MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn2 24801
Description: The function ๐น which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
metdscn.j ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
metdscn2.k ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
Assertion
Ref Expression
metdscn2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ท   ๐‘ฆ,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem metdscn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) = (distโ€˜โ„*๐‘ )
21xrsdsre 24754 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
31xrsxmet 24753 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*)
4 ressxr 11298 . . . . . . 7 โ„ โІ โ„*
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
6 eqid 2728 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) = (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))
7 eqid 2728 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
85, 6, 7metrest 24461 . . . . . . 7 (((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โˆง โ„ โІ โ„*) โ†’ ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))))
93, 4, 8mp2an 690 . . . . . 6 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
102, 9tgioo 24740 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)
11 metdscn2.k . . . . . 6 ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
1211tgioo2 24747 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = (๐พ โ†พt โ„)
1310, 12eqtr3i 2758 . . . 4 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (๐พ โ†พt โ„)
1413oveq2i 7437 . . 3 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) = (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„))
1511cnfldtop 24728 . . . 4 ๐พ โˆˆ Top
16 cnrest2r 23219 . . . 4 (๐พ โˆˆ Top โ†’ (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ)
1814, 17eqsstri 4016 . 2 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ)
19 metxmet 24268 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹))
20 metdscn.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
21 metdscn.j . . . . . 6 ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
2220, 21, 1, 6metdscn 24800 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2319, 22sylan 578 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
24233adant3 1129 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2520metdsre 24797 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น:๐‘‹โŸถโ„)
26 frn 6734 . . . 4 (๐น:๐‘‹โŸถโ„ โ†’ ran ๐น โІ โ„)
276mopntopon 24373 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โ†’ (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*))
283, 27ax-mp 5 . . . . 5 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*)
29 cnrest2 23218 . . . . 5 (((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*) โˆง ran ๐น โІ โ„ โˆง โ„ โІ โ„*) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3028, 4, 29mp3an13 1448 . . . 4 (ran ๐น โІ โ„ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3125, 26, 303syl 18 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3224, 31mpbid 231 . 2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)))
3318, 32sselid 3980 1 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โІ wss 3949  โˆ…c0 4326   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  ran crn 5683   โ†พ cres 5684  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9474  โ„cr 11147  โ„*cxr 11287   < clt 11288  (,)cioo 13366  distcds 17251   โ†พt crest 17411  TopOpenctopn 17412  topGenctg 17428  โ„*๐‘ cxrs 17491  โˆžMetcxmet 21278  Metcmet 21279  MetOpencmopn 21283  โ„‚fldccnfld 21293  Topctop 22823  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-icc 13373  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-rest 17413  df-topn 17414  df-topgen 17434  df-xrs 17493  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-xms 24254  df-ms 24255
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24916
  Copyright terms: Public domain W3C validator