Theorem mulg0 19012

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12546	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19009	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4497	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4490  {csn 4591   class class class wbr 5109   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  1c1 11075   < clt 11214  -cneg 11412  ℕcn 12187  ℤcz 12535  seqcseq 13972  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  0_gc0g 17408  inv_gcminusg 18872  ._gcmg 19005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-seq 13973  df-mulg 19006

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19015  mulgnn0gsum  19018  mulgnn0p1  19023  mulgnn0subcl  19025  mulgneg  19030  mulgaddcom  19036  mulginvcom  19037  mulgnn0z  19039  mulgnn0dir  19042  mulgneg2  19046  mulgnn0ass  19048  mhmmulg  19053  submmulg  19056  cycsubm  19140  odid  19474  oddvdsnn0  19480  oddvds  19483  odf1  19498  gexid  19517  mulgnn0di  19761  0cyg  19829  gsumconst  19870  srgmulgass  20132  srgpcomp  20133  srgbinomlem3  20143  srgbinomlem4  20144  srgbinom  20146  mulgass2  20224  lmodvsmmulgdi  20809  cnfldmulg  21321  cnfldexp  21322  freshmansdream  21490  assamulgscmlem1  21814  mplcoe3  21951  mplcoe5  21953  mplbas2  21955  psrbagev1  21990  evlslem3  21993  evlslem1  21995  mhppwdeg  22043  psdpw  22063  ply1scltm  22173  ply1idvr1  22187  chfacfscmulgsum  22753  chfacfpmmulgsum  22757  cpmadugsumlemF  22769  tmdmulg  23985  clmmulg  25007  dchrptlem2  27182  xrsmulgzz  32953  ressmulgnn0d  32991  omndmul2  33032  omndmul  33034  archirng  33148  archirngz  33149  archiabllem1b  33152  archiabllem2c  33155  elrgspnlem1  33199  elrgspnlem2  33200  elrgspnlem3  33201  elrgspnlem4  33202  elrgspn  33203  elrgspnsubrunlem1  33204  elrgspnsubrunlem2  33205  rprmdvdspow  33510  evl1deg1  33551  evl1deg2  33552  evl1deg3  33553  aks6d1c1p6  42097  idomnnzpownz  42115  aks6d1c5lem2  42121  deg1pow  42124  aks6d1c6isolem1  42157  aks6d1c6lem5  42160  domnexpgn0cl  42504  abvexp  42513  evlsvvvallem  42542  evlsvvval  42544  selvvvval  42566  evlselv  42568  mhphflem  42577  mhphf  42578  lmodvsmdi  48357