Theorem metdscn2 24887

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
metdscn2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsre 24840	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1	xrsxmet 24839	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		ressxr 11212	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
8	5, 6, 7	metrest 24553	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
9	3, 4, 8	mp2an 700	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
10	2, 9	tgioo 24825	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11		metdscn2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	tgioo2 24832	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
13	10, 12	eqtr3i 2777	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾 ↾t ℝ)
14	13	oveq2i 7392	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ))
15	11	cnfldtop 24812	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
16		cnrest2r 23316	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
18	14, 17	eqsstri 3973	. 2 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19		metxmet 24363	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		metdscn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
22	20, 21, 1, 6	metdscn 24886	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
23	19, 22	sylan 588	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24	23	3adant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
25	20	metdsre 24883	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26		frn 6684	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
27	6	mopntopon 24468	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29		cnrest2 23315	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
30	28, 4, 29	mp3an13 1463	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
32	24, 31	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
33	18, 32	sselid 3925	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634  ran crn 5637   ↾ cres 5638  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  infcinf 9373  ℝcr 11058  ℝ^*cxr 11201   < clt 11202  (,)cioo 13335  distcds 17267   ↾_t crest 17421  TopOpenctopn 17422  topGenctg 17438  ℝ^*_𝑠cxrs 17502  ∞Metcxmet 21378  Metcmet 21379  MetOpencmopn 21383  ℂ_fldccnfld 21393  Topctop 22922  TopOnctopon 22939   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-ec 8664  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-icc 13342  df-fz 13499  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-rest 17423  df-topn 17424  df-topgen 17444  df-xrs 17504  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-cnfld 21394  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-xms 24349  df-ms 24350

This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24993