Theorem mulg0 19029

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12599	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19026	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4536	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 689	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  -cneg 11475  ℕcn 12242  ℤcz 12588  seqcseq 13998  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  inv_gcminusg 18890  ._gcmg 19022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-mulg 19023

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19032  mulgnn0gsum  19034  mulgnn0p1  19039  mulgnn0subcl  19041  mulgneg  19046  mulgaddcom  19052  mulginvcom  19053  mulgnn0z  19055  mulgnn0dir  19058  mulgneg2  19062  mulgnn0ass  19064  mhmmulg  19069  submmulg  19072  cycsubm  19156  odid  19492  oddvdsnn0  19498  oddvds  19501  odf1  19516  gexid  19535  mulgnn0di  19779  0cyg  19847  gsumconst  19888  srgmulgass  20156  srgpcomp  20157  srgbinomlem3  20167  srgbinomlem4  20168  srgbinom  20170  mulgass2  20244  lmodvsmmulgdi  20779  cnfldmulg  21330  cnfldexp  21331  freshmansdream  21507  assamulgscmlem1  21831  mplcoe3  21975  mplcoe5  21977  mplbas2  21979  psrbagev1  22020  psrbagev1OLD  22021  evlslem3  22025  evlslem1  22027  mhppwdeg  22073  ply1scltm  22199  chfacfscmulgsum  22761  chfacfpmmulgsum  22765  cpmadugsumlemF  22777  tmdmulg  23995  clmmulg  25027  dchrptlem2  27197  xrsmulgzz  32736  omndmul2  32792  omndmul  32794  archirng  32896  archirngz  32897  archiabllem1b  32900  archiabllem2c  32903  aks6d1c1p6  41585  idomnnzpownz  41603  aks6d1c5lem2  41609  deg1pow  41613  aks6d1c6isolem1  41646  aks6d1c6lem5  41649  evlsvvvallem  41794  evlsvvval  41796  selvvvval  41818  evlselv  41820  mhphflem  41829  mhphf  41830  lmodvsmdi  47446