Theorem mulg0 18993

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12485	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 18990	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4481	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4474  {csn 4575   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  0cc0 11012  1c1 11013   < clt 11152  -cneg 11351  ℕcn 12131  ℤcz 12474  seqcseq 13914  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  0_gc0g 17349  inv_gcminusg 18853  ._gcmg 18986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-seq 13915  df-mulg 18987

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  18996  mulgnn0gsum  18999  mulgnn0p1  19004  mulgnn0subcl  19006  mulgneg  19011  mulgaddcom  19017  mulginvcom  19018  mulgnn0z  19020  mulgnn0dir  19023  mulgneg2  19027  mulgnn0ass  19029  mhmmulg  19034  submmulg  19037  cycsubm  19120  odid  19456  oddvdsnn0  19462  oddvds  19465  odf1  19480  gexid  19499  mulgnn0di  19743  0cyg  19811  gsumconst  19852  omndmul2  20051  omndmul  20053  srgmulgass  20141  srgpcomp  20142  srgbinomlem3  20152  srgbinomlem4  20153  srgbinom  20155  mulgass2  20233  lmodvsmmulgdi  20836  cnfldmulg  21346  cnfldexp  21347  freshmansdream  21517  assamulgscmlem1  21842  mplcoe3  21979  mplcoe5  21981  mplbas2  21983  psrbagev1  22018  evlslem3  22021  evlslem1  22023  mhppwdeg  22071  psdpw  22091  ply1scltm  22201  ply1idvr1  22215  chfacfscmulgsum  22781  chfacfpmmulgsum  22785  cpmadugsumlemF  22797  tmdmulg  24013  clmmulg  25034  dchrptlem2  27209  xrsmulgzz  32997  ressmulgnn0d  33032  archirng  33164  archirngz  33165  archiabllem1b  33168  archiabllem2c  33171  elrgspnlem1  33216  elrgspnlem2  33217  elrgspnlem3  33218  elrgspnlem4  33219  elrgspn  33220  elrgspnsubrunlem1  33221  elrgspnsubrunlem2  33222  rprmdvdspow  33505  evl1deg1  33546  evl1deg2  33547  evl1deg3  33548  aks6d1c1p6  42213  idomnnzpownz  42231  aks6d1c5lem2  42237  deg1pow  42240  aks6d1c6isolem1  42273  aks6d1c6lem5  42276  domnexpgn0cl  42622  abvexp  42631  evlsvvvallem  42660  evlsvvval  42662  selvvvval  42684  evlselv  42686  mhphflem  42695  mhphf  42696  lmodvsmdi  48484