Theorem mulgnnsubcl 19152

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submagma. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 19141	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
11	1, 5, 10	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12		nnuz 12901	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	1, 12	eleqtrdi 2879	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
14		elfznn 13581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
15		fvconst2g 7201	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
16	4, 14, 15	syl2an 607	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
17		simpl3 1210	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
18	16, 17	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
19		mulgnnsubcl.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20	19	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21	20	3ad2antl1 1202	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
22	13, 18, 21	seqcl 14058	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
23	11, 22	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4594   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101  ℕcn 12233  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  seqcseq 14037  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._gcmg 19133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-mulg 19134

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  19153  mulgsubcl  19154  mulgnncl  19155  xrsmulgzz  33270