MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn2 22939
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
metdscn2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . . . 7 (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsdsre 22892 . . . . . 6 ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
31xrsxmet 22891 . . . . . . 7 (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4 ressxr 10337 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
5 eqid 2765 . . . . . . . 8 ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6 eqid 2765 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7 eqid 2765 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
85, 6, 7metrest 22608 . . . . . . 7 (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
93, 4, 8mp2an 683 . . . . . 6 ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
102, 9tgioo 22878 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11 metdscn2.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1211tgioo2 22885 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
1310, 12eqtr3i 2789 . . . 4 ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾t ℝ)
1413oveq2i 6853 . . 3 (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾t ℝ))
1511cnfldtop 22866 . . . 4 𝐾 ∈ Top
16 cnrest2r 21371 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
1814, 17eqsstri 3795 . 2 (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19 metxmet 22418 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 metdscn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2220, 21, 1, 6metdscn 22938 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
2319, 22sylan 575 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24233adant3 1162 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
2520metdsre 22935 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26 frn 6229 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
276mopntopon 22523 . . . . . 6 ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
283, 27ax-mp 5 . . . . 5 (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29 cnrest2 21370 . . . . 5 (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3028, 4, 29mp3an13 1576 . . . 4 (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3125, 26, 303syl 18 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
3224, 31mpbid 223 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
3318, 32sseldi 3759 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  c0 4079  cmpt 4888   × cxp 5275  ran crn 5278  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  *cxr 10327   < clt 10328  (,)cioo 12377  distcds 16225  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  topGenctg 16366  *𝑠cxrs 16428  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  MetOpencmopn 20009  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-topn 16352  df-topgen 16372  df-xrs 16430  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  23040
  Copyright terms: Public domain W3C validator