Theorem mulg0 19139

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12601	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19136	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4493	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 702	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℤcz 12590  seqcseq 14036  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491  inv_gcminusg 19000  ._gcmg 19132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-mulg 19133

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19142  mulgnn0gsum  19145  mulgnn0p1  19150  mulgnn0subcl  19152  mulgneg  19157  mulgaddcom  19163  mulginvcom  19164  mulgnn0z  19166  mulgnn0dir  19169  mulgneg2  19173  mulgnn0ass  19175  mhmmulg  19180  submmulg  19183  cycsubm  19272  odid  19607  oddvdsnn0  19613  oddvds  19616  odf1  19631  gexid  19650  mulgnn0di  19894  0cyg  19962  gsumconst  20003  omndmul2  20202  omndmul  20204  srgmulgass  20298  srgpcomp  20299  srgbinomlem3  20309  srgbinomlem4  20310  srgbinom  20312  mulgass2  20391  lmodvsmmulgdi  20997  cnfldmulg  21533  cnfldexp  21534  freshmansdream  21703  assamulgscmlem1  22028  mplcoe3  22168  mplcoe5  22170  mplbas2  22172  psrbagev1  22207  evlslem3  22210  evlslem1  22212  evlsvvvallem  22221  evlsvvval  22223  selvvvval  22272  mhppwdeg  22292  psdpw  22312  ply1scltm  22421  ply1idvr1  22434  chfacfscmulgsum  22996  chfacfpmmulgsum  23000  cpmadugsumlemF  23012  tmdmulg  24228  clmmulg  25239  dchrptlem2  27405  xrsmulgzz  33295  ressmulgnn0d  33330  archirng  33474  archirngz  33475  archiabllem1b  33478  archiabllem2c  33481  elrgspnlem1  33528  elrgspnlem2  33529  elrgspnlem3  33530  elrgspnlem4  33531  elrgspn  33532  elrgspnsubrunlem1  33533  elrgspnsubrunlem2  33534  rprmdvdspow  33789  evl1deg1  33832  evl1deg2  33833  evl1deg3  33834  evlextv  33898  vieta  33936  aks6d1c1p6  42827  idomnnzpownz  42845  aks6d1c5lem2  42851  deg1pow  42854  aks6d1c6isolem1  42887  aks6d1c6lem5  42890  domnexpgn0cl  43239  abvexp  43248  evlselv  43269  mhphflem  43276  mhphf  43277  lmodvsmdi  49104