Theorem mulg0 19198

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12629	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19195	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4492	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 703	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270  -cneg 11469  ℕcn 12260  ℤcz 12618  seqcseq 14067  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  0_gc0g 17528  inv_gcminusg 19059  ._gcmg 19191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-mulg 19192

This theorem is used by:  ressmulgnn0  19201  mulgnn0gsum  19204  mulgnn0p1  19209  mulgnn0subcl  19211  mulgneg  19216  mulgaddcom  19222  mulginvcom  19223  mulgnn0z  19225  mulgnn0dir  19228  mulgneg2  19232  mulgnn0ass  19234  mhmmulg  19239  submmulg  19242  cycsubm  19331  odid  19666  oddvdsnn0  19672  oddvds  19675  odf1  19690  gexid  19709  mulgnn0di  19953  0cyg  20021  gsumconst  20062  omndmul2  20261  omndmul  20263  srgmulgass  20357  srgpcomp  20358  srgbinomlem3  20368  srgbinomlem4  20369  srgbinom  20371  mulgass2  20452  lmodvsmmulgdi  21082  cnfldmulg  21618  cnfldexp  21619  freshmansdream  21788  assamulgscmlem1  22115  mplcoe3  22255  mplcoe5  22257  mplbas2  22259  psrbagev1  22294  evlslem3  22297  evlslem1  22299  evlsvvvallem  22308  evlsvvval  22310  selvvvval  22359  mhppwdeg  22379  psdpw  22399  ply1scltm  22508  ply1idvr1  22521  chfacfscmulgsum  23086  chfacfpmmulgsum  23090  cpmadugsumlemF  23102  tmdmulg  24319  clmmulg  25330  dchrptlem2  27499  xrsmulgzz  33436  ressmulgnn0d  33471  archirng  33615  archirngz  33616  archiabllem1b  33619  archiabllem2c  33622  elrgspnlem1  33669  elrgspnlem2  33670  elrgspnlem3  33671  elrgspnlem4  33672  elrgspn  33673  elrgspnsubrunlem1  33674  elrgspnsubrunlem2  33675  rprmdvdspow  33930  evl1deg1  33973  evl1deg2  33974  evl1deg3  33975  evlextv  34039  vieta  34077  aks6d1c1p6  42967  idomnnzpownz  42985  aks6d1c5lem2  42991  deg1pow  42994  aks6d1c6isolem1  43027  aks6d1c6lem5  43030  domnexpgn0cl  43392  abvexp  43401  evlselv  43422  mhphflem  43429  mhphf  43430  lmodvsmdi  49296