Theorem mulg0 19126

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12589	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19123	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4488	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 700	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5101   × cxp 5646  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11084  1c1 11085   < clt 11227  -cneg 11426  ℕcn 12220  ℤcz 12578  seqcseq 14024  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  0_gc0g 17478  inv_gcminusg 18986  ._gcmg 19119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-seq 14025  df-mulg 19120

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19129  mulgnn0gsum  19132  mulgnn0p1  19137  mulgnn0subcl  19139  mulgneg  19144  mulgaddcom  19150  mulginvcom  19151  mulgnn0z  19153  mulgnn0dir  19156  mulgneg2  19160  mulgnn0ass  19162  mhmmulg  19167  submmulg  19170  cycsubm  19253  odid  19588  oddvdsnn0  19594  oddvds  19597  odf1  19612  gexid  19631  mulgnn0di  19875  0cyg  19943  gsumconst  19984  omndmul2  20183  omndmul  20185  srgmulgass  20277  srgpcomp  20278  srgbinomlem3  20288  srgbinomlem4  20289  srgbinom  20291  mulgass2  20369  lmodvsmmulgdi  20971  cnfldmulg  21463  cnfldexp  21464  freshmansdream  21633  assamulgscmlem1  21958  mplcoe3  22098  mplcoe5  22100  mplbas2  22102  psrbagev1  22137  evlslem3  22140  evlslem1  22142  evlsvvvallem  22151  evlsvvval  22153  selvvvval  22202  mhppwdeg  22222  psdpw  22242  ply1scltm  22351  ply1idvr1  22364  chfacfscmulgsum  22927  chfacfpmmulgsum  22931  cpmadugsumlemF  22943  tmdmulg  24159  clmmulg  25170  dchrptlem2  27336  xrsmulgzz  33193  ressmulgnn0d  33230  archirng  33374  archirngz  33375  archiabllem1b  33378  archiabllem2c  33381  elrgspnlem1  33429  elrgspnlem2  33430  elrgspnlem3  33431  elrgspnlem4  33432  elrgspn  33433  elrgspnsubrunlem1  33434  elrgspnsubrunlem2  33435  rprmdvdspow  33732  evl1deg1  33775  evl1deg2  33776  evl1deg3  33777  evlextv  33841  vieta  33879  aks6d1c1p6  42736  idomnnzpownz  42754  aks6d1c5lem2  42760  deg1pow  42763  aks6d1c6isolem1  42796  aks6d1c6lem5  42799  domnexpgn0cl  43146  abvexp  43155  evlselv  43176  mhphflem  43183  mhphf  43184  lmodvsmdi  48992