Theorem metakunt7 39853

Description: C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt7.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt7.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt7.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt7.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt7.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt7.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem metakunt7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt7.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
4		breq1 5056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
6		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4467	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
9	8	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))))
10		metakunt7.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
11	10	nnred 11845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
12	11	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ∈ ℝ)
13		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 < 𝑋)
14	12, 13	ltned 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≠ 𝑋)
15	14	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐼)
16		df-ne 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼)
17	15, 16	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
18		iffalse 4448	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
20		metakunt7.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
21		elfznn 13141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
23	22	nnred 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
25	12, 24, 13	ltled 10980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ 𝑋)
26	12, 24	lenltd 10978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
27	25, 26	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
28		iffalse 4448	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = (𝑋 − 1))
30	19, 29	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
31	30	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1))) = (𝑋 − 1))
32	9, 31	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
33	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
34	33	elfzelzd 13113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℤ)
35		1zzd 12208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
36	34, 35	zsubcld 12287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
37	2, 32, 33, 36	fvmptd 6825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
38		1red 10834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
39	23, 38	resubcld 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
40		elfzle2 13116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
41	20, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
42	20	elfzelzd 13113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
43		metakunt7.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
45		zlem1lt 12229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
46	42, 44, 45	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) < 𝑀))
47	41, 46	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
48	39, 47	ltned 10968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
49	48	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
50	37, 49	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ≠ 𝑀)
51	50	neneqd 2945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀)
52	10	nnzd 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
53		zltlem1 12230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
54	53	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
55	52, 42, 54	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
56	55	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
57	56, 37	breqtrrd 5081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → 𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋))
58	36	zred 12282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
59	37, 58	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐴‘𝑋) ∈ ℝ)
60	12, 59	lenltd 10978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → (𝐼 ≤ (𝐴‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))
61	57, 60	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼)
62	37, 51, 61	3jca 1130	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝑋) → ((𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1) ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) = 𝑀 ∧ ¬ (𝐴‘𝑋) < 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  metakunt8  39854