Theorem mulg0 19057

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12599	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19054	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4507	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  {csn 4601   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269  -cneg 11467  ℕcn 12240  ℤcz 12588  seqcseq 14019  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  inv_gcminusg 18917  ._gcmg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-mulg 19051

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19060  mulgnn0gsum  19063  mulgnn0p1  19068  mulgnn0subcl  19070  mulgneg  19075  mulgaddcom  19081  mulginvcom  19082  mulgnn0z  19084  mulgnn0dir  19087  mulgneg2  19091  mulgnn0ass  19093  mhmmulg  19098  submmulg  19101  cycsubm  19185  odid  19519  oddvdsnn0  19525  oddvds  19528  odf1  19543  gexid  19562  mulgnn0di  19806  0cyg  19874  gsumconst  19915  srgmulgass  20177  srgpcomp  20178  srgbinomlem3  20188  srgbinomlem4  20189  srgbinom  20191  mulgass2  20269  lmodvsmmulgdi  20854  cnfldmulg  21366  cnfldexp  21367  freshmansdream  21535  assamulgscmlem1  21859  mplcoe3  21996  mplcoe5  21998  mplbas2  22000  psrbagev1  22035  evlslem3  22038  evlslem1  22040  mhppwdeg  22088  psdpw  22108  ply1scltm  22218  ply1idvr1  22232  chfacfscmulgsum  22798  chfacfpmmulgsum  22802  cpmadugsumlemF  22814  tmdmulg  24030  clmmulg  25052  dchrptlem2  27228  xrsmulgzz  33001  ressmulgnn0d  33039  omndmul2  33080  omndmul  33082  archirng  33186  archirngz  33187  archiabllem1b  33190  archiabllem2c  33193  elrgspnlem1  33237  elrgspnlem2  33238  elrgspnlem3  33239  elrgspnlem4  33240  elrgspn  33241  elrgspnsubrunlem1  33242  elrgspnsubrunlem2  33243  rprmdvdspow  33548  evl1deg1  33589  evl1deg2  33590  evl1deg3  33591  aks6d1c1p6  42127  idomnnzpownz  42145  aks6d1c5lem2  42151  deg1pow  42154  aks6d1c6isolem1  42187  aks6d1c6lem5  42190  domnexpgn0cl  42546  abvexp  42555  evlsvvvallem  42584  evlsvvval  42586  selvvvval  42608  evlselv  42610  mhphflem  42619  mhphf  42620  lmodvsmdi  48354