Theorem metdscn2 24994

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
metdscn2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsre 24947	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1	xrsxmet 24946	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		ressxr 11252	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
8	5, 6, 7	metrest 24660	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
9	3, 4, 8	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
10	2, 9	tgioo 24932	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11		metdscn2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	tgioo2 24939	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
13	10, 12	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾 ↾t ℝ)
14	13	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ))
15	11	cnfldtop 24919	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
16		cnrest2r 23423	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
18	14, 17	eqsstri 3982	. 2 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19		metxmet 24470	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		metdscn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
22	20, 21, 1, 6	metdscn 24993	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
23	19, 22	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24	23	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
25	20	metdsre 24990	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26		frn 6713	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
27	6	mopntopon 24575	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29		cnrest2 23422	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
30	28, 4, 29	mp3an13 1479	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
31	25, 26, 30	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
32	24, 31	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
33	18, 32	sselid 3934	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  infcinf 9400  ℝcr 11098  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  (,)cioo 13371  distcds 17318   ↾_t crest 17472  TopOpenctopn 17473  topGenctg 17489  ℝ^*_𝑠cxrs 17553  ∞Metcxmet 21486  Metcmet 21487  MetOpencmopn 21491  ℂ_fldccnfld 21501  Topctop 23029  TopOnctopon 23046   Cn ccn 23360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-ec 8695  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-xrs 17555  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-xms 24456  df-ms 24457

This theorem is referenced by:  lebnumlem2  25100