Theorem metakunt7 42193

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt7.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt7.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt7.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4559	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
11	10	nnred 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
14	12, 13	ltned 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≠ 𝑋)
15	14	necomd 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐼)
16		df-ne 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
17	15, 16	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18		iffalse 4540	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20		metakunt7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21		elfznn 13590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
23	22	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
25	12, 24, 13	ltled 11407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ 𝑋)
26	12, 24	lenltd 11405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
27	25, 26	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28		iffalse 4540	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
30	19, 29	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
32	9, 31	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
33	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13562	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35		1zzd 12646	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 12725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
37	2, 32, 33, 36	fvmptd 7023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
38		1red 11260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
39	23, 38	resubcld 11689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40		elfzle2 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
41	20, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
42	20	elfzelzd 13562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
43		metakunt7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		zlem1lt 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
46	42, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
47	41, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
48	39, 47	ltned 11395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
50	37, 49	eqnetrd 3006	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2943	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
52	10	nnzd 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
53		zltlem1 12668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
54	53	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
55	52, 42, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
56	55	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
57	56, 37	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋))
58	36	zred 12720	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
59	37, 58	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ ℝ)
60	12, 59	lenltd 11405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
61	57, 60	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
62	37, 51, 61	3jca 1127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  metakunt8  42194