![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > metdscn2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The function ๐น which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
metdscn.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ inf(ran (๐ฆ โ ๐ โฆ (๐ฅ๐ท๐ฆ)), โ*, < )) |
metdscn.j | โข ๐ฝ = (MetOpenโ๐ท) |
metdscn2.k | โข ๐พ = (TopOpenโโfld) |
Ref | Expression |
---|---|
metdscn2 | โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ๐พ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2728 | . . . . . . 7 โข (distโโ*๐ ) = (distโโ*๐ ) | |
2 | 1 | xrsdsre 24754 | . . . . . 6 โข ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) = ((abs โ โ ) โพ (โ ร โ)) |
3 | 1 | xrsxmet 24753 | . . . . . . 7 โข (distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) |
4 | ressxr 11298 | . . . . . . 7 โข โ โ โ* | |
5 | eqid 2728 | . . . . . . . 8 โข ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) = ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) | |
6 | eqid 2728 | . . . . . . . 8 โข (MetOpenโ(distโโ*๐ )) = (MetOpenโ(distโโ*๐ )) | |
7 | eqid 2728 | . . . . . . . 8 โข (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) | |
8 | 5, 6, 7 | metrest 24461 | . . . . . . 7 โข (((distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) โง โ โ โ*) โ ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)))) |
9 | 3, 4, 8 | mp2an 690 | . . . . . 6 โข ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) |
10 | 2, 9 | tgioo 24740 | . . . . 5 โข (topGenโran (,)) = ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) |
11 | metdscn2.k | . . . . . 6 โข ๐พ = (TopOpenโโfld) | |
12 | 11 | tgioo2 24747 | . . . . 5 โข (topGenโran (,)) = (๐พ โพt โ) |
13 | 10, 12 | eqtr3i 2758 | . . . 4 โข ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (๐พ โพt โ) |
14 | 13 | oveq2i 7437 | . . 3 โข (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)) = (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) |
15 | 11 | cnfldtop 24728 | . . . 4 โข ๐พ โ Top |
16 | cnrest2r 23219 | . . . 4 โข (๐พ โ Top โ (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ)) | |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 | . . 3 โข (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ) |
18 | 14, 17 | eqsstri 4016 | . 2 โข (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ) |
19 | metxmet 24268 | . . . . 5 โข (๐ท โ (Metโ๐) โ ๐ท โ (โMetโ๐)) | |
20 | metdscn.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ inf(ran (๐ฆ โ ๐ โฆ (๐ฅ๐ท๐ฆ)), โ*, < )) | |
21 | metdscn.j | . . . . . 6 โข ๐ฝ = (MetOpenโ๐ท) | |
22 | 20, 21, 1, 6 | metdscn 24800 | . . . . 5 โข ((๐ท โ (โMetโ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
23 | 19, 22 | sylan 578 | . . . 4 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
24 | 23 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
25 | 20 | metdsre 24797 | . . . 4 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น:๐โถโ) |
26 | frn 6734 | . . . 4 โข (๐น:๐โถโ โ ran ๐น โ โ) | |
27 | 6 | mopntopon 24373 | . . . . . 6 โข ((distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) โ (MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*)) |
28 | 3, 27 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*) |
29 | cnrest2 23218 | . . . . 5 โข (((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*) โง ran ๐น โ โ โง โ โ โ*) โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) | |
30 | 28, 4, 29 | mp3an13 1448 | . . . 4 โข (ran ๐น โ โ โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) |
31 | 25, 26, 30 | 3syl 18 | . . 3 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) |
32 | 24, 31 | mpbid 231 | . 2 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ))) |
33 | 18, 32 | sselid 3980 | 1 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ๐พ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 โ wss 3949 โ c0 4326 โฆ cmpt 5235 ร cxp 5680 ran crn 5683 โพ cres 5684 โถwf 6549 โcfv 6553 (class class class)co 7426 infcinf 9474 โcr 11147 โ*cxr 11287 < clt 11288 (,)cioo 13366 distcds 17251 โพt crest 17411 TopOpenctopn 17412 topGenctg 17428 โ*๐ cxrs 17491 โMetcxmet 21278 Metcmet 21279 MetOpencmopn 21283 โfldccnfld 21293 Topctop 22823 TopOnctopon 22840 Cn ccn 23156 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-pre-sup 11226 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-er 8733 df-ec 8735 df-map 8855 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-fi 9444 df-sup 9475 df-inf 9476 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-n0 12513 df-z 12599 df-dec 12718 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-xneg 13134 df-xadd 13135 df-xmul 13136 df-ioo 13370 df-icc 13373 df-fz 13527 df-seq 14009 df-exp 14069 df-cj 15088 df-re 15089 df-im 15090 df-sqrt 15224 df-abs 15225 df-struct 17125 df-slot 17160 df-ndx 17172 df-base 17190 df-plusg 17255 df-mulr 17256 df-starv 17257 df-tset 17261 df-ple 17262 df-ds 17264 df-unif 17265 df-rest 17413 df-topn 17414 df-topgen 17434 df-xrs 17493 df-psmet 21285 df-xmet 21286 df-met 21287 df-bl 21288 df-mopn 21289 df-cnfld 21294 df-top 22824 df-topon 22841 df-topsp 22863 df-bases 22877 df-cn 23159 df-cnp 23160 df-xms 24254 df-ms 24255 |
This theorem is referenced by: lebnumlem2 24916 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |