Theorem metdscn2 24372

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
metdscn2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsre 24325	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1	xrsxmet 24324	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		ressxr 11257	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
8	5, 6, 7	metrest 24032	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
9	3, 4, 8	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
10	2, 9	tgioo 24311	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11		metdscn2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	tgioo2 24318	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
13	10, 12	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾 ↾t ℝ)
14	13	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ))
15	11	cnfldtop 24299	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
16		cnrest2r 22790	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
18	14, 17	eqsstri 4016	. 2 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19		metxmet 23839	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		metdscn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
22	20, 21, 1, 6	metdscn 24371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
23	19, 22	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24	23	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
25	20	metdsre 24368	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26		frn 6724	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
27	6	mopntopon 23944	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29		cnrest2 22789	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
30	28, 4, 29	mp3an13 1452	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
32	24, 31	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
33	18, 32	sselid 3980	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  infcinf 9435  ℝcr 11108  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  (,)cioo 13323  distcds 17205   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  ℝ^*_𝑠cxrs 17445  ∞Metcxmet 20928  Metcmet 20929  MetOpencmopn 20933  ℂ_fldccnfld 20943  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-xrs 17447  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826

This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24477