Theorem mulg0 19313

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12731	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19310	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -0)))))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4492	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 703	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   -cneg 11569  ℕcn 12362  ℤcz 12720  seqcseq 14171  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  inv_gcminusg 19174  ._gcmg 19306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-seq 14172  df-mulg 19307

This theorem is used by:  ressmulgnn0  19316  mulgnn0gsum  19319  mulgnn0p1  19324  mulgnn0subcl  19326  mulgneg  19331  mulgaddcom  19337  mulginvcom  19338  mulgnn0z  19340  mulgnn0dir  19343  mulgneg2  19347  mulgnn0ass  19349  mhmmulg  19354  submmulg  19357  cycsubm  19446  odid  19782  oddvdsnn0  19788  oddvds  19791  odf1  19806  gexid  19825  mulgnn0di  20069  0cyg  20137  gsumconst  20178  omndmul2  20377  omndmul  20379  srgmulgass  20473  srgpcomp  20474  srgbinomlem3  20484  srgbinomlem4  20485  srgbinom  20487  mulgass2  20570  lmodvsmmulgdi  21202  cnfldmulg  21740  cnfldexp  21741  freshmansdream  21910  assamulgscmlem1  22237  mplcoe3  22377  mplcoe5  22379  mplbas2  22381  psrbagev1  22416  evlslem3  22419  evlslem1  22421  evlsvvvallem  22430  evlsvvval  22432  selvvvval  22481  mhppwdeg  22501  psdpw  22521  ply1scltm  22630  ply1idvr1  22643  chfacfscmulgsum  23208  chfacfpmmulgsum  23212  cpmadugsumlemF  23224  tmdmulg  24441  clmmulg  25452  dchrptlem2  27622  xrsmulgzz  33640  ressmulgnn0d  33675  archirng  33819  archirngz  33820  archiabllem1b  33823  archiabllem2c  33826  elrgspnlem1  33873  elrgspnlem2  33874  elrgspnlem3  33875  elrgspnlem4  33876  elrgspn  33877  elrgspnsubrunlem1  33878  elrgspnsubrunlem2  33879  rprmdvdspow  34135  evl1deg1  34178  evl1deg2  34179  evl1deg3  34180  evlextv  34244  vieta  34282  aks6d1c1p6  43356  idomnnzpownz  43374  aks6d1c5lem2  43380  deg1pow  43383  aks6d1c6isolem1  43416  aks6d1c6lem5  43419  domnexpgn0cl  43777  abvexp  43789  evlselv  43810  mhphflem  43817  mhphf  43818  lmodvsmdi  49696