![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > metdscn2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The function ๐น which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
metdscn.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ inf(ran (๐ฆ โ ๐ โฆ (๐ฅ๐ท๐ฆ)), โ*, < )) |
metdscn.j | โข ๐ฝ = (MetOpenโ๐ท) |
metdscn2.k | โข ๐พ = (TopOpenโโfld) |
Ref | Expression |
---|---|
metdscn2 | โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ๐พ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . . . . . 7 โข (distโโ*๐ ) = (distโโ*๐ ) | |
2 | 1 | xrsdsre 24681 | . . . . . 6 โข ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) = ((abs โ โ ) โพ (โ ร โ)) |
3 | 1 | xrsxmet 24680 | . . . . . . 7 โข (distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) |
4 | ressxr 11262 | . . . . . . 7 โข โ โ โ* | |
5 | eqid 2726 | . . . . . . . 8 โข ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) = ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)) | |
6 | eqid 2726 | . . . . . . . 8 โข (MetOpenโ(distโโ*๐ )) = (MetOpenโ(distโโ*๐ )) | |
7 | eqid 2726 | . . . . . . . 8 โข (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) | |
8 | 5, 6, 7 | metrest 24388 | . . . . . . 7 โข (((distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) โง โ โ โ*) โ ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ)))) |
9 | 3, 4, 8 | mp2an 689 | . . . . . 6 โข ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (MetOpenโ((distโโ*๐ ) โพ (โ ร โ))) |
10 | 2, 9 | tgioo 24667 | . . . . 5 โข (topGenโran (,)) = ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) |
11 | metdscn2.k | . . . . . 6 โข ๐พ = (TopOpenโโfld) | |
12 | 11 | tgioo2 24674 | . . . . 5 โข (topGenโran (,)) = (๐พ โพt โ) |
13 | 10, 12 | eqtr3i 2756 | . . . 4 โข ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ) = (๐พ โพt โ) |
14 | 13 | oveq2i 7416 | . . 3 โข (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)) = (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) |
15 | 11 | cnfldtop 24655 | . . . 4 โข ๐พ โ Top |
16 | cnrest2r 23146 | . . . 4 โข (๐พ โ Top โ (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ)) | |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 | . . 3 โข (๐ฝ Cn (๐พ โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ) |
18 | 14, 17 | eqsstri 4011 | . 2 โข (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)) โ (๐ฝ Cn ๐พ) |
19 | metxmet 24195 | . . . . 5 โข (๐ท โ (Metโ๐) โ ๐ท โ (โMetโ๐)) | |
20 | metdscn.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ โฆ inf(ran (๐ฆ โ ๐ โฆ (๐ฅ๐ท๐ฆ)), โ*, < )) | |
21 | metdscn.j | . . . . . 6 โข ๐ฝ = (MetOpenโ๐ท) | |
22 | 20, 21, 1, 6 | metdscn 24727 | . . . . 5 โข ((๐ท โ (โMetโ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
23 | 19, 22 | sylan 579 | . . . 4 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
24 | 23 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ )))) |
25 | 20 | metdsre 24724 | . . . 4 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น:๐โถโ) |
26 | frn 6718 | . . . 4 โข (๐น:๐โถโ โ ran ๐น โ โ) | |
27 | 6 | mopntopon 24300 | . . . . . 6 โข ((distโโ*๐ ) โ (โMetโโ*) โ (MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*)) |
28 | 3, 27 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*) |
29 | cnrest2 23145 | . . . . 5 โข (((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โ (TopOnโโ*) โง ran ๐น โ โ โง โ โ โ*) โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) | |
30 | 28, 4, 29 | mp3an13 1448 | . . . 4 โข (ran ๐น โ โ โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) |
31 | 25, 26, 30 | 3syl 18 | . . 3 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ (๐น โ (๐ฝ Cn (MetOpenโ(distโโ*๐ ))) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ)))) |
32 | 24, 31 | mpbid 231 | . 2 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ(distโโ*๐ )) โพt โ))) |
33 | 18, 32 | sselid 3975 | 1 โข ((๐ท โ (Metโ๐) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ โ ) โ ๐น โ (๐ฝ Cn ๐พ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โ wss 3943 โ c0 4317 โฆ cmpt 5224 ร cxp 5667 ran crn 5670 โพ cres 5671 โถwf 6533 โcfv 6537 (class class class)co 7405 infcinf 9438 โcr 11111 โ*cxr 11251 < clt 11252 (,)cioo 13330 distcds 17215 โพt crest 17375 TopOpenctopn 17376 topGenctg 17392 โ*๐ cxrs 17455 โMetcxmet 21225 Metcmet 21226 MetOpencmopn 21230 โfldccnfld 21240 Topctop 22750 TopOnctopon 22767 Cn ccn 23083 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-ec 8707 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12981 df-xneg 13098 df-xadd 13099 df-xmul 13100 df-ioo 13334 df-icc 13337 df-fz 13491 df-seq 13973 df-exp 14033 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-struct 17089 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-rest 17377 df-topn 17378 df-topgen 17398 df-xrs 17457 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-cnfld 21241 df-top 22751 df-topon 22768 df-topsp 22790 df-bases 22804 df-cn 23086 df-cnp 23087 df-xms 24181 df-ms 24182 |
This theorem is referenced by: lebnumlem2 24843 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |