Theorem mulg0 19008

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12503	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19005	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4487	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 691	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170  -cneg 11369  ℕcn 12149  ℤcz 12492  seqcseq 13928  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363  inv_gcminusg 18868  ._gcmg 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-seq 13929  df-mulg 19002

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19011  mulgnn0gsum  19014  mulgnn0p1  19019  mulgnn0subcl  19021  mulgneg  19026  mulgaddcom  19032  mulginvcom  19033  mulgnn0z  19035  mulgnn0dir  19038  mulgneg2  19042  mulgnn0ass  19044  mhmmulg  19049  submmulg  19052  cycsubm  19135  odid  19471  oddvdsnn0  19477  oddvds  19480  odf1  19495  gexid  19514  mulgnn0di  19758  0cyg  19826  gsumconst  19867  omndmul2  20066  omndmul  20068  srgmulgass  20156  srgpcomp  20157  srgbinomlem3  20167  srgbinomlem4  20168  srgbinom  20170  mulgass2  20248  lmodvsmmulgdi  20852  cnfldmulg  21362  cnfldexp  21363  freshmansdream  21533  assamulgscmlem1  21859  mplcoe3  21997  mplcoe5  21999  mplbas2  22001  psrbagev1  22036  evlslem3  22039  evlslem1  22041  evlsvvvallem  22050  evlsvvval  22052  mhppwdeg  22097  psdpw  22117  ply1scltm  22227  ply1idvr1  22242  chfacfscmulgsum  22808  chfacfpmmulgsum  22812  cpmadugsumlemF  22824  tmdmulg  24040  clmmulg  25061  dchrptlem2  27236  xrsmulgzz  33072  ressmulgnn0d  33108  archirng  33251  archirngz  33252  archiabllem1b  33255  archiabllem2c  33258  elrgspnlem1  33305  elrgspnlem2  33306  elrgspnlem3  33307  elrgspnlem4  33308  elrgspn  33309  elrgspnsubrunlem1  33310  elrgspnsubrunlem2  33311  rprmdvdspow  33595  evl1deg1  33638  evl1deg2  33639  evl1deg3  33640  evlextv  33688  vieta  33717  aks6d1c1p6  42405  idomnnzpownz  42423  aks6d1c5lem2  42429  deg1pow  42432  aks6d1c6isolem1  42465  aks6d1c6lem5  42468  domnexpgn0cl  42814  abvexp  42823  selvvvval  42864  evlselv  42866  mhphflem  42875  mhphf  42876  lmodvsmdi  48661