Theorem mulg0 19146

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12608	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 19143	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 4493	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 702	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11249  -cneg 11448  ℕcn 12239  ℤcz 12597  seqcseq 14044  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  inv_gcminusg 19007  ._gcmg 19139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-mulg 19140

This theorem is used by:  ressmulgnn0  19149  mulgnn0gsum  19152  mulgnn0p1  19157  mulgnn0subcl  19159  mulgneg  19164  mulgaddcom  19170  mulginvcom  19171  mulgnn0z  19173  mulgnn0dir  19176  mulgneg2  19180  mulgnn0ass  19182  mhmmulg  19187  submmulg  19190  cycsubm  19279  odid  19614  oddvdsnn0  19620  oddvds  19623  odf1  19638  gexid  19657  mulgnn0di  19901  0cyg  19969  gsumconst  20010  omndmul2  20209  omndmul  20211  srgmulgass  20305  srgpcomp  20306  srgbinomlem3  20316  srgbinomlem4  20317  srgbinom  20319  mulgass2  20399  lmodvsmmulgdi  21029  cnfldmulg  21565  cnfldexp  21566  freshmansdream  21735  assamulgscmlem1  22060  mplcoe3  22200  mplcoe5  22202  mplbas2  22204  psrbagev1  22239  evlslem3  22242  evlslem1  22244  evlsvvvallem  22253  evlsvvval  22255  selvvvval  22304  mhppwdeg  22324  psdpw  22344  ply1scltm  22453  ply1idvr1  22466  chfacfscmulgsum  23028  chfacfpmmulgsum  23032  cpmadugsumlemF  23044  tmdmulg  24260  clmmulg  25271  dchrptlem2  27440  xrsmulgzz  33338  ressmulgnn0d  33373  archirng  33517  archirngz  33518  archiabllem1b  33521  archiabllem2c  33524  elrgspnlem1  33571  elrgspnlem2  33572  elrgspnlem3  33573  elrgspnlem4  33574  elrgspn  33575  elrgspnsubrunlem1  33576  elrgspnsubrunlem2  33577  rprmdvdspow  33832  evl1deg1  33875  evl1deg2  33876  evl1deg3  33877  evlextv  33941  vieta  33979  aks6d1c1p6  42909  idomnnzpownz  42927  aks6d1c5lem2  42933  deg1pow  42936  aks6d1c6isolem1  42969  aks6d1c6lem5  42972  domnexpgn0cl  43319  abvexp  43328  evlselv  43349  mhphflem  43356  mhphf  43357  lmodvsmdi  49187