Theorem mulg0 18971

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12500	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 18968	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4485	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168  -cneg 11366  ℕcn 12146  ℤcz 12489  seqcseq 13926  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  inv_gcminusg 18831  ._gcmg 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-mulg 18965

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  18974  mulgnn0gsum  18977  mulgnn0p1  18982  mulgnn0subcl  18984  mulgneg  18989  mulgaddcom  18995  mulginvcom  18996  mulgnn0z  18998  mulgnn0dir  19001  mulgneg2  19005  mulgnn0ass  19007  mhmmulg  19012  submmulg  19015  cycsubm  19099  odid  19435  oddvdsnn0  19441  oddvds  19444  odf1  19459  gexid  19478  mulgnn0di  19722  0cyg  19790  gsumconst  19831  omndmul2  20030  omndmul  20032  srgmulgass  20120  srgpcomp  20121  srgbinomlem3  20131  srgbinomlem4  20132  srgbinom  20134  mulgass2  20212  lmodvsmmulgdi  20818  cnfldmulg  21328  cnfldexp  21329  freshmansdream  21499  assamulgscmlem1  21824  mplcoe3  21961  mplcoe5  21963  mplbas2  21965  psrbagev1  22000  evlslem3  22003  evlslem1  22005  mhppwdeg  22053  psdpw  22073  ply1scltm  22183  ply1idvr1  22197  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmulgsum  22767  cpmadugsumlemF  22779  tmdmulg  23995  clmmulg  25017  dchrptlem2  27192  xrsmulgzz  32976  ressmulgnn0d  33011  archirng  33140  archirngz  33141  archiabllem1b  33144  archiabllem2c  33147  elrgspnlem1  33192  elrgspnlem2  33193  elrgspnlem3  33194  elrgspnlem4  33195  elrgspn  33196  elrgspnsubrunlem1  33197  elrgspnsubrunlem2  33198  rprmdvdspow  33480  evl1deg1  33521  evl1deg2  33522  evl1deg3  33523  aks6d1c1p6  42087  idomnnzpownz  42105  aks6d1c5lem2  42111  deg1pow  42114  aks6d1c6isolem1  42147  aks6d1c6lem5  42150  domnexpgn0cl  42496  abvexp  42505  evlsvvvallem  42534  evlsvvval  42536  selvvvval  42558  evlselv  42560  mhphflem  42569  mhphf  42570  lmodvsmdi  48351