Theorem mulg0 19039

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12524	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19036	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4463	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 691	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4456  {csn 4557   class class class wbr 5074   × cxp 5618  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  1c1 11028   < clt 11168  -cneg 11367  ℕcn 12163  ℤcz 12513  seqcseq 13952  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  0_gc0g 17391  inv_gcminusg 18899  ._gcmg 19032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-seq 13953  df-mulg 19033

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19042  mulgnn0gsum  19045  mulgnn0p1  19050  mulgnn0subcl  19052  mulgneg  19057  mulgaddcom  19063  mulginvcom  19064  mulgnn0z  19066  mulgnn0dir  19069  mulgneg2  19073  mulgnn0ass  19075  mhmmulg  19080  submmulg  19083  cycsubm  19166  odid  19502  oddvdsnn0  19508  oddvds  19511  odf1  19526  gexid  19545  mulgnn0di  19789  0cyg  19857  gsumconst  19898  omndmul2  20097  omndmul  20099  srgmulgass  20187  srgpcomp  20188  srgbinomlem3  20198  srgbinomlem4  20199  srgbinom  20201  mulgass2  20279  lmodvsmmulgdi  20881  cnfldmulg  21373  cnfldexp  21374  freshmansdream  21543  assamulgscmlem1  21868  mplcoe3  22005  mplcoe5  22007  mplbas2  22009  psrbagev1  22044  evlslem3  22047  evlslem1  22049  evlsvvvallem  22058  evlsvvval  22060  mhppwdeg  22105  psdpw  22125  ply1scltm  22234  ply1idvr1  22247  chfacfscmulgsum  22813  chfacfpmmulgsum  22817  cpmadugsumlemF  22829  tmdmulg  24045  clmmulg  25056  dchrptlem2  27216  xrsmulgzz  33057  ressmulgnn0d  33093  archirng  33237  archirngz  33238  archiabllem1b  33241  archiabllem2c  33244  elrgspnlem1  33291  elrgspnlem2  33292  elrgspnlem3  33293  elrgspnlem4  33294  elrgspn  33295  elrgspnsubrunlem1  33296  elrgspnsubrunlem2  33297  rprmdvdspow  33581  evl1deg1  33624  evl1deg2  33625  evl1deg3  33626  evlextv  33674  vieta  33712  aks6d1c1p6  42541  idomnnzpownz  42559  aks6d1c5lem2  42565  deg1pow  42568  aks6d1c6isolem1  42601  aks6d1c6lem5  42604  domnexpgn0cl  42956  abvexp  42965  selvvvval  43006  evlselv  43008  mhphflem  43017  mhphf  43018  lmodvsmdi  48843