Theorem mulg0 19009

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12504	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19006	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4487	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 691	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11031  1c1 11032   < clt 11171  -cneg 11370  ℕcn 12150  ℤcz 12493  seqcseq 13929  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  0_gc0g 17364  inv_gcminusg 18869  ._gcmg 19002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-seq 13930  df-mulg 19003

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19012  mulgnn0gsum  19015  mulgnn0p1  19020  mulgnn0subcl  19022  mulgneg  19027  mulgaddcom  19033  mulginvcom  19034  mulgnn0z  19036  mulgnn0dir  19039  mulgneg2  19043  mulgnn0ass  19045  mhmmulg  19050  submmulg  19053  cycsubm  19136  odid  19472  oddvdsnn0  19478  oddvds  19481  odf1  19496  gexid  19515  mulgnn0di  19759  0cyg  19827  gsumconst  19868  omndmul2  20067  omndmul  20069  srgmulgass  20157  srgpcomp  20158  srgbinomlem3  20168  srgbinomlem4  20169  srgbinom  20171  mulgass2  20249  lmodvsmmulgdi  20853  cnfldmulg  21363  cnfldexp  21364  freshmansdream  21534  assamulgscmlem1  21860  mplcoe3  21998  mplcoe5  22000  mplbas2  22002  psrbagev1  22037  evlslem3  22040  evlslem1  22042  evlsvvvallem  22051  evlsvvval  22053  mhppwdeg  22098  psdpw  22118  ply1scltm  22228  ply1idvr1  22243  chfacfscmulgsum  22809  chfacfpmmulgsum  22813  cpmadugsumlemF  22825  tmdmulg  24041  clmmulg  25062  dchrptlem2  27237  xrsmulgzz  33094  ressmulgnn0d  33130  archirng  33274  archirngz  33275  archiabllem1b  33278  archiabllem2c  33281  elrgspnlem1  33328  elrgspnlem2  33329  elrgspnlem3  33330  elrgspnlem4  33331  elrgspn  33332  elrgspnsubrunlem1  33333  elrgspnsubrunlem2  33334  rprmdvdspow  33618  evl1deg1  33661  evl1deg2  33662  evl1deg3  33663  evlextv  33711  vieta  33749  aks6d1c1p6  42447  idomnnzpownz  42465  aks6d1c5lem2  42471  deg1pow  42474  aks6d1c6isolem1  42507  aks6d1c6lem5  42510  domnexpgn0cl  42856  abvexp  42865  selvvvval  42906  evlselv  42908  mhphflem  42917  mhphf  42918  lmodvsmdi  48702