Theorem mulg0 19008

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12500	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19005	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4474	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 691	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   < clt 11167  -cneg 11366  ℕcn 12146  ℤcz 12489  seqcseq 13925  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  0_gc0g 17360  inv_gcminusg 18868  ._gcmg 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-seq 13926  df-mulg 19002

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19011  mulgnn0gsum  19014  mulgnn0p1  19019  mulgnn0subcl  19021  mulgneg  19026  mulgaddcom  19032  mulginvcom  19033  mulgnn0z  19035  mulgnn0dir  19038  mulgneg2  19042  mulgnn0ass  19044  mhmmulg  19049  submmulg  19052  cycsubm  19135  odid  19471  oddvdsnn0  19477  oddvds  19480  odf1  19495  gexid  19514  mulgnn0di  19758  0cyg  19826  gsumconst  19867  omndmul2  20066  omndmul  20068  srgmulgass  20156  srgpcomp  20157  srgbinomlem3  20167  srgbinomlem4  20168  srgbinom  20170  mulgass2  20248  lmodvsmmulgdi  20850  cnfldmulg  21360  cnfldexp  21361  freshmansdream  21531  assamulgscmlem1  21856  mplcoe3  21994  mplcoe5  21996  mplbas2  21998  psrbagev1  22033  evlslem3  22036  evlslem1  22038  evlsvvvallem  22047  evlsvvval  22049  mhppwdeg  22094  psdpw  22114  ply1scltm  22224  ply1idvr1  22237  chfacfscmulgsum  22803  chfacfpmmulgsum  22807  cpmadugsumlemF  22819  tmdmulg  24035  clmmulg  25046  dchrptlem2  27216  xrsmulgzz  33074  ressmulgnn0d  33110  archirng  33254  archirngz  33255  archiabllem1b  33258  archiabllem2c  33261  elrgspnlem1  33308  elrgspnlem2  33309  elrgspnlem3  33310  elrgspnlem4  33311  elrgspn  33312  elrgspnsubrunlem1  33313  elrgspnsubrunlem2  33314  rprmdvdspow  33598  evl1deg1  33641  evl1deg2  33642  evl1deg3  33643  evlextv  33691  vieta  33729  aks6d1c1p6  42545  idomnnzpownz  42563  aks6d1c5lem2  42569  deg1pow  42572  aks6d1c6isolem1  42605  aks6d1c6lem5  42608  domnexpgn0cl  42967  abvexp  42976  selvvvval  43017  evlselv  43019  mhphflem  43028  mhphf  43029  lmodvsmdi  48813