Theorem mulg0 19088

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12565	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2752	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19085	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2752	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4477	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2803	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 698	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ifcif 4470  {csn 4572   class class class wbr 5090   × cxp 5634  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11202  -cneg 11401  ℕcn 12196  ℤcz 12554  seqcseq 14000  Basecbs 17217  +_gcplusg 17258  0_gc0g 17440  inv_gcminusg 18948  ._gcmg 19081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-seq 14001  df-mulg 19082

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19091  mulgnn0gsum  19094  mulgnn0p1  19099  mulgnn0subcl  19101  mulgneg  19106  mulgaddcom  19112  mulginvcom  19113  mulgnn0z  19115  mulgnn0dir  19118  mulgneg2  19122  mulgnn0ass  19124  mhmmulg  19129  submmulg  19132  cycsubm  19215  odid  19550  oddvdsnn0  19556  oddvds  19559  odf1  19574  gexid  19593  mulgnn0di  19837  0cyg  19905  gsumconst  19946  omndmul2  20145  omndmul  20147  srgmulgass  20235  srgpcomp  20236  srgbinomlem3  20246  srgbinomlem4  20247  srgbinom  20249  mulgass2  20327  lmodvsmmulgdi  20933  cnfldmulg  21425  cnfldexp  21426  freshmansdream  21595  assamulgscmlem1  21920  mplcoe3  22060  mplcoe5  22062  mplbas2  22064  psrbagev1  22099  evlslem3  22102  evlslem1  22104  evlsvvvallem  22113  evlsvvval  22115  selvvvval  22164  mhppwdeg  22184  psdpw  22204  ply1scltm  22313  ply1idvr1  22326  chfacfscmulgsum  22889  chfacfpmmulgsum  22893  cpmadugsumlemF  22905  tmdmulg  24121  clmmulg  25132  dchrptlem2  27295  xrsmulgzz  33137  ressmulgnn0d  33174  archirng  33318  archirngz  33319  archiabllem1b  33322  archiabllem2c  33325  elrgspnlem1  33372  elrgspnlem2  33373  elrgspnlem3  33374  elrgspnlem4  33375  elrgspn  33376  elrgspnsubrunlem1  33377  elrgspnsubrunlem2  33378  rprmdvdspow  33673  evl1deg1  33716  evl1deg2  33717  evl1deg3  33718  evlextv  33783  vieta  33821  aks6d1c1p6  42669  idomnnzpownz  42687  aks6d1c5lem2  42693  deg1pow  42696  aks6d1c6isolem1  42729  aks6d1c6lem5  42732  domnexpgn0cl  43079  abvexp  43088  evlselv  43109  mhphflem  43116  mhphf  43117  lmodvsmdi  48939