MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn2 24728
Description: The function ๐น which gives the distance from a point to a nonempty set in a metric space is a continuous function into the topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
metdscn.j ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
metdscn2.k ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
Assertion
Ref Expression
metdscn2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ท   ๐‘ฆ,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ฝ(๐‘ฅ)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem metdscn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) = (distโ€˜โ„*๐‘ )
21xrsdsre 24681 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
31xrsxmet 24680 . . . . . . 7 (distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*)
4 ressxr 11262 . . . . . . 7 โ„ โІ โ„*
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)) = ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) = (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
85, 6, 7metrest 24388 . . . . . . 7 (((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โˆง โ„ โІ โ„*) โ†’ ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„))))
93, 4, 8mp2an 689 . . . . . 6 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜โ„*๐‘ ) โ†พ (โ„ ร— โ„)))
102, 9tgioo 24667 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)
11 metdscn2.k . . . . . 6 ๐พ = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
1211tgioo2 24674 . . . . 5 (topGenโ€˜ran (,)) = (๐พ โ†พt โ„)
1310, 12eqtr3i 2756 . . . 4 ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„) = (๐พ โ†พt โ„)
1413oveq2i 7416 . . 3 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) = (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„))
1511cnfldtop 24655 . . . 4 ๐พ โˆˆ Top
16 cnrest2r 23146 . . . 4 (๐พ โˆˆ Top โ†’ (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (๐ฝ Cn (๐พ โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ)
1814, 17eqsstri 4011 . 2 (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)) โІ (๐ฝ Cn ๐พ)
19 metxmet 24195 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โ†’ ๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹))
20 metdscn.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ inf(ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (๐‘ฅ๐ท๐‘ฆ)), โ„*, < ))
21 metdscn.j . . . . . 6 ๐ฝ = (MetOpenโ€˜๐ท)
2220, 21, 1, 6metdscn 24727 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โˆžMetโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2319, 22sylan 579 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
24233adant3 1129 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))))
2520metdsre 24724 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น:๐‘‹โŸถโ„)
26 frn 6718 . . . 4 (๐น:๐‘‹โŸถโ„ โ†’ ran ๐น โІ โ„)
276mopntopon 24300 . . . . . 6 ((distโ€˜โ„*๐‘ ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜โ„*) โ†’ (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*))
283, 27ax-mp 5 . . . . 5 (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*)
29 cnrest2 23145 . . . . 5 (((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โˆˆ (TopOnโ€˜โ„*) โˆง ran ๐น โІ โ„ โˆง โ„ โІ โ„*) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3028, 4, 29mp3an13 1448 . . . 4 (ran ๐น โІ โ„ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3125, 26, 303syl 18 . . 3 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ฝ Cn (MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ ))) โ†” ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„))))
3224, 31mpbid 231 . 2 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ((MetOpenโ€˜(distโ€˜โ„*๐‘ )) โ†พt โ„)))
3318, 32sselid 3975 1 ((๐ท โˆˆ (Metโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โІ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  ran crn 5670   โ†พ cres 5671  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  โ„cr 11111  โ„*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13330  distcds 17215   โ†พt crest 17375  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  โ„*๐‘ cxrs 17455  โˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  MetOpencmopn 21230  โ„‚fldccnfld 21240  Topctop 22750  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-xrs 17457  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  24843
  Copyright terms: Public domain W3C validator