MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulg0 18210
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o 0 = (0g𝐺)
mulg0.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulg0 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 11970 . 2 0 ∈ ℤ
2 mulg0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2821 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 mulg0.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
5 eqid 2821 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
6 mulg0.t . . . 4 · = (.g𝐺)
7 eqid 2821 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 18207 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9 eqid 2821 . . . 4 0 = 0
109iftruei 4447 . . 3 if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
118, 10syl6eq 2872 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
121, 11mpan 689 1 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4440  {csn 4540   class class class wbr 5039   × cxp 5526  cfv 6328  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515   < clt 10652  -cneg 10848  cn 11615  cz 11959  seqcseq 13352  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  0gc0g 16692  invgcminusg 18083  .gcmg 18203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-mulg 18204
This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  18213  mulgnn0p1  18218  mulgnn0subcl  18220  mulgneg  18225  mulgaddcom  18230  mulginvcom  18231  mulgnn0z  18233  mulgnn0dir  18236  mulgneg2  18240  mulgnn0ass  18242  mhmmulg  18247  submmulg  18250  cycsubm  18324  odid  18645  oddvdsnn0  18651  oddvds  18654  odf1  18668  gexid  18685  mulgnn0di  18925  0cyg  18992  gsumconst  19033  srgmulgass  19260  srgpcomp  19261  srgbinomlem3  19271  srgbinomlem4  19272  srgbinom  19274  mulgass2  19330  lmodvsmmulgdi  19645  assamulgscmlem1  20104  mplcoe3  20223  mplcoe5  20225  mplbas2  20227  psrbagev1  20266  evlslem3  20269  evlslem1  20271  ply1scltm  20425  cnfldmulg  20553  cnfldexp  20554  chfacfscmulgsum  21444  chfacfpmmulgsum  21448  cpmadugsumlemF  21460  tmdmulg  22676  clmmulg  23685  dchrptlem2  25828  xrsmulgzz  30673  ressmulgnn0  30679  omndmul2  30721  omndmul  30723  archirng  30825  archirngz  30826  archiabllem1b  30829  archiabllem2c  30832  freshmansdream  30867  lmodvsmdi  44602
  Copyright terms: Public domain W3C validator