MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnsubcl 19117
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a submagma. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgnnsubcl ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 mulgnnsubcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝐵)
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
4 simp3 1137 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
53, 4sseldd 3996 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
6 mulgnnsubcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgnnsubcl.p . . . 4 + = (+g𝐺)
8 mulgnnsubcl.t . . . 4 · = (.g𝐺)
9 eqid 2735 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
106, 7, 8, 9mulgnn 19106 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
111, 5, 10syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12 nnuz 12919 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
131, 12eleqtrdi 2849 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
14 elfznn 13590 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
15 fvconst2g 7222 . . . . 5 ((𝑋𝑆𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
164, 14, 15syl2an 596 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
17 simpl3 1192 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝑆)
1816, 17eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
19 mulgnnsubcl.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20193expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21203ad2antl1 1184 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2213, 18, 21seqcl 14060 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
2311, 22eqeltrd 2839 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  cn 12264  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  19118  mulgsubcl  19119  mulgnncl  19120  xrsmulgzz  32994
  Copyright terms: Public domain W3C validator