![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgnnsubcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submagma. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnnsubcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
mulgnnsubcl.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
mulgnnsubcl.p | โข + = (+gโ๐บ) |
mulgnnsubcl.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐) |
mulgnnsubcl.s | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
mulgnnsubcl.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgnnsubcl | โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp2 1136 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ โ) | |
2 | mulgnnsubcl.s | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | 2 | 3ad2ant1 1132 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) |
4 | simp3 1137 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
5 | 3, 4 | sseldd 3983 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) |
6 | mulgnnsubcl.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
7 | mulgnnsubcl.p | . . . 4 โข + = (+gโ๐บ) | |
8 | mulgnnsubcl.t | . . . 4 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
9 | eqid 2731 | . . . 4 โข seq1( + , (โ ร {๐})) = seq1( + , (โ ร {๐})) | |
10 | 6, 7, 8, 9 | mulgnn 18995 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = (seq1( + , (โ ร {๐}))โ๐)) |
11 | 1, 5, 10 | syl2anc 583 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ ยท ๐) = (seq1( + , (โ ร {๐}))โ๐)) |
12 | nnuz 12870 | . . . 4 โข โ = (โคโฅโ1) | |
13 | 1, 12 | eleqtrdi 2842 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
14 | elfznn 13535 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ (1...๐) โ ๐ฅ โ โ) | |
15 | fvconst2g 7205 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ฅ โ โ) โ ((โ ร {๐})โ๐ฅ) = ๐) | |
16 | 4, 14, 15 | syl2an 595 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ((โ ร {๐})โ๐ฅ) = ๐) |
17 | simpl3 1192 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ๐ โ ๐) | |
18 | 16, 17 | eqeltrd 2832 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โง ๐ฅ โ (1...๐)) โ ((โ ร {๐})โ๐ฅ) โ ๐) |
19 | mulgnnsubcl.c | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐) | |
20 | 19 | 3expb 1119 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐) |
21 | 20 | 3ad2antl1 1184 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โง (๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐) |
22 | 13, 18, 21 | seqcl 13993 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ (seq1( + , (โ ร {๐}))โ๐) โ ๐) |
23 | 11, 22 | eqeltrd 2832 | 1 โข ((๐ โง ๐ โ โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ ยท ๐) โ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wss 3948 {csn 4628 ร cxp 5674 โcfv 6543 (class class class)co 7412 1c1 11115 โcn 12217 โคโฅcuz 12827 ...cfz 13489 seqcseq 13971 Basecbs 17149 +gcplusg 17202 .gcmg 18987 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-nn 12218 df-n0 12478 df-z 12564 df-uz 12828 df-fz 13490 df-seq 13972 df-mulg 18988 |
This theorem is referenced by: mulgnn0subcl 19004 mulgsubcl 19005 mulgnncl 19006 xrsmulgzz 32447 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |