Theorem metdscn2 24695

Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
metdscn2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsre 24648	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	1	xrsxmet 24647	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		ressxr 11255	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
5		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))
6		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) = (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))
7		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
8	5, 6, 7	metrest 24355	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ))))
9	3, 4, 8	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((dist‘ℝ*𝑠) ↾ (ℝ × ℝ)))
10	2, 9	tgioo 24634	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)
11		metdscn2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
12	11	tgioo2 24641	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
13	10, 12	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ) = (𝐾 ↾t ℝ)
14	13	oveq2i 7412	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ))
15	11	cnfldtop 24622	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ Top
16		cnrest2r 23113	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
18	14, 17	eqsstri 4008	. 2 ⊢ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
19		metxmet 24162	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		metdscn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21		metdscn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
22	20, 21, 1, 6	metdscn 24694	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
23	19, 22	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
24	23	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))))
25	20	metdsre 24691	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
26		frn 6714	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
27	6	mopntopon 24267	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ℝ*𝑠) ∈ (∞Met‘ℝ*) → (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*))
28	3, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*)
29		cnrest2 23112	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
30	28, 4, 29	mp3an13 1448	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
31	25, 26, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠))) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ))))
32	24, 31	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((MetOpen‘(dist‘ℝ*𝑠)) ↾t ℝ)))
33	18, 32	sselid 3972	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314   ↦ cmpt 5221   × cxp 5664  ran crn 5667   ↾ cres 5668  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  (,)cioo 13321  distcds 17205   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  ℝ^*_𝑠cxrs 17445  ∞Metcxmet 21213  Metcmet 21214  MetOpencmopn 21218  ℂ_fldccnfld 21228  Topctop 22717  TopOnctopon 22734   Cn ccn 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-xrs 17447  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-xms 24148  df-ms 24149

This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24810