Theorem mulgnnsubcl 19069

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submagma. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 19058	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
11	1, 5, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12		nnuz 12895	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	1, 12	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
14		elfznn 13570	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
15		fvconst2g 7194	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
16	4, 14, 15	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
17		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
18	16, 17	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
19		mulgnnsubcl.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20	19	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21	20	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
22	13, 18, 21	seqcl 14040	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
23	11, 22	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  {csn 4601   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130  ℕcn 12240  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._gcmg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-mulg 19051

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  19070  mulgsubcl  19071  mulgnncl  19072  xrsmulgzz  33001