MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnsubcl 19003
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submagma. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnnsubcl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnnsubcl.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgnnsubcl.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘‰)
mulgnnsubcl.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
mulgnnsubcl.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
mulgnnsubcl ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฆ)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mulgnnsubcl
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 mulgnnsubcl.s . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
4 simp3 1137 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
53, 4sseldd 3983 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 mulgnnsubcl.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 mulgnnsubcl.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
8 mulgnnsubcl.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
9 eqid 2731 . . . 4 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
106, 7, 8, 9mulgnn 18995 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
111, 5, 10syl2anc 583 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘))
12 nnuz 12870 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
131, 12eleqtrdi 2842 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
14 elfznn 13535 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
15 fvconst2g 7205 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
164, 14, 15syl2an 595 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
17 simpl3 1192 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
1816, 17eqeltrd 2832 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
19 mulgnnsubcl.c . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
20193expb 1119 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
21203ad2antl1 1184 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
2213, 18, 21seqcl 13993 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘†)
2311, 22eqeltrd 2832 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โІ wss 3948  {csn 4628   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11115  โ„•cn 12217  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  seqcseq 13971  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .gcmg 18987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-mulg 18988
This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  19004  mulgsubcl  19005  mulgnncl  19006  xrsmulgzz  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator