MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn2 24236
Description: The function ๐น which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
metdscn.j ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
metdscn2.k ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
Assertion
Ref Expression
metdscn2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ท   ๐‘ฆ,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem metdscn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) = (distโ€˜โ„*๐‘ )
21xrsdsre 24189 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
31xrsxmet 24188 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*)
4 ressxr 11206 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„*
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) = (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))
7 eqid 2737 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
85, 6, 7metrest 23896 . . . . . . 7 (((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โˆง โ„ โŠ† โ„*) โ†’ ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))))
93, 4, 8mp2an 691 . . . . . 6 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
102, 9tgioo 24175 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)
11 metdscn2.k . . . . . 6 ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
1211tgioo2 24182 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = (๐พ โ†พt โ„)
1310, 12eqtr3i 2767 . . . 4 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (๐พ โ†พt โ„)
1413oveq2i 7373 . . 3 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) = (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„))
1511cnfldtop 24163 . . . 4 ๐พ โˆˆ Top
16 cnrest2r 22654 . . . 4 (๐พ โˆˆ Top โ†’ (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โŠ† (๐ฝ Cn ๐พ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โŠ† (๐ฝ Cn ๐พ)
1814, 17eqsstri 3983 . 2 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) โŠ† (๐ฝ Cn ๐พ)
19 metxmet 23703 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹))
20 metdscn.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
21 metdscn.j . . . . . 6 ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
2220, 21, 1, 6metdscn 24235 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2319, 22sylan 581 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
24233adant3 1133 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2520metdsre 24232 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น:๐‘‹โŸถโ„)
26 frn 6680 . . . 4 (๐น:๐‘‹โŸถโ„ โ†’ ran ๐น โŠ† โ„)
276mopntopon 23808 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โ†’ (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*))
283, 27ax-mp 5 . . . . 5 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*)
29 cnrest2 22653 . . . . 5 (((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*) โˆง ran ๐น โŠ† โ„ โˆง โ„ โŠ† โ„*) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3028, 4, 29mp3an13 1453 . . . 4 (ran ๐น โŠ† โ„ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3125, 26, 303syl 18 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3224, 31mpbid 231 . 2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)))
3318, 32sselid 3947 1 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โŠ† ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  ran crn 5639   โ†พ cres 5640  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  โ„*cxr 11195   < clt 11196  (,)cioo 13271  distcds 17149   โ†พt crest 17309  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  โ„*๐‘ cxrs 17389  โˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  MetOpencmopn 20802  โ„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-topgen 17332  df-xrs 17391  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-xms 23689  df-ms 23690
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator