Theorem metakunt7 40979

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt7.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt7.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt7.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4555	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4553	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
11	10	nnred 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
14	12, 13	ltned 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≠ 𝑋)
15	14	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐼)
16		df-ne 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18		iffalse 4536	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20		metakunt7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
23	22	nnred 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
25	12, 24, 13	ltled 11358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ 𝑋)
26	12, 24	lenltd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
27	25, 26	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28		iffalse 4536	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
30	19, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
32	9, 31	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
33	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35		1zzd 12589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 12667	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
37	2, 32, 33, 36	fvmptd 7002	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
38		1red 11211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
39	23, 38	resubcld 11638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40		elfzle2 13501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
41	20, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
42	20	elfzelzd 13498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
43		metakunt7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		zlem1lt 12610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
46	42, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
47	41, 46	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
48	39, 47	ltned 11346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
49	48	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
50	37, 49	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
52	10	nnzd 12581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
53		zltlem1 12611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
54	53	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
55	52, 42, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
56	55	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
57	56, 37	breqtrrd 5175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋))
58	36	zred 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
59	37, 58	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ ℝ)
60	12, 59	lenltd 11356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
61	57, 60	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
62	37, 51, 61	3jca 1128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt8  40980