Theorem mulg0 19050

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12535	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19047	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4473	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 691	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℤcz 12524  seqcseq 13963  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  inv_gcminusg 18910  ._gcmg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-mulg 19044

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19053  mulgnn0gsum  19056  mulgnn0p1  19061  mulgnn0subcl  19063  mulgneg  19068  mulgaddcom  19074  mulginvcom  19075  mulgnn0z  19077  mulgnn0dir  19080  mulgneg2  19084  mulgnn0ass  19086  mhmmulg  19091  submmulg  19094  cycsubm  19177  odid  19513  oddvdsnn0  19519  oddvds  19522  odf1  19537  gexid  19556  mulgnn0di  19800  0cyg  19868  gsumconst  19909  omndmul2  20108  omndmul  20110  srgmulgass  20198  srgpcomp  20199  srgbinomlem3  20209  srgbinomlem4  20210  srgbinom  20212  mulgass2  20290  lmodvsmmulgdi  20892  cnfldmulg  21384  cnfldexp  21385  freshmansdream  21554  assamulgscmlem1  21879  mplcoe3  22016  mplcoe5  22018  mplbas2  22020  psrbagev1  22055  evlslem3  22058  evlslem1  22060  evlsvvvallem  22069  evlsvvval  22071  mhppwdeg  22116  psdpw  22136  ply1scltm  22246  ply1idvr1  22259  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulgsum  22829  cpmadugsumlemF  22841  tmdmulg  24057  clmmulg  25068  dchrptlem2  27228  xrsmulgzz  33069  ressmulgnn0d  33105  archirng  33249  archirngz  33250  archiabllem1b  33253  archiabllem2c  33256  elrgspnlem1  33303  elrgspnlem2  33304  elrgspnlem3  33305  elrgspnlem4  33306  elrgspn  33307  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  rprmdvdspow  33593  evl1deg1  33636  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  evlextv  33686  vieta  33724  aks6d1c1p6  42553  idomnnzpownz  42571  aks6d1c5lem2  42577  deg1pow  42580  aks6d1c6isolem1  42613  aks6d1c6lem5  42616  domnexpgn0cl  42968  abvexp  42977  selvvvval  43018  evlselv  43020  mhphflem  43029  mhphf  43030  lmodvsmdi  48855