526 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
53 zltlem1 12556 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5453biimpd 228 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5552, 42, 54syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5655imp 407 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
5756, 37breqtrrd 5133 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴𝑋))
5836zred 12607 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
5937, 58eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6012, 59lenltd 11301 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
6157, 60mpbid 231 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼)
6237, 51, 613jca 1128 1 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  metakunt8  40584
  Copyright terms: Public domain W3C validator