Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt7 42212
Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt7.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt7.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
metakunt7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7
StepHypRef Expression
1 metakunt7.4 . . . 4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
4 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
6 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
74, 5, 6ifbieq12d 4554 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
83, 7ifbieq2d 4552 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
98adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10 metakunt7.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
1110nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
1412, 13ltned 11397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
1514necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋𝐼)
16 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (𝑋𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
1715, 16sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18 iffalse 4534 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20 metakunt7.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
21 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2322nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
2512, 24, 13ltled 11409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼𝑋)
2612, 24lenltd 11407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
2725, 26mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28 iffalse 4534 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
3019, 29eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
3130adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
329, 31eqtrd 2777 . . 3 (((𝜑𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
3320adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
3433elfzelzd 13565 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35 1zzd 12648 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
3634, 35zsubcld 12727 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
372, 32, 33, 36fvmptd 7023 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
38 1red 11262 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3923, 38resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40 elfzle2 13568 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
4120, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑀)
4220elfzelzd 13565 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
43 metakunt7.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4443nnzd 12640 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
45 zlem1lt 12669 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4642, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
4741, 46mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
4839, 47ltned 11397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
4948adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
5037, 49eqnetrd 3008 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ≠ 𝑀)
5150neneqd 2945 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀)
5210nnzd 12640 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
53 zltlem1 12670 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5453biimpd 229 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5552, 42, 54syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5655imp 406 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
5756, 37breqtrrd 5171 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴𝑋))
5836zred 12722 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
5937, 58eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
6012, 59lenltd 11407 . . 3 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
6157, 60mpbid 232 . 2 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼)
6237, 51, 613jca 1129 1 ((𝜑𝐼 < 𝑋) → ((𝐴𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴𝑋) < 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  metakunt8  42213
  Copyright terms: Public domain W3C validator