Theorem metakunt7 40388

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt7.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt7.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt7.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4501	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4499	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
11	10	nnred 12089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
14	12, 13	ltned 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≠ 𝑋)
15	14	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐼)
16		df-ne 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
17	15, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18		iffalse 4482	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20		metakunt7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21		elfznn 13386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
23	22	nnred 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
25	12, 24, 13	ltled 11224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ 𝑋)
26	12, 24	lenltd 11222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
27	25, 26	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28		iffalse 4482	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
30	19, 29	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
32	9, 31	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
33	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13358	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35		1zzd 12452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 12532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
37	2, 32, 33, 36	fvmptd 6938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
38		1red 11077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
39	23, 38	resubcld 11504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40		elfzle2 13361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
41	20, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
42	20	elfzelzd 13358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
43		metakunt7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		zlem1lt 12473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
46	42, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
47	41, 46	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
48	39, 47	ltned 11212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
49	48	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
50	37, 49	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
52	10	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
53		zltlem1 12474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
54	53	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
55	52, 42, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
56	55	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
57	56, 37	breqtrrd 5120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋))
58	36	zred 12527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
59	37, 58	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ ℝ)
60	12, 59	lenltd 11222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
61	57, 60	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
62	37, 51, 61	3jca 1127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ifcif 4473   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  1c1 10973   + caddc 10975   < clt 11110   ≤ cle 11111   − cmin 11306  ℕcn 12074  ℤcz 12420  ...cfz 13340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341

This theorem is referenced by:  metakunt8  40389