Theorem mulg0 19105

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12622	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19102	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4538	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  -cneg 11491  ℕcn 12264  ℤcz 12611  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  inv_gcminusg 18965  ._gcmg 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-mulg 19099

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19108  mulgnn0gsum  19111  mulgnn0p1  19116  mulgnn0subcl  19118  mulgneg  19123  mulgaddcom  19129  mulginvcom  19130  mulgnn0z  19132  mulgnn0dir  19135  mulgneg2  19139  mulgnn0ass  19141  mhmmulg  19146  submmulg  19149  cycsubm  19233  odid  19571  oddvdsnn0  19577  oddvds  19580  odf1  19595  gexid  19614  mulgnn0di  19858  0cyg  19926  gsumconst  19967  srgmulgass  20235  srgpcomp  20236  srgbinomlem3  20246  srgbinomlem4  20247  srgbinom  20249  mulgass2  20323  lmodvsmmulgdi  20912  cnfldmulg  21434  cnfldexp  21435  freshmansdream  21611  assamulgscmlem1  21937  mplcoe3  22074  mplcoe5  22076  mplbas2  22078  psrbagev1  22119  evlslem3  22122  evlslem1  22124  mhppwdeg  22172  ply1scltm  22300  ply1idvr1  22314  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulgsum  22886  cpmadugsumlemF  22898  tmdmulg  24116  clmmulg  25148  dchrptlem2  27324  xrsmulgzz  32994  omndmul2  33072  omndmul  33074  archirng  33178  archirngz  33179  archiabllem1b  33182  archiabllem2c  33185  elrgspnlem1  33232  elrgspnlem2  33233  elrgspnlem3  33234  elrgspnlem4  33235  rprmdvdspow  33541  evl1deg1  33581  evl1deg2  33582  evl1deg3  33583  aks6d1c1p6  42096  idomnnzpownz  42114  aks6d1c5lem2  42120  deg1pow  42123  aks6d1c6isolem1  42156  aks6d1c6lem5  42159  domnexpgn0cl  42510  abvexp  42519  evlsvvvallem  42548  evlsvvval  42550  selvvvval  42572  evlselv  42574  mhphflem  42583  mhphf  42584  lmodvsmdi  48224