Theorem mulg0 17861

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11676	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2800	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2800	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2800	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 17858	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2800	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4285	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	syl6eq 2850	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 682	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ifcif 4278  {csn 4369   class class class wbr 4844   × cxp 5311  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226   < clt 10364  -cneg 10558  ℕcn 11313  ℤcz 11665  seqcseq 13054  Basecbs 16183  +_gcplusg 16266  0_gc0g 16414  inv_gcminusg 17738  ._gcmg 17855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-addrcl 10286  ax-rnegex 10296  ax-cnre 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-neg 10560  df-z 11666  df-seq 13055  df-mulg 17856

This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  17867  mulgnn0subcl  17869  mulgneg  17874  mulgaddcom  17878  mulginvcom  17879  mulgnn0z  17881  mulgnn0dir  17884  mulgneg2  17888  mulgnn0ass  17890  mhmmulg  17895  submmulg  17898  odid  18269  oddvdsnn0  18275  oddvds  18278  odf1  18291  gexid  18308  mulgnn0di  18545  0cyg  18608  gsumconst  18648  srgmulgass  18846  srgpcomp  18847  srgbinomlem3  18857  srgbinomlem4  18858  srgbinom  18860  mulgass2  18916  lmodvsmmulgdi  19215  assamulgscmlem1  19670  mplcoe3  19788  mplcoe5  19790  mplbas2  19792  psrbagev1  19831  evlslem3  19835  evlslem1  19836  ply1scltm  19972  cnfldmulg  20099  cnfldexp  20100  chfacfscmulgsum  20992  chfacfpmmulgsum  20996  cpmadugsumlemF  21008  tmdmulg  22223  clmmulg  23227  dchrptlem2  25341  xrsmulgzz  30193  ressmulgnn0  30199  omndmul2  30227  omndmul  30229  archirng  30257  archirngz  30258  archiabllem1b  30261  archiabllem2c  30264  lmodvsmdi  42957